---

疑问：在做微分方程的题时，发现自己总是分不清也记不住何时用换元法做。主偠的问题包括以下两个

一是，缺y项的微分方程如何求解换元时y''=dp/dx，还是y''=p·dp/dx这属于高阶可降解方程的内容。

二是一般微分方程的解都昰y当作x的函数，而有时不可解得那么什么时候将x看作y的函数呢？这属于反函数高阶导数的内容

高阶：二阶及二阶以上的微分方程。

可降阶：与之对应的是不可降阶类型在此列出三种可降阶类型。

y的n阶导 = x的函数类型接连积分n次，便得到含有n个任意常数的通解

等式中鈈显含（缺少）y ，所以后续也不要引入y才更方便设 y'=p，y''=dp/dx=p'

具体步骤如下（摘自《高等数学》）。

T14是缺少y的类型所以代入dp/dx，不引入新的变量

T15是缺少x和y的类型，按道理是均可不过此题若用dp/dx，可以积分得到一个含p的隐函数下一步无法继续积分。此处用dy则可以做

反函数的導数和原函数导数的关系，与阶数有关他们的一阶导互为相反数，但二阶甚至更高阶则不是且更复杂高于二阶的反函数导数问题在做題中很少遇到，这部分属于数学分析的内容可以参考相关书目。但是一阶、二阶要记住

因为出现了y'的三次方，所以想到反函数高阶导數凑出。

注：这只是一种dx/dy的题型还有一些，当dy/dx不好积分时可考虑用dx/dy。

1. 高阶可降阶微分方程解法：

① 接连积分n次，得含有n个任意常數的通解

2. 反函数高阶导数，看到 y' 三次方想到

发布了41 篇原创文章 · 获赞 46 · 访问量 2万+