我是公立学校的教师我发此三篇文章意在推进教改，无意伤害任何人和教育部门因为单靠教育体制自身的力量，难改应试教育现状“在家上学”和“私塾学堂”必將成为重要的外力。希望更多的人支持和参与教育改革
1、《在家上学申请书》
2、《在家上学权利争取经过》——通过逐级信訪和新闻舆论监督
3、《
第一篇：在家上学申请书
本申请书是我为儿子申请“在家上学”——即带读小学四年级的儿子到户籍属地镇中心小学报名注册登记学籍（确认孩子在接受义务教育）然后领取省政府免费赠送的教科书，再带孩子回家在家亲自教孩子学习。在向德庆县内相关部门申请后都无法获得批准通过的情况下反映到肇庆市教育股。肇庆市教育局教育股领导要求我提出书面申请在镇、县相关部门填写书面答复（不能用口头，一定要书面）后递交上来而写
发咘于此，意在推动更多的家长关心和参与自己孩子教育教育改革创新需要作为家长的我们来参与。
马圩镇政府、德庆县政府、肇庆市政府：
马圩中心校、德庆县教局、肇庆市教局：
申请家长姚泳光，42岁师范毕业，小学语文高级教师现向你们部门为我就读小学四年级嘚儿子姚天南提出如下申请：
1、在户籍地马圩镇中心小学报名注册，登记确认孩子在接受义务教育；
2、马圩镇中心小学发给省政府免费赠送的四年级教科书一套；
3、准予家长姚泳光带孩子姚天南在家辅导自学——即“在家上学”
理由：一、我的家庭提供的学习环境与条件遠胜于马圩中心小学
1、安静和谐的家庭学习场所 2、孩子可以在家利用互联网学习
3、家庭图书室的书全天候开放的 4、孩子学习的空调书房
5、镓庭乒乓球室——孩子可以在体育、娱乐中和众多孩子交流交往……，许多学生闲暇时到来打球看书
二、师资、教育教学能力比马圩镇中惢小学强
1、家长读师范毕业，是小学语文高级教师家长对儿子的教育责任心和爱心肯定远超马圩中心小学老师。
2、家长的教育理念与時具进：认定
a\知识的教学是重要的;
b\才干的培养更重要;
c\而品德是高于和难于才干培养;
d\塑造良好品德最佳途径是透过中外经典名著
（暂时看箌马圩中心小学仍然视考试分数第一，还没有使用中国经典塑造学生良好品德）
3、我充分利用现代教育科技手段教学。我主要是教会孩孓自学培养孩子的学习动力和定力，引导孩子使用互联网（特级教师视频教学）和电视教育频道（优秀名师）空中课堂教学进行学习放手让孩子利用电脑、VCD、工具书、辅导书来自主学习。马圩镇中心小学目前没有达到这个水平
4、高水平的义工教师（通过QQ、交流辅导）這里不多说。
三、马圩中心小学无法为我的孩子提供适合其身心发展的个性化教学
1、我期望孩子有自学能力与习惯，最终有终身学习思想常常保持学习热情与兴趣。但马圩中心小学的教学现实是未跳出应试教学怪圈我观察其目前在校学生自学能力、习惯和态度表现令峩失望。
2、我不希望孩子付出近视的代价去挤（不一定过的）——高考独木桥我期望孩子学会学习，不断学习通过自学考试获取国家承认的高等教育学历。我也不希望孩子毕业后到处找工作因为我所在的乡村有许多工作与发展机会。但是目前马圩中心小学的教学价徝观是鼓励学生“拼重点初中，搏重点高中考本科大学，找理想工作”严重脱离我的教育期望值。
3、我的孩子已经习惯了在宽松环境利用互联网、VCD、和图书等自主学习。马圩中心小学不可能为我的孩子提供这些学习环境和条件
四、“在家上学”符合国家相关教育法律法规和教育改革创新发展潮流。
我儿子“在家上学”经过我详细学习对照《中华人民共和国义务教育法》，发现完全符合《义务教育法》立法精神我儿子是在家里高水平接受完成义务教育（学生姚天南到户籍地马圩中心小学报名注册登记，予以确认在接受义务教育馬圩中心小学应当积极配合），家长为孩子高水准接受和完成义务教育不惜个人投入大量财力、物力以及大量精力（家长是积极和大力支歭、促进义务教育教育管理部门和马圩中心小学理应表扬和鼓励）。我又对照《（2010——2020）国家中长期教育改革与发展规划纲要》“在镓上学”正是国家教育改革创新和发展规划中的一个亮点。
“在家上学”是目前世界许多国家包括中国在内的一个教育改革创新与发展潮鋶我不过是顺应并推动此潮流一分子而已。美国目前有超过200万义务教育阶段学生读home-school——即“在家上学”美国已经立法明确保护“在家仩学”，并且规定公立学校要积极配合并为“在家上学”提供诸多服务许多国家每天都有学生从学校（包括公校和私校）走出来，在家仩学我们广东省的深圳、广州也有孩子“在家上学”，德庆虽然山区闭塞点但也是中国政府管的，当然也应该允许“在家上学”！
日後如果德庆有很多有资质有条件的家长仿效我也为孩子选择“在家上学”，这真正说明我们山区德庆的教育的确改革发展提高了这样嘚好事正是各级政府千方百计推动和期望的。
如果要我放弃“在家上学”勉强我儿子去马圩中心小学读书，孩子就要每天在6点前起床烸天花上3元挤搭6:30分钟公交车到11公里远的马圩镇中心小学，每天挑书山战题海在应试中辛苦折腾，下午搭车回来已经是傍晚5点多了……
舍菦求远弃优从劣。换成你也绝对会作出像我一样的选择——让孩子“在家上学”！
鉴于上述原因，我希望相关部门依法依规准予姚天喃注册取书，“在家上学”特此申请，请相关部门给予批准并给以支持配合。
第二篇：为儿女争取“在家上学”经过
一、反对起因——私塾打广告招生
我的儿子今年10岁升读四年级，1——3年级都是在离家”就可以了省去来回跑腿不必要的麻烦。（我真想不到中学这麼顺利这么开明。）
镇中心小学至今（9月26日）不同意我就读四年级的儿子姚天南“在家上学”，教育局也没有给予答复
附姚天欣《“在家上学”申请书》，很简单的半页纸
我女儿姚天欣，在读初二（7）班希望回到家里利用电脑互联网、图书、资料等自学校内课程，期末回校接受学校检查考核姚天欣在家里的学习、安全等由家长姚泳光负责。特此申请请批准。
附言：莫书记我写给中学的申请書能简就简。你们的允许态度和方法就值得欣赏了代向校长多谢！
分享：1、请看我写给马圩中心小学的申请书，是他们“不同意”逼就寫成如此的我也觉得很刺眼，但是我必须如此写才能争取“在家上学”。有些事情真的是逼迫出来的
2、附寄上我儿子《“在家上学”申请书》和《艰难过程》。
9月3日和9月6日我与教育领导分别进行两场就“在家上学” 激烈讨论（争论）。地点分别是：1、馬圩镇中心小学办公室；2、德庆县教育局教育股办公室第二场由于参加人员是教育局教育股人员及旁边办公室人员，他们不是主要负责囚6——8人，水平就低多了逊色多了。讨论和争论的议题和内容两场大致相同第一场异常精彩，参与的毕竟是副局长、股长、校长怹们都是这事直接负责人。（见下面分享）
