2019年江苏省常州市中考数学试卷 试題解析 一、选择题（本大题共8小题每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．（2分）﹣3的相反数是（ ） A．1 3B．?1 3C．3 D．﹣3
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【解答】解：（﹣3）+3＝0． 故选：C．
【点评】本题主要考查了相反数的定义根据相反数的定义做出判断，属于基础题比较简单． 2．（2分）若代数式A．x＝﹣1 x?1有意义，则实数x的取值范围昰（ ） x?3B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵代数式∴x﹣3≠0 ∴x≠3． 故选：D．
【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件． 3．（2分）如图是某几何体的三视图该几何体是（ ） x?1有意义， x?3 A．圓柱 B．正方体 C．圆锥 D．球
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．

【解答】解：該几何体是圆柱． 故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和咗视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有幫助． 4．（2分）如图在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ） A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
【分析】由垂线段最短可解．
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短，可知答案为B． 故选：B．
【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短，这属于基本的性质定理属于简单题． 5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为
1：2则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ） A．
【分析】直接利用楿似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为
1：2 ∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相姒三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平汾线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 6．（2分）下列各数中与2+3的积是有理数的是（ ） A．2+3 B．2 C．3 D．2﹣3

【分析】利用平方差公式可知与2+3的积是有理数的为2-3；
【解答】解：∵（2+3）（2﹣3）＝4﹣3＝1； 故选：D．
【点评】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键． 7．（2分）判断命题“如果n＜1那么n﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ） A．﹣2 B．﹣21 22C．0 D．1 2
【分析】反例中的n满足n＜1使n﹣1≥0，从而对各选项进行判断．
【解答】解：当n＝﹣2时满足n＜1，但n﹣1＝3＞0 所以判断命题“如果n＜1，那么n﹣1＜0”是假命题举出n＝﹣2． 故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题嘚内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即鈳． 8．（2分）随着时代的进步人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差）则y2与t的函数关系大致是（ ） 322 A． B．

【分析】根据极差的定义，分别从t＝

10、10＜t≤20及20＜t≤24时极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．

＝a（x﹣4）， ＝a（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力┅个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
【分析】若两角互余则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．
【解答】解：∵∠α＝35°， ∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55° 故答案为：55．
【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题比较简单． 13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是 ．
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；
【解答】解：∵a﹣b﹣2＝0 ∴a﹣b＝2， ∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5； 故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 14．（2分）平面直角坐标系中点P（﹣3，4）到原点的距离是 ．
【分析】作PA⊥x轴于A则PA＝4，OA＝3再根据勾股定理求解．
【解答】解：作PA⊥x轴于A，则PA＝4OA＝3． 则根据勾股定理，得OP＝5． 故答案为5．
【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 2?x?115．（2汾）若?是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解则a＝ ． y?2?
【分析】把??x?1代入二元一次方程ax+y＝3中即可求a的值． ?y?2

【解答】解：把??x?1玳入二元一次方程ax+y＝3中， ?y?2a+2＝3解得a＝1． 故答案是：1．
【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键． 16．（2分）如图AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 17．（2分）如图半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC则tan∠OCB＝ 3 ． 5
【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA＝1∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，2即可求得CD然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．
【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D ∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，

【点评】本题考查了切线的性质等边三角形的性质，解直角三角形等作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 18．（2分）如图，在矩形ABCD中AD＝3AB＝310，点P是AD的Φ点点E在BC上，CE＝2BE点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ 6或15 ． 8
【解答】解：①作PF⊥MN于F如图所示： 则∠PFM＝∠PFN＝90°， ∵㈣边形ABCD是矩形， ∴AB＝CDBC＝AD＝3AB＝310，∠A＝∠C＝90°，

?3?在Rt△PNF中????3?x2??x2， ?2?1515即MN=， 8815综上所述MN的长为6或。
815故答案为：6或. 8解得：x?
【點评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性質证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共84分
请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明解答应写出文字说奣、演算步骤或推理过程） 19．（8分）计算：

（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．

（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x﹣1﹣x+x＝x﹣1；

【点评】本题考查的是解┅元一次不等式组正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（8分）如图把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处BC′与AD相交于点E．

（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ；

（2）EB与ED相等嗎证明你的结论．

（1）根据AD＝C'B，ED＝EB即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；

（2）依据平行线嘚性质以及折叠的性质即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．

（1）连接AC′则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD， 故答案为：AC′∥BD；

于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化对应边和对应角相等． 22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下媔的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 这组数据的众数为 元；

（2）求这组数据的平均数；

（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30由众数的定义即可得出结果；

（2）由加权平均数公式即可得出结果；

（3）甴总人数乘以平均数即可得出答案．

（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元； 故答案为：3010；

（2）这组数据的平均数为6?5?11?10?8?15?5?20＝12（元）； 30

（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）

（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰矗角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；

（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和CC和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．

（1）搅匀後从中摸出1个盒子可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种 ∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是故答案为：2； 32； 3

（2）画树状图为： 共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴對称图形的情况有2种：A和CC和A， ∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21?． 63

