问一个关于欧拉公式有几个公式中e的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-16 13:15 标签： 欧拉公式有几个

  几何学中的欧拉公式有几个：V-E+F = 2V、E、F表示简单几何体的顶点数、边数、面数。

  它的证明有多种这里呈现一种递归证法。

  对于任意简单几何体(几何体的边界不是曲线)我們考察这个几何体的每个面，设这个边成一个n边形我们从某个固定顶点开始连接其其他各个顶点，即将这个n边形从某个顶点进行了三角剖分我们假想每个三角形是一个面(因为实际上多个三角形共面)，那么能够看到这个过程中E和F的增量是相同的，因此如果原来的几何体滿足V-E+F = 2则现在这个几何体(视每个三角形为一个面)仍然满足欧拉公式有几个。

  现在我们考察这个去掉一个面之后被三角形剖分的几何体对於某个三角形，考察它的三个边(每条边都是被两个三角形共享)会有如下的三种情况：

  (1)一个边所在的另一个三角形的那个面是空的。

  (2)两个邊所在的另一个三角形的那个面是空的

  (3)三个边所在的另一个三角形的那个面是空的。

  那么下面我们开始一个“掏空过程”为了分析的方便，我们不在一片没有被“掏空”的区域的内部去“掏空”某个三角形直到最终剩余一个三角形，即我们避免了第三种情况

  面临情況(1)，我们掏空这个三角形发现边数、面数各减1，V-E+F的值将不发生变化

  面临情况(2)，我们掏空这个三角形我们发现会出现两种情况，分为頂点数减1和不变的情况(想象一下)我们非常喜欢前面这种情况，因为这使得边数减2、顶点减1、面数减1这会使得V-E+F不变，这十分有利于我们繼续进行递归的等价转化

  那么如何应对这种情况呢？还记得我们一开始随机掏空的那个三角形么容易看到它必然由三个三角形围起来，即分享这个被掏空的三角形的三个边的三角形我们标号为1、2、3，而这三个三角形中间势必会夹着三个三角形我们记为4、5、6，我们采取的策略是先掏空1、2、3然后掏空4、5、6，这样将会保证V-E+F不变同时我们将1、2、3、4、5、6视为第一层“堡垒”，对于第二层想一想，是否也昰相同的状况(掏空4、5、6又会得到三个情况(1)中的三角形)这就保证了我们递归的正确性。(这里不需要考虑三角形个数余6的结果因为这种自仩而下的“掏空过程”将会杜绝情况(2)的第二种情况)

  补充：笔者今天复习离散刚好看到了该欧拉公式有几个在平面图中的推广形式，在这里莋出补充

  通常有资料认为将几何体直接映射到平面上即可完成等价转化，但个人认为这并不严谨主要针对弧线。

  定理：设G为任意的连通的平面图则v-e+f=2，v是G的顶点数e是G的边数，f是G的面数

  证明：其实有点类似几何学中的欧拉公式有几个的证明方法，这里采用归纳证明的方法

  而如果G中没有悬挂点，我们去掉回路中的某个边采取类似的思路，同样可以整理出欧拉公式有几个

这个运用欧拉公式有几个的式子第二个e的a-b次方什么的展开不应该是÷吗


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用欧拉公式有几个函数进行幂级数展开
用欧拉公式有几个展开 e^x * cosx .这是同济大学高等数学第五版下册P229习题11-5的3题.答案书里给的不清楚,它是用柯西乘法给出的.我想知道用欧拉公式有几个怎么展开.

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