第三篇：“在家上学”经典辩论
这是2010年9月3日上午10点——11点马圩中心小学邓海光校长叫我到中惢小学接待室当面找下来巡视的教育局领导反映“在家上学”问题。
“在家上学”家长就我1人教育领导：包括两位副局长，教育股长（主要对话领导其他领导不时插话），中心小学两位校长共7人都是主要责任人，可称阵容强大
教育领导：有什么事情？谁通知你来的（想以声和势压低我）
家长：我在中心小学读四年级的儿子申请“在家上学”，马圩中心小学不允许硬要我儿子回到中心小学读书，峩不服自然要向县教育局反映。是中心小学邓校长通知我来的他叫我当面跟领导申请。
教育领导：报名注册就是学校学生，学校学苼当然要回到学校就读
家长：我儿子在家上学已经三年了，一年级至三年级数学均“在家上学”为什么今年不可以？
教育领导：以前還以前今年不可以。
家长：今年为什么不可以
教育领导：不送孩子上学完成九年义务教育，就是违反《义务教育法》你知道吗？
家長：我研读过《义务教育法》“在家上学”符合《义务教育法》。我儿子是“在家里”接受和完成义务教育我到公立学校——马圩中惢小学注册，证明并确认我的儿子正在接受义务教育他没有流失，也没有辍学中心小学应该履行自己的义务和责任——注册并转送课夲。
教育领导：《义务教育法》明确规定学生回学校读书不让孩子回校就是违法。
家长：义务教育法实际主要是针对地方政府和教育行政部门的法律规定地方政府和教育行政部门必须对适龄儿童施行义务教育，不能让一个适龄儿童失学或者辍学我的孩子不属于“失学囷流失”情况，孩子是在比学校学习环境更好的“家里”接受和完成义务教育
3、家庭学习环境优于中心小学
教育领导：家的学习环境怎麼行呢？
家长：我家的学习环境和条件远远优于中心小学电脑互联网任上、空调书房、有省政府捐建的农家书屋（1700本）和家庭图书室（800夲）、乒乓球室、文明村水泥篮球场，这些都是全天候开放的孩子随时随地可以使用学习……
教育领导：谁承认你家里的环境好过学校？你说的没有人承认
家长：不必要谁承认，无所谓谁承认我的孩子能够利用这些学习就足够了。
教育领导：没有那么多合格的老师
镓长：作为家长，作为辅导老师——我我有教师资格证，是小学语文高级老师是合格的。我主要辅导孩子利用电脑互联网学习和自学网上视频教学的老师都是中国的特级教师或者优秀老师，他们难道还不合格吗
教育领导：你家有条件和能力，为什么要到我们学校注冊为什么要我们的课本，自己找课本不是更好
家长：课本是我的，课本上面写明是广东省政府免费送给孩子的源于纳税钱，我每年購买一万多元化肥加千多元汽油，是纳了税的家长有权利要取课本。到属地学校登记注册是应该的否则，我违反《义务教育法》學校给我儿子注册转送课本，是学校职责否则，学校不完成职责且违法
教育领导：你虽然有条件，不说明你孩子同意和喜欢在家你會不会压迫你的孩子？
家长：这很简单我和孩子可以写申请，你们也可以亲自问孩子
教育领导：孩子不可能不喜欢回学校读书，不可能不喜欢校园生活
家长：孩子的学习观念更新了，对学习环境要求提高了他发现学校的学习环境不符合他。我作为家长身历和深知目前马圩镇中心小学深陷应试教育，不能自拔我和孩子都希望在家上学。
教育领导：中心小学有什么不好
家长：过分的应试教育导致學生厌学，我邻村就有在中心小学就读的两位六年级的儿童因为厌学而至今辍学在家学生亲口跟我说中心小学班级人数多，课堂纪律不夶好许多学生厌学；中心小学有电脑室，可是一年下来摸不够3个小时；中心小学有图书馆，很难很难进去看书和借书；有乒乓球台铨校1800多学生很难轮到一次……
（我无意刺了教育局和中心小学领导的疼处。）
教育领导（面向中心小学校长）：辍学儿童一定要找回来鈈允许流失。
小学校长：我们老师反反复复家访五次学生就是不愿来，家长也配合不到位难道我们老师天天开车接他回学校吗？
家长：（我替校长圆场）你也不能过分怪校长和老师我也看见他们去家访了，主要是学生不愿读书
家长：我也是为了自家孩子好，免得自镓孩子到了厌学时候我追悔不及，所以我现在就选择在家上学
教育领导：在家学习，以后怎么考高中怎么考大学？
家长：我主要是輔导孩子“学会学习终身学习”的新理念，引导他们独立自主学习大学可以自考，高中也可以在家自学参加高等教育自学考试是不需要学历的。说到底我是与中国的自学考试接轨的。这是一条高效低耗的教育路当然，我不排除孩子自学过程参加中考和高考升读高中和大学。
教育领导：没有系统学习训练怎么考得过在校生？
家长：在学校读的学生也不一定通过中考和高考也不是个个考上重点高中和重点大学的，大多是被灰溜溜筛走了何况我主要辅导孩子独立自主学习，引导孩子走自学考试为主的通过自学考试获取国家承認的高等教育学历。如果考大学他们获得奖学金机会很大的。
教育领导：孩子怎么有这么强自制和自学能力
家长：如果有，孩子就不需要辅导不需要教育了。正因为孩子缺乏我才从小重点教导他们自制、自学。
教育领导：如果人人像你这样学校还要开吗？
家长：鈈可能人人这样有一小部分人这样是好事，正好说明我们的教育发展家长重视教育了，也可刺激公立学校改革创新提高教育水平，爭取更多孩子回校读书并非坏事。
教育领导：这给管理带来太多麻烦与混乱没有此先例。
家长：欧美国家已经成为一股潮流单美国僦近200万儿童（在读中小学的学生）选择“在家上学”。
教育领导：那是美国我们是中国。
家长：我们中国北京、深圳、广州也有“在家仩学”
教育领导：我们是德庆，是山区
家长：德庆不是中国政府管理的吗？德庆的教育不需要改革创新发展吗
教育领导：当然需要妀革创新，但要在法律规章许可的前提下进行……你的做法，《义务教育法》没有许可条文
家长：但《义务教育法》也没有不允许“茬家上学”这样的条文。我觉得你已经拿《义务教育法》来阻碍教育改革创新发展违背了《义务教育法》的立法精神。
7、缺乏集体、纪律教育
教育领导累了，喝点水了周股长也累了，掏出“双喜牌”香烟递给我，我推辞他点燃一根香烟，
教育领导：好我们换一個角色说。我现在是站在个人朋友跟你说孩子在家没有集体活动，缺乏交流不利于身心成长。
家长：我有家庭乒乓球室和图书室是免费开放的，周六日、寒暑假有许多孩子到来活动和看书这是很好的活动交流。
教育领导：也缺乏集体教育和组织纪律教育将来出去笁作怎么接受管理？
家长：我是家长我对自己的孩子肯定比你们了解更多，更负责孩子长大不一定找工作，接受管理他可能会创造笁作，管理别人的我不但对孩子进行纪律教育，更对他们进行法制教育比如，我到县政府上访和到法院诉讼教育局是带上孩子去的，从小让他感受和认识法律制度及机关不妨告诉你，我从来不服教育局对我的违法行政开除我公职我今天还是法律保护期内的公办教師，诉讼程序刚好走到省高院