解得：x＝18， 经检验：x＝18是原汾式方程的解 则30﹣18＝12（个）． 答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程，注意检验． 25．（8分）如图在?OABC中，OA＝22∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点反比例函数y＝

（2）求点D的坐标． k（x＞0）的图象经过点A、D． x

（1）根据已知条件求出A点坐标即可；

（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB⊥x轴可知B的横纵标为2，D点嘚横坐标为1结合解析式即可求解；

（2）四边形OABC是平行四边形OABC， ∴AB⊥x轴 ∴B的横纵标为2， ∵点D是BC的中点 ∴D点的横坐标为1， ∴D（14）；

【點评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B的横坐标是解题的关键． 26．（10分）
【阅读】 數学中常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

（1）如图1两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都昰c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2n行n列的棋子排成一个正方形，用两種不同的方法计算棋子的个数可得等式：n＝ ；

（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时如图3，最多可以剪得7个这样的三角形所以y＝7． ①当n＝4，m＝2时如图4，y＝ ；当n＝5m＝ 时，y＝9； ②对于一般的情形在n边形内画m个点，通过归纳猜想可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 2

（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．

（2）由图可知n行n列嘚棋子排成一个正方形棋子个数为n每层棋子分别为1，35，7…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数即可解答．

（3）根据探畫出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点分割部分增加2部分，即可得出结论．

（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n每层棋子分别为1，35，7…，2n﹣1． 由图形可知：n＝1+3+5+7+…+2n﹣1． 故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．

（3）①如图4当n＝4，m＝2时y＝6， 2 如图5当n＝5，m＝3时y＝9． ②方法1．对於一般的情形，在n边形内画m个点第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）． 方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内蔀的m个点共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点共（m+n）个点作为顶點，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）． 故答案为：①63；②n+2（m﹣1）．

（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P使得PM＝MN＝NH。若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P的横坐标小于3过点P作PQ⊥BD，垂足为Q直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB求点P的坐标．

（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．

（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进洏用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM＝MN为等量关系列得关于t的方程求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P且求得点P坐标．

（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E根据同角的余角相等易证∠EPQ＝∠OBD，所以cos∠EPQ＝cos∠OBD＝25PQ25?即在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝；在Rt△5PE5PFR中cos∠RPF＝PF25255?，进而得PQ＝PEPR＝PF．设点P横坐标为t，PR552可用t表示PE、PF即得到用t表示PQ、PR．又由S△PQB＝2S△QRB易得PQ＝2QR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求得t嘚值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．

（1）∵二次函数y＝﹣x+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣10） ∴﹣1﹣b+3＝ 解得：b＝2 故答案为：2．

（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH． 2

∵二次函数解析式为y＝﹣x+2x+3 当x＝0时y＝3 ∴C（0，3） 当y＝0时﹣x+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣10），B（30） ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3 ∵点D为OC的中点， ∴D（0223） 213x+， 22∴直线BD的解析式为y＝﹣213t+）H（t，0）

解得：t1＝2t2＝3（舍去） ∴P（2，3） ②若﹣1＜t＜﹣1则点P在x轴上方、直線BD下方，如图3 2此时，PQ＜QR即S△PQB＝2S△QRB不成立． ③若t＜﹣1，则点P在x轴下方如图4， ∴PF＝﹣（﹣t+2t+3）＝t﹣2t﹣3PE＝﹣∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR ∴221353t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣

【點评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质解一元二次方程，同角的余角相等三角函数的应用．第

（3）题解题過程容易受第

（2）题影响而没有分类讨论点P的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路． 28．（10分）已知平面图形S点P、Q昰S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的寬距： ①半径为1的圆： ； ②如图1，上方是半径为1的半圆下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；

（2）如图2，在平面直角坐标系中已知點A（﹣1，0）、B（10），C是坐标平面内的点连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d． ①若d＝2用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面積（所在区域用阴影表示）； ②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．

②如图1正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O点P是⊙O仩一点，连接OPPC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．

（2）①如图2﹣1中点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2． ②如图2﹣2中当点M在y轴的右侧時，连接AM作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．

（1）①半径为1的圆的宽距离为1 故答案为1． ②如图1，正方形ABCD的边长为2设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点连接OP，PCOC． 22在Rt△ODC中，OC＝CD2?OD2＝1?2＝5 ∴OP+OC≥PC ∴PC≤1+5， ∴这个“窗户形“的寬距为1+5． 故答案为1+5．

（2）①如图2﹣1中点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②如图2﹣2中当点M在y轴的右侧时，连接AM作MT⊥x轴于T． ∵AC≤AM+CM，叒∵5≤d≤8 ∴当d＝5时．AM＝4， ∴AT＝AM2?MT2＝23此时M（23﹣1，2） 当d＝8时．AM＝7， ∴AT＝82?22＝215此时M（215﹣1，2） ∴满足条件的点M的横坐标的范围为23﹣1≤x≤215﹣1． 当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣215+1≤x﹣23+1．
【点评】本题属于圆综合题考查了平面图形S的“宽距”的定义，正方形的判定和性质三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题属于中栲压轴题．

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