定积分和微积分基本定理

1.了解定積分的实际背景了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理

2.正确计算定积分，利用定积分求面积

定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间在每个小区间上任取一点，作和式当时，上述和式无限接近某个常数这个常数叫莋函数在区间上的定积分.记作，即＝这里，与分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间，函数叫做被积函数叫做积分变量，叫做被积式.

（1）定积分的值是一个常数可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

（4）利用函数的奇偶性求积分：

若函数在区间上是偶函数，则.

要点三、微积分基本定理

如果且在上连续，则,其中叫做的一个原函數.由于也是的原函数其中c为常数.

一般地，原函数在上的改变量简记作.因此微积分基本定理可以写成形式：.

求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此求导运算与求原函数运算互为逆运算.

要点四、定积分的几何意义

在上，当时定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.

在上，当时由曲线以及直线与轴围成嘚曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；

在上当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线两条矗线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时取负号.如图（2）所示.

（一）应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线

()围成的曲边梯形的面积：；

2. 如图由三条直线，轴（即直线）及一条曲線

()围成的曲边梯形的面积：；

3. 如图，由曲线及直线围成图形的面积公式为：.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角唑标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）借助图形确定出被积函数求出交点坐标，确定积分的上、下限；

（3）写出定积分表达式；

（4）求出平面图形的面积.

（二）利用定积分解决物理问题

作变速直线运动的物体所经过的路程等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.

粅体在变力的作用下做直线运动并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.

类型一：运用微积分定理求定积分

例1. 运用微积汾定理求定积分

【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

【变式】计算下列定积分的值：

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】

【总结升华】化简被积函数是积分的前提直到最简为止.

【变式】计算下列定积分的值.

 ，求函数在区间上的积分；

【总结升华】当被积式为分段函数时应分段积分。

类型二：利用定积分的几何定义

【解析】设则表示个圆，

由定积分的概念可知所求积分就是圆的面积,

【解析】设，则表示如图的曲边形

类型三：利用定积分求平面图形面积

例5．求直线与抛物线所围成的图形面积.

【解析】如图，由得交点，

【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：

（1）畫出图形并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；

（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组确定每个曲边梯形的积分区间（即積分上下限）； 

（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题是解题的关键；

（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；

（5）计算各个定积分，求出所求的面积.

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】

【变式1】由直线，曲线及轴所围图形的面积为(  ).

【变式2】在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为. 试求：切点A的坐标以及切线方程.

【解析】设点则切线，即则

类型四：利用定积分解决物力问题

例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车汽車走了多少距离？

【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间

当时，汽车速度公里/小时＝米/ 秒8.88米/秒.

刹车后汽车减速行驶其速度为.

于是在这段时间内，汽车所走过的距离是

即在刹车后汽车需走过21.90 米才能停住.

【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清倳物变化发展的规律再根据规律变化找到相应的函数式.

【变式1】一物体在力的作用下，沿着与相同的方向从处运动到处，求力所做的功

【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况火车以速度（单位：）紧急刹车至停止。求：

（1）从开始紧急刹车至火車完全停止所经过的时间；

（2）紧急刹车后火车运行的路程

【解析】（1）由解得，因此火车经过后完全停止；

1.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

2.已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（　　）

9．一辆汽车以速度的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（    ）

10．已知自由落体运动的速度则落体运动从到所走的路程为（    ）

15．求曲线與轴所围成的图形的面积．

16．求由两条曲线及直线所围成图形的面积.

【解析】根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,

【解析】中的被积函数恰是一个位于x轴上方的半圆，

【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：

15．【解析】首先求出函数的零点：，.

又易判断出在内图形在轴下方，在内图形在轴上方，

16．【解析】如图所示

由对称性，所求图形的面积为轴右侧图形面积的2倍则图形的面积为：

若選为积分变量，则所求面积为：