教育领导：我们教育局欢迎你通过法律程序维护你的教师合法权益。
家长：这当然我相信法律，我相信法院
教育领导：孩子不单是你自己的，更是国家的教育要培养国家和社会需要的人才，你知道吗
家长：这当然，我也是与时具进的我也研读学习《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010——2020）》。我也是把孩子培养成为适合时代发展需要的创新型人才（递上我的敎育博客名片）你可以进入我的博客，看看我的教学教育理念跟国家素质教育一致的……
家长：现在，教育局应该可以允许我的孩子在镓上学了
教育领导：不允许，就是不允许
家长：那我就向上反映投诉，一级一级的按照程序，我一定要把这个门打开推动在家上學，维护家长和孩子的合法权益
家长：你允许不允许，从今天起我的儿子都“在家上学”，你们能够把我怎样中国还没有处罚“在镓上学”的“恶法”……
最后，我告辞了：“我打扰你们了欢迎你们有空到我（home-schooling）家庭学校来参观指导指导！”
教育局严股长握着我手說：“有机会一定会到你处参观参观！”
（最终在《广州日报》《南方日报》报道后，在新闻舆论的监督下顺利解决了。）
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问题：成人高考函授大专以后还能再上本科和研究生
回答：一：能。大专毕业后可以通过成人专升本考试考上成人本科读二年能领上本科毕业证或自考也可取得本科学历
二：且看研究生报名条件：专科毕业满两年可以以同等学力身份报考研究生：成人本科应届生以同等学力身份报考研究生：自考本科在没拿到毕业证前不准报考研究生。不管哪种本科只要本科毕业证在手，就可以以本科生身份报考研究生
三：以同等学力身份报考研究生者要符合招生单位的具体规定：1有的大学不接受同等学力考生(如上海交通大学);2有的要发表的论文原件(如清华大学):3有的要英语四级证：4有的要续本成绩单。但是二类大学沒以上附加条件专科毕业满两年就能报考，成人本科应届生也可报考以同等学力身份报考者一般不允许跨大类学科报考。以同等学力身份报考者复试时加试两门本科专业课所以最好以本科生身份报考，本科生还可跨专业报考本科生复试时不加试。
四：考大学和考研姩龄不限、婚否不限70岁也可考研。
今年成人高考报考人数激增出现了抢考位、抢为学位的现象，快人一步学习才能被择优录取，考仩名校！
如果您已经决定要提升学历考文凭建议大家先选好学校与专业，参加助学计划现在开始看教材，看线上课程进行备考
助学計划包含助学大礼包：备考教材+线上辅导课程+一对一报考咨询服务，前50名仅需299元考过可抵扣学费，考到一定分数可获得全额学费奖学金免费上大学！
自考本科不用来经过入学考试，即可根据自己的情况选择相关的专业参加该专业课程的学习。
函授本科是需要经过入学栲试的,在每年的10月份考试
2、获得学位的条件不同
自考只要通过全部的课程考试（包括英语课程），就可以申请毕业
函授本科还需要通過全国成源人学士学位英语考试，才可以申请毕业否则无资格申请学士学位的。
函授属于高等教育层次的一种学习层次主要按各专业敎学计划利用寒、暑假或国定假日派教师到各地函授站组织面授和考试。成人高等教育另外几种学习形式是业余学习（夜大）和脱产学习（全日制）
自考本zhidao科成绩合格后由主考学校和高等教育自学考试委员会联合颁发大学毕业证书，国家承认学历学信网可查，符合条件鍺由主考大学授予学士学位
考得尚根据考生客观情况进行诊断，通过系统科学的规划为考生在现行高考政策范围内制定出最有利于孩子的升学方案，帮初中低分生升入理想高中帮高中低分生进入理想大学。
你好函授和自考本科的区別。
函授是参加成人高考被高校录取后的学习形式主要是以看书自学为主，可以通过信件、邮件和教师沟通交流每学期院校还会组织時间在教学点开展课程百面授，帮助学员解答问题、讲解考试要点内容函授有期末考试，但并非全国统一考试而是由高校任课老师出題、院校自己判卷的考试，通过率高
自考既可以自学还可以报度名参加培训班，学习结束后参加每学期末的自考考试
上课形式的区别
函授：主要采用网络+面授的方式进行学习
自考：一般是平时网络或者面授，二者选其一的方式学版习
学习年限的差别
自考的含百金量比函授的要高但也比函授难，看你自己的学习能力怎样强的话就自考。
成人高等教育入学考试是全国统一举行的考试;自学考试没有入学考試考生参加单科考试，所有科目合格后方可申请毕业，一般的自考本科专业大概在14-16门科目之间每年江西省会举行两次自学考试，每佽可以考四门科目也度就是说最快能够在1.5年-2年之间毕业，不过运气不好的话一门科目也许会拖你三五年也说不定
自考因学起来较为困難，所以含金量问相对还是比较高的对于没有办法拿到统招本科文凭的人来说，自考本科用处还是很大的答无论今后考 研，就业还是絀国留学自考是目前除统招本科文凭以外社会认可度最 高的。
目前世界上共有26个国家承认中国的高等教育自考学历国家也有明确规定：高等教育自学考试毕业生在就业、工资、版户籍管理上享受与普通高校毕业生享有同等待遇。
同学们如果要想获得学位证的话必 须要參加学位英语考试，并且论文答辩合格只要同学们复习权到位，准备充分拿双证是没啥难度的。
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小平邦彦毋庸多言。原文作者昰颜一清发于2001年《数学传播》25卷1期，在此推荐给志趣相投的人
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小平邦彦是第二次世界大战末、日本快战败时才出道的数学家。 他在日本本土逐渐化成焦土 人在半饥饿状态下， 并在长子濒死的病床边完成的论文“Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized theory)”辗转央托美国驻日军人带到美国后得到发表的机会 因而得到 Hermann Weyl 的赏识， 邀请他到 Princeton 高等研究所当临時研究员 在那顶尖的数学家聚集的地方他得以伸展他的才能， 在1954年获得相当于数学 Nobel 奖的 Fields 奖 为东方人得此奖的第一人。
尔后他在代数几哬学方面的成就更加辉煌 如写出 “复结构的变形理论”、”Cohomology 消没理论”、 “复解析曲面的分类与结构理论” 等， 终于在1985年获得相当于肯萣他终身成就的 Wolf 奖在美国待了十八年后小平因东京大学的强力邀请， 回到日本 在东京大学等学校指导追随他的学生。
小平生性内向、朩讷、谦和 极不愿意出风头。但是使命感使然吧 在1983年他毅然接下 ICM90(1990年国际数学家会议) 营运委员会主席的职位， 筹措会议所需费用 当时怹已经患有气喘病， 健康情形并不好 等到ICM90开会时他已疲累得无法亲临京都的会场了。
注：日本第二位Fields 奖得主广中平祐(Hironaka Heisuke, 1931), 在日本新泻市参观┅家一百多年前的豪富之家时看到书法家山冈铁舟写的毛笔字“游里工夫独造微”, 印象深刻过后他觉得用这一句来描绘小平邦彦这位人粅最恰当不过。
小平邦彦于1915年(大正4年)3月15日在东京出生, 是小平权一(Kodaira Gonichi,) 的长子权一是长野县米泽村的人。明治18年出生当时小学有寻常小学四姩, 高等小学四年。而米泽村的小学只到高等小学二年级, 权一便每天来回徒步十六公里到就近的北诹访町读高小三、四年级
走长路使他练嘚一身好体魄。随后他念诹访中学, 第一高等学校, 东京帝大(简称东大)农学部, 毕业后又转念东大法学部读完书就职后权一当了农林省官员, 曾任经济更生部首任部长(1932年), 农林省次长(1938年),工作都非常忙碌。他白天听农民们的陈情到下午五点, 这才开始办公, 回到家常常已经是半夜这期间囸逢世界性大萧条, 加上日本人口过剩, 他便促成了一批一批日本人移民到南美洲做农业开垦。
权一在1939 年辞官赴中国东北出任满州国参议员, 1942年囙日本竞选成功, 成为众议员, 出任大政翼参会(沟通政府与民间意见的机构) 总务局长, 1943年辞职虽然这个职位没有机会参与战事, 但是战后权一被媄国占领军点名, 禁止出任公职。
在当农林省官员时权一在繁忙的工作中偷闲著述, 写了一千多页的《农业金融论》而取得博士学位, 并在一生Φ留有著述四十本,论文三百五十余篇其中大部份都在他公忙中完成。这一直到80 年代出现两本父亲的传记后邦彦才知晓他父亲精力之盛實在可佩。
有一次权一带孩子们去动物园, 小邦彦还以为哪里来的奇怪的伯伯要带他们出去玩呢
邦彦的母亲Ichi () 是长野县北诹访町人, 为人亲切、大方, 也很务实。日本战败后她说:“从今以后我们要好好学英语”她自己跟外国人可以用英语应对。
外祖父金井汲治当过上诹访小学校長,町长、长野县县议员, 为当地的一位风云人物他本人通晓汉学, 喜爱动物学, 常常走遍山野采集蝴蝶、鸟兽等做成标本。
邦彦四岁时有一个晚上跟父母亲一起睡觉醒来时却睡在另一个房间。他走进父母的房间, 要坐在包着白布包的东西上时被骂得很凶原来那白布包里面有婴兒, 是前一个晚上出生的他的唯一同胞弟弟Nobuhiko。
小时候在母亲的记忆里邦彦对数特别有兴趣, 常常数着豆荚里的豆子玩
稍长, 邦彦和弟弟合养一呮母狗Sero,后来Sero 生了六只小狗。邦彦把六只小狗全藏了起来 Sero 哭得好伤心, 到处寻找小狗。但是还它一只小狗, 它就心满意足, 不再找其他小狗了, 于昰邦彦认定狗没有数的概念 (事实上有单只小狗, 母狗便能发挥母爱,心就定下来了。依据动物生态学的研究报告,动物对4的概念还有, 5以上就不荇了)
在1922年小平邦彦读「帝国小学」。它是一所当时稀有的男女同校, 很开明, 男生也有裁缝课小平算术好, 其他科不行, 尤其是体育课更不行。作文课时他想不出好题材, 也就写不出来他对老师的问话都有些口吃, 声音又小, 没法子答好。就这样, 他变得很不爱去上学
考中学他倒考取了府立(公立) 第五中学, 它是一所尊重学生的自主性, 有自由风气的学校。
一年级的数学课是算术,二、三、四年级有代数与几何学, 三年期间各鼡一本教科书五年级学立体解析几何(当时的中学是旧制,读五年)。
三年级数学时小平与同学西谷真一合读代数与几何, 并作习题结果不到半年工夫书全念完了。这么一来小平想念更深一层的书, 就去书店买藤原松三郎(Fujiwara Matsusabr?o,) 写的《代数》(I, II) 来读书第一册的内容有有理数域、有理数域数论、无理数、连分数、行列式和二次型等。第二册从群论开始, 有Galois 方程论、分圆多项式、矩阵、一次变换、不变式论、数论及超越数论等小平学得很辛苦, 不懂的证明反覆再三地看, 还抄在笔记上背下来。这么一来好像懂了不过Galois 定理很难。
中学的课程中数学和物理小平都會, 化学还好, 但是英文、国语、史地都不行, 尤其是体育和军事操练更糟因此在教室里他尽量让自己不起眼。他自认自己不行, 不过中学四年級时教化学的导师倒不这么认为因为化学课计算多, 小平题目做得不错, 导师还劝他四年级念完就去考高等学校(中学是五年制, 但是读完四年僦有资格考高一层的高等学校) 呢。小平可是不愿意他希望把日子过得逍遥自在。
五年级念完小平考第一高等学校, 这是一所全日本最难考嘚学校, 他以为考坏了, 不会上榜, 便在放榜前躲到好朋友津守元太在镰仓的别墅里结果他母亲打电报来说“考取了, 回来吧。”他还是他考的類别理乙(1)(理科中语文以德文为主的班次) 的第一名呢
在高等学校, 学校当局还会点学生的名。不过老师们的样子看起来很潇洒, 小平想, 将来当高等学校的老师也不错呵二、三年级数学时数学教微分、积分学, 由荒又秀夫(Aramata Hideo, 1905-47) 教。小平和朋友们有时候会去荒又老师家打扰学声乐的师毋便以啤酒, 晚餐招待他们。看老师自自在在的生活方式, 小平的志向由学工程转变成数学
因为自学过《代数学》, 学校的数学课难不倒小平, 怹就继续看藤原松三郎的《代数学》与高木贞治(Takaki Teiji, )的《初等整数论》。但是文科方面小平还是学得不如意有一个例外是, 经济学的老师矢内原忠雄讲师(后来当过东大校长) 非常赏识他对问题的答法, 劝他: “大学一定来念经济系哦。”
1935年小平进东京帝国大学数学系当时考数学系的學生往往会挨家长骂, 说以后难混饭吃, 不过小平的父亲没意见。
大学的课程除了力学以外都是数学课程, 即使力学也像数学课就这样, 进了大學以后小平的自卑感才消失了。
2月26日发生了一群青年军官的叛变事件刚好当天要考末纲教授的课。考试也就停止了, 学生们好高兴! 成群上仩野公园去玩
一年级时小平还认真上课。二年级时他觉得上课的效率太低了比如, 一周两个小时的课一年中上八个月, 那差不多是上六十㈣小时。如果每天读八个小时书, 八天就够念完它了于是他长期溜课, 在学期末考试前数周才向同学河田敬义(Kawata Keigi, 1916~)借笔记来抄。仔细抄时讲义的內容也就自然进入脑中了
河田敬义是一位好学生,从来不翘课, 笔记又写得很完整。后来河田跟末纲学代数, 成为代数学的大家
溜课空下来嘚时间小平就去书店找书,买洋书回来看。他读的书有Alexandrof-Hopf 的“Topologie I”, M. Deuring 的“Algebraen” (1932) 等他的读书感想是: “对我来说, 没有比数学书更难念的了。数百页的书從头到尾念完至难因为知道‘数学’读懂了, 也就成为最简单不过的事而已。所以只念定理, 努力想了解它证明就自己想。而在一般情形の下是想不透的, 只好看书上的证明但是读一两次也不觉得懂, 便把证明写在笔记上看看。这回注意到证明有不中意的地方, 就想有没有别的證明法? 这样子好不容易读完一章时前面的部份已经忘了没法子, 又从头复习。这回倒在意起整本书章节的排列方式来”(《数学 Seminar》, 1970年8月号)
朂后一年的三年级数学(日本旧制大学只有三年) 本来要跟末纲专攻代数, 结果末纲把小平转给弥永学几何。可是他对当时的事情已经没有印象叻
小平在1938年数学系毕业后又考东大物理系。这有一些原因: 他读了Hermann Weyl 的《群论与量子力学》和von Neumann的《量子力学的数学基础》, 由于对他们的崇敬使他觉得他应该多了解数学与物理间的关系而且他是一个moratorium的人,想把毕业年限延长。又有一个理由是, 当时中日战争已经发生, 没有学籍就会囿兵役问题
考物理系也要考化学科目。小平去请教物理系系主任听说化学考零分也有机会录取, 小平也就准备去应试, 并且考上了。
念物悝系时与数学有关的课程小平请求开该科的老师让他免修, 老师也都答应了虽然念物理系, 小平并不常去上课, 还是念数学书, 有什么心得便写荿论文。在数二至物三这五年间他一共写了七篇短论文和一篇长论文,都发表在日本的学志上其中两篇分别与安培亮(Abe Makoto, 1914-45) 与弥永昌吉合写。
1941年3朤小平从物理系毕业, 成为物理系的委托研究员, 教物理系学生数学课程同年9月他兼为东京文理科大学助教授。
1942年12月8日日本偷袭珍珠港而与媄国开战
早在小平七岁时他父亲出差德国, 买回一座钢琴和一盒可组合的玩具。多年后小平觉得构成数学理论与组合玩具相似双方的材料都各自给定, 要想法子才能做得出期盼的事物出来。小平中学三年时开始练纲琴过后因纲琴老师的安排时而帮小提琴手伴奏。他也替老師弥永昌吉的妹妹Sei 伴奏过他们就这样结缘, 于1943年5月30日结婚, 次年3月生下长子和彦。
Sei 有一位姊姊Tae 子, 她与数学系晚小平一届的安培亮结婚安培昰一位难得的才子, 可惜因战争时期的物质缺乏体质虚弱又因工作劳累过度而早逝。
Sei 的三位兄弟都很杰出
战局越来越险恶, 小平与弥永两家囚疏散到轻井泽(日本观光、避暑胜地, 海拔一千多公尺)。寒假小平也去那里但是食物缺乏与取暖物少的轻井泽, 冬天特别冷。他们只好盖多層棉被取暖可是厕所的污秽物结成冰,要把它敲碎才能使用, 这便成为小平份内的工作了。
到了1943 年战事非常吃紧, 除了读和研究自然科学的人鉯外, 日本政府把所有的大专男生全部投入军队里
1944年1月小平升为东大物理系助教授。这时候东大仍然在东京上课, 而空袭越来越频繁, 躲空袭嘚次数多得读不成书物理系在开会时小平提议疏散到乡下。这个建议一下子就被采用了经小平父亲的协助, 数学、物理两系疏散到诹访、米泽村, 家属也一起搬过去。但是乡下地方食物更缺乏没有东西吃的日子好惨, 学生们却很用功。这疏散的班上后来优秀的数学家辈出看来生活与学问好像不太有关连。
在透明的蔚蓝天空上方一万公尺处编队飞过的银色B29(当时威力最大、最强的美军轰炸机) 在阳光下闪闪发光, 看起来非常美丽这跟躲在阴湿的地下室的日本人简直无法想像成为同样人类的作为。仿佛日本人是受了宇宙人的攻击因此小平无法对敵人产生敌忾心来。
当时小平的弟弟Nobuhiko 被征召至陆军, 由干部候补升成军官快终战时他在宇品(距广岛约六公里) 的船舶部队服役。 8月6日他在办公室听到巨大的爆炸声, 夺门而出时看到天边有菌状的云朵升起他赶紧奔回办公室拿相机回去时菌状的云已经散成圆筒状的。当晚他和同伴们赶去广岛, 收拾因原子弹爆炸而被炸死的尸体达十天之久
这位弟弟战后在气象台做事。昭和52(1977) 年做到气象卫生中心的第一任所长日本嘚第一颗气象卫星便是他负责监制射入太空的。
1945年8月15日日本投降小平东京的房子夷为平地, 无家可住, 所以终战后家属还住在米泽村。
早在1940 姩小平在当年的Duke Mathematical Journal 上读到Weyl 的《Riemann 面的概念》后一直想着能不能把它推广到高维上? 尝试的结果他发现用de Rham 定理、Hadamard 的偏微分基本解与Weyl 的正交射影的方法便毫无困难地可以把Weyl 的定理推广到n 维他就把结果先写成《Riemann 流形的调和张量场》,
分三次发表在昭和19年(1944)的《日本学士院欧文记要》上。详細的文章就在疏散地继续写战争一激烈, 日本境内文献进不来, 专刊杂志也全部停刊了。小平说不出来他为什么一直猛写那毫无发表指望, 可能还过了时的文章
终战后稍晚, 到了秋天小平才回到东京来。在归途的火车中他被偷了一脚鞋子, 只好一脚赤一脚鞋在大雨倾盆中看地图走箌他父亲住的千岁船桥边的立志舍, 暂住下来, 从那里去东大上课
1947年1月小平的长子和彦得了肾脏炎, 住进北诹访的日赤病院。那时候住院还得洎备炭和米自炊就在病院的一角, 一边被蚤子骚扰, 一边照顾儿子, 小平写完了早些日子以来一直进行着的论文的最后一页。
后来因钱用尽, 只恏让孩子在11月初旬出院回米泽村 11月13日和彦便走了, 只活了3岁8个月。
回来东京后食物还是很难取得保暖靠炬(日本式火炉、烧碳, 在火炉上盖被取暖)。电频繁地停, 但美国人住的地方就不停电在银座有一家驻日美军专用的餐厅, 由四面框着的玻璃可以清晰地看到里面灯光通明, 很暖囷的样子。一些美国人在吃着看来很美味的牛排
瞧着这些, 小平心中不禁感慨万千:什么时候日本的经济才会繁荣起来? 好像是遥不可及的样孓。
虽然如此, 学生们还是好用功,表现得很好即使绞尽脑汁出难题考他们, 还是有几个学生会考满分。
一伙人还是照常开讨论会到夜里八点哆当然没有吃晚饭。不够东西吃怎么大家还那么有精神求学问实在是件不可思议的事
由于这些讨论会, 小平对二次常微方程的特征值感箌兴趣而发现了特征函数展开的一般式。利用它可以有各种应用方法他就把结果写成《二阶常微分方程的特征值与Heisenberg 的S 矩阵理论》, 在1943年8月託将去Princeton 高等研究所的汤川秀树(Yukawa Hideki, ) 带去给Weyl。 Weyl 来信说已经有Titchmarsh
在战争时期外国的杂志都无法进入日本唯有Heisenberg 的S 矩阵理论是一个例外。它是由德国潜沝艇辗转带入东大物理系的一篇论文, 而给了小平写上篇论文的灵感
Weyl 看后认为它是一篇好论文,就聘请小平去Princeton 高等研究所, 为期一年。
赴美的掱续很麻烦日本在美军占领之下, 因此护照由麦克阿瑟司令部颁发。体检很严, 有胸部的X 光至肚子中蛔虫的检查小平给喝了强烈的蛔虫药, 結果在回家的路上蛔虫受不了药, 从肛门爬出来, 经裤管掉到地面上, 有30公分长吧。
1949 年8 月10 日小平和也要去Princeton 高等研究所的物理学家朝永振一郎(Tomonaga Shinichiro, 1965 年诺貝尔物理学奖得主) 一起搭Wilson 总统号赴美船路过夏威夷, 两星期后到达旧金山。小平晕船晕得厉害, 都觉得要死掉了他们从旧金山坐飞机到芝加哥, 又从芝加哥换火车到纽约。 9月9日从Princeton
Weyl 身材高大、圆脸、眼睛也圆圆的,满脸笑容, 是一位好爷爷般的大数学家他看小平的英语那么差, 吃了┅惊, 仔细看看他后说: “第二学期英语好些以后在seminar 上讲调和张量吧。”
从生活困难的日本到美国好比来到童话故事中的美好国度 Princeton 虽然冷暖變差大, 在冷天室温却会自动调整到22?C, 这在当时的日本是不能想像的好环境。
在高研所大家没有任何义务, 唯一的条件是学期内人要住在Princeton
小岼和朝永每晨差不多10点到高研所,从住处不坐交通车走路也只要25分可到达那儿。小平在办公室读书或写论文, 到12点便到4楼的餐厅用餐 Weyl 也会跟夶家一起吃中餐、说笑。他虽然是德国人, 英语很溜, 常常让大家笑成一团, 只有小平愣在一旁欧洲人大概觉得写英文比讲的难, 有人还问小平: “你论文的英文真的是你自己写的吗?”,Weyl 觉得有趣, 就说:
“明年要请你在seminar上讲哦, 哈哈哈。”
办事方面可是一点困难都没有秘书Miss Eiglhart很善解人意, 只偠小平站在她的旁边, 她就会领会他的意思, 替他办好事。说来有缘, Miss Eiglhart 在日本轻井泽出生, 还当过小平太太的学校香兰女学校的音乐老师
高研所從4月上旬至9月下旬是暑假。 9月底开始逐渐有课或开seminar
1949年秋天Siegel 讲三体问题(three- body problem), 每周三小时。他每学期讲不一样的题目, 讲课时从来不看笔记, 多难的式子都记在脑中他慢慢地讲, 每回还会复习上回讲的内容15分钟, 所以他的课容易听懂。
据说Siegel 为讲1个小时课要准备6个小时, 他又常开不同课, 所以怹很用功
有一回与小平闲谈时Siegel 说他早上9点开始念书, 有时候太专注了, 到半夜12点都忘记吃东西。然后半夜里吃一天的份, 搞得胃怪怪的这是瑺人做不到的。他一生单身,生活毫无牵挂才会这样吧
同年10月初Princeton 大学的D.C.Spencer 教授传言说要见小平。一见小平, 他说想组织一个seminar 讨论有关小平调和張量的论文小平以"不会讲英语, 不行的"来拒绝。 Spencer 便说: "你现在不是讲英语了吗?"
就这样10月中旬开始与Spencer 开讨论班本来以为是别人帮小平讲他的論文, 结果不是, 是小平自己讲自己的论文。没有想到这就是小平往后与Spencer 共同研究的开始
觉得它应该有什么重要性, 就像学生般下工夫读起来。 Spencer 有先见之明, 想作层(sheaf) 的讨论也是他他的为人充满善意与热诚, 还会把这些传染给他周遭的人, 形成一个热心的研究团体。 1950年代Princeton 研究复流形的囚急速增加它的原动力非Spencer 的热心莫属。
1949年11月4日汤川秀树获得诺贝尔物理学奖(日本首位)第二天小平与朝永赶去纽约向他道贺。
seminar”原来Weyl 佷讨厌有人抽烟。再来是de Rham 讲了七、八回依据新想法的调和微分形式, 接着小平讲了它在复流形上的应用
de Rham 是瑞士人, 专攻代数拓扑学(原文如此。de Rham是一位微分拓扑学家）,他还是一位登山专家并为某登山杂志社的编辑。有一次一位物理学家说爬岩石没有意思,把生命悬挂在一条绳索仩结果de Rham回答他说: “不, 把生命悬挂在脑筋上。”
在seminar 中听说大数学家Emil Artin音乐造诣很深闲余研磨天文镜片。
有一天难得地有Einstein 的演讲, 公布栏上只寫演讲题目, 没有写演讲者以免造成哄动演讲时Einstein 在黑板上写数式, 还一边喃喃自语。仔细一听, 原来他在用德语念式子中的A,B,C · · ·。当时依据微分几何学的统一场理论已经过时了, 年轻人不屑一顾如今又盛行这种研究。学问也有流行, 真不可思议
4月过后Princeton 高研所便放暑假了。这时候O. Zariski 請小平去Harvard大学演讲三天, 每天一小时演讲时Zariski与Hodge 两位大师还坐在最前排听讲, 令小平很不自在。
Zariski 是俄国人年轻时在意大利念代数几何学。他對意大利学派的证明不严谨很有意见意大利派学者的定理往往是正确的, 他们的证明可是不对劲。而像F. Enriques就曾经跟Zariski 讲过这种话:“像我这样的貴族用不着去证明定理证明由你们一介平民去做就行。”这句话很让Zariski反感他给Enriques-Severi 的有名引理以严密的证明,
在Princeton 一年之间小平逐渐对自己有叻信心, 写信给太太说大牌的以外, 他觉得他可以跟一般所员平起平坐了。
与小平一起来Princeton, 也住同一宿舍的物理学家朝永振一郎起先说“来美国恏比是流放到天国”但是感冒过后很想家, 会说: “厌恶了这里的食物”, “想脱鞋子赤脚”,“没有吃米饭, 失去神通力”,“窗子有纱网, 蚊子飞鈈进来。蚊子没有嗡嗡嗡飞过来就不像夏天”不过还算有一句好话: “厕所不臭, 好耶!”但是乡愁到最后阶段竟成“厕所还是臭才行!”。
朝詠振一郎终于在1950年7月要回日本了, 他预计与嵯峨野辽吉在Iowa 州的大学城Ames 会合, 6月27日出发做汽车旅行,7月9日到达旧金山小平也同行。一路上他们过沙漠, 看了洛矶山, 大峡谷等自然名胜但是两个人对风景不热衷,要小平下车去“侦察”一番, 等到说景色好, 他们才肯下车去看。
在旧金山小平遇到才要去Princeton高研所的岩泽健吉(Iwasawa Kenkichi,1917—), 便一起去Chicago 大学小平才来美国时也去过那里, 认识了Andre Weil。那一次Weil 还带着鬼面具从三楼窗口探出头来过后他们通信讨论过问题。这回因Weil 的安排他们两人还得到Chicago 大学数学系的办公室,并跟Weil
一起住在国际学舍一个月三个人每天可以见到几次面,中餐常在┅起。 Weil 的家人回法国去, 所以他一个人自自在在的
Weil 随时会提出问题使人吃不消。这个人脑筋惊人得好, 凡是别人想到的问题他差不多都想过叻两个人对Weil 实在没辙。不过这么一来小平学到的东西有在Princeton时的三倍多, 岩泽也说他从来没有那么用功过
Weil 喜欢散步走数公里路。他走得猛赽, 而且他还有一个特技: 一下子杀过川流不息的公路上的车流, 而笑着看过不来的小平与岩泽他一路走一边还讲数学的话。这种散步一点也鈈轻松他待年轻人很好, 但有随时来的脾气。
国际数学家会议后F. Conforto 在高研所待了一阵有一次小平与他在散步时说,小平的Riemann-Roch 定理中含有代数曲媔上完备性线性型的superabundance的公式。 Conforto说: “我来实验看看”, 就以各种代数曲面的例子来做心算,过后他说“大概是对的” (他的心算工夫实在惊人!) 他嘚想法是单凭证明不够,
还得实验看看才行。从这儿好像可以见到意大利代数几何学派秘密的一端了难怪A. Todd 在1930年曾经说过“代数几何学是一門实验科学”。
本来在1950 年暑假前小平已经答应Weyl 续聘一年, 但是在Baltimore的Johns Hopkins 大学数学系系主任周炜良很热心地邀请小平去那里当一年客座副教授,年薪囿6000美元(在高研所小平第一年有2500美元, 第二年预计有4000美元)于是小平跟回瑞士的Weyl 商量过后决定去Baltimore一年。
1950年10月初小平到Johns Hopkins大学他对学生用英语讲課还可以,可是学生的发问就听不太懂。由于小平对自己的英语发音没有把握, 上课时就连叙述的文章也写在黑板上结果学生们很高兴地说看得懂。他们说不是去听课, 而是看课
东京大学方面在1951年把小平从物理系助教授升为数学系教授,可是当年4月小平辞掉了东大的差使。
1951年6月Φ旬小平从Baltimore 回到Princeton 来这回他已经负担得起家人的生活费用了, 便在6月底让太太从日本带两个小女儿(长女康子(Yasuko) 在1947年5月出生, 次女Mariko 在小平来美后出苼)过来。
高研所携眷的短期研究员住在研究所旁边的六排宿舍里这些房舍以前矿工们使用过, 叫做monkey houses, 相当简陋。但是比起东京烧迹上造就的陋屋要好得多小平也分到一间。小平太太好感动可以买到大块牛肉宿舍边的森林里可以采到野草莓,有时候还有鹿会出现, 让孩子们好乐。
小平在家里的工作地点是餐桌, 他一向喜欢在那儿做事小平花了60元美金买到一座低半音而无法调整的钢琴, 太太买到10美元的小提琴, 便常常囷附近的几位数学家凑合, 演奏室内乐。
高级研究所后院有von Neumann的研究室他用一万四千个真空管做成的第一代电脑占去研究室的一半。它的性能当然远不及现在的电脑, 不过von Neumann 的卓见是值得敬佩的
1952年9月开始因Spencer 的介绍, 小平也到Princeton 大学教书。大学是前半年,教一门科, 高研所是后半年, 这样的凊形持续了5年当时Princeton 大学数学系系主任是Solomon Lefschetz。他本来是工程师, 因事故失去两手后才成为数学家他懂许多事,连日本的事也懂得不少。
小平夫婦参加的Princeton 大学数学系初次宴会时Lefschetz 瞧他们夫妇半天,说出来的第一句话便是:“夫人比先生高哦!”
在Lefschetz 当系主任期间他很照顾小平当时担任日本學习院(日本战败前专为皇胄贵族设立的学校) 院长的安培能成来Princeton, 想见见Einstein, 谈谈世界和平的问题。他总算见到了Einstein, 据说Einstein对世界和平抱着非常悲观的態度
在Specncer 提议之下小平与Spencer等人开始做层(Sheaf) 的研讨。起先小平只觉得“层”这个东西既抽象, 又奇怪直到1953年春天才发觉它真好用。
有一天小平照常跟Spencer 吃午餐时讨论数学结果发现用层可以简单地证明出Severi 的猜想, 即两种算术亏格(arithmetic genera) Pa与pa会相等。这是在1949年Severi 给意大利学派做代数几何演讲时提絀的, 他并说证明大概很难, 就像远方的星星般遥不可及
就这样, 小平与Spencer 合写了《有关代数流形的算术亏格》。
他们逐渐发现“层”在代数流形与复流形上极为好用他们两个人应用“层”在各类问题上写出了几篇论文。
Riemann 面上最重要的定理Riemann-Roch 定理推广到高维, 是当时复流形的中心问題它在1953年秋天被Hirzebruch 解决了。看来复流形的一般理论告了一段落
1952、1953、1954年是小平出论文最丰盛的时期。他一年中差不多写出100页的论文来1954 年嘚国际数学家会议在荷兰的Amsterdam 举行。小平本来想偷懒不参加,但是Weyl 透过Spencer 告知小平他是这回Fields 奖得主之一(其实得奖的名单是不预先公布的)
小平与呔太Sei 于是在八月中旬从纽约出发, 先观光意大利, 在瑞士拜访了Weyl 的府上。到了Amsterdam, 要去会场途中小平迷路了, 想起旅游导览说: 在荷兰, 连狗都听得懂英語于是小平就问附近的一家蔬菜店,店里的一个小伙子用英语教他怎么走。
那回的Fields 奖由小平与J.P. Serre获得各人得金章与1500元美金, 由Fields奖评审委员会主席Weyl 颁奖并详述得奖人的工作。小平在会场演讲《有关代数几何学的超越理论中的几个结果》, Serre 演讲《Cohomology与代数几何学》
会后荷兰女王在离宮的御花园宴请与会的主要人物。 Serre 不经心抽起烟来过后他说：“这个烟蒂该怎么办?”小平建议他:“藏在小石子下面吧。”Serre 便笑着说:“就潒猫那样?”
1955年3月15日大家在高研所的餐厅吃中餐时有人说:“今天是小平40岁的生日”Weyl 这个人心直口快, 话无法收在心底。他便说: “依我看, 数学镓的成就到35岁, 你要赶紧加油啊(you'd better hurry)!”过后大概觉得说过了头, 又加上: “也有例外, 你可能是个例外”
又, 小平要给Weyl 调和张量场的论文抽印本时Weyl 说: “峩可能古板(I may be old fashioned), 不过总觉得我写的正交射影法不好。你把论文改写成不用正交射影法才好”诸如此类。
其实Weyl 是二十世纪最后一位领域广阔的夶数学家, 他的研究范围遍及数学、物理及哲学
同年4月18日1点15分Einstein 去世。死因是动脉瘤破裂遗体当天下午移去火葬场, 由跟他有亲交的十数人聚集在一起, 其中一人朗诵歌德的诗中一节。遗体火葬, 骨灰撒在某不知名的地方他去世的消息在研究所里只是大家的茶后余谈而已。
复流形的一般理论解决后小平就想, 这回该看看复流形的结构吧他开始做的是二维紧致复流形的研究。而早在1952年他就跟周炜良证明出有两个代數独立(meromorphically independent) 的有理函数的曲面必为代数曲面再来他便想: 只有一个代数独立的有理函数的曲面该是什么呢? 而在1956年他看到井草准一(Igusa Junichi, 1924—) 的猜想:
“紧致复流形由代数流形与复环面(complex torus) 组合而成”。小平想, 如果它是真的, 那么具有单一代数独立有理函数的曲面便是椭圆曲面啰
以此为契机, 小平開始做椭圆曲面的研究。他把古典椭圆函数论套上去用, 得到一系列巧妙、有趣的结果来这便是他的椭圆曲面论。他把这个发现过程以夏目漱石的著作《梦十夜》中工匠运庆雕刻仁王(哼哈二将) 像的一节来做比喻: “运庆在一寸高处横刻粗眉后就把凿齿转直, 斜斜地从上面打下锤孓把坚硬的木头削掉随着锤子声厚厚的木屑跳起来,
而留下的木头浮现出仁王膨张鼻翼的怒相侧面来。他刀子的下法毫不犹疑, 一点都不参雜疑念的样子我太感动了,像自语般地说: ‘真有办法, 那么不在乎地用凿子, 就能刻出自己要的眉、鼻来!’结果先前在旁边的年轻人说: ‘那不昰刻出眉、鼻来,而是有这么样的眉、鼻埋在木头里面, 他只是用凿子和锤子的力量把它们挖出来罢了。就像从土中挖出石头那般, 错不了’”
小平说: “我的椭圆曲面论其实不是我想出来的, 它本来就埋在‘数学’这种木头里面。我只不过是借着纸和笔的力量把‘椭圆曲面论’挖掘出来而已这是我当时真正的感觉。”
《梦十夜》这一节的下文是: “我这才想到雕刻原来只是那么样简单! 那谁都会啊于是我也想刻出仁王像来。回家后我把堆积在后院的木柴一根一根拿起来雕刻看看但是, 很不巧, 每一块木头里面都找不到仁王像来。终于我了悟到原来明治(时代) 的木头里面并没有埋着仁王像这个事实来”
“紧致复流形是由有限个坐标邻域贴合而成。它的复结构的变形不过是把贴合的方式妀变而已”这是小平与Spencer 共同研究复结构的变形理论的基本想法。
令紧致复流形为M, 复流形对于时间t变形的速度可用cohomology 群H1(M)表示,为M 上的正则向量場的“层”令M 的亏格为m。则m, H1(M) 间应有密切关系计算几个例子的结果, m = dimH1(M)。想找反例来去掉这个巧合,但都找不到那么就证明它是对的吧, 却很鈈容易。就这样在尝试中他们逐渐发展出变形理论来。
作这个研究的过程很有趣每天跟Spencer 见面, 上街吃午餐后又回大学讨论变形理论, 查看具体例子, 这相当于物理学上的实验。变形理论的开端其实是实验科学由于小平不开车, 到Princeton 大学都由Spencer 接送。回程时他们一路上的讨论往往还沒有结束, 他们便坐在车内继续谈所以小平的邻居们都认得Spencer 这个人。
说来小平与Spencer 不只是研究上的伙伴, 他们在个性上还是相辅的小平少话叒害羞, Spencer 却有火爆性脾气。在系里各种运作上Spencer 用他的方式来保护小平, 使小平能够发挥他的潜能
在日本, 小平在美国的数学成就很受到重视。 1957姩他被授与学士院奖, 由他母亲代领同年秋天小平看报才知道自已获得文化勋章(由日本天皇授与在文化、学术上有杰出表现人士的勋章)。這一次不能由别人代领, 宫内省派人把勋章送到家里来小平的父母亲为儿子得到这个殊荣好高兴, 还宴请亲友们表示庆贺。
有一天一伙数学镓到Princeton 郊外餐厅吃晚餐长方桌边坐了二十来名数学家。Spencer与小平坐在一起, 便谈起数学的话来结果Princeton 长老教授之一的Feller嘲讽地说: "他们两个人很少見面, 所以一见到面就谈数学谈个没完。”Spencer 吃了一惊, 说:“不知道我们受人注目”坐在Spencer 旁边的高研所的A. Borel 教授说:“吃醋呀!
他怕你们在谈话中又會写出一篇新论文来。不是么?”小平与Spencer 这才知道他们成为长老教授们嫉妒的对象
在美国, 教授的薪水是一个秘密。有一回小平与Brandeis 大学教授松阪辉久(Matsusaka Teruhisa, 1926—) 谈起薪水的事松阪听小平的薪水后说: “你才拿那么些? Princeton 大学这个地方好糟哦!”这才知道自从Lefschetz 辞去系主任后小平不讨长老教授们囍欢。
1961年Zariski 邀请小平去哈佛大学教了一年在那里隔周在Zariski 家有男人们的聚会。客人有广中平祐、Grothendieck、Tate, Mumford, M. Artin 等人大家边喝酒边谈数学, 由晚上9点多持續到12点多。 当年冬天广中平祐解决了多年未决的代数流形上奇点的消解问题
1965年小平家搬到Stanford, 它是一个大学城, 气候冬暖夏凉, 非常宜人。
这年尛平的大女儿康子高中毕业, 她同时申请到加大Berkeley 分校与日本国际基督教大学她说她既然是日本人, 要回日本看看, 就回去读国际基督教大学。結果她的谈吐举止被认为太古板了比如, 她问“茅厕在那里?”同学们笑她说:“不要用那武士般奇怪的话好不好?”原来厕所她们如今叫做“o–toilete”。前面的o (御) 是敬语, toilete
是法语的厕所不过有些访美的日本人会对小平说: “府上的小姐比日本的女孩子更日本化呢。”
同年小平被选为日夲学士院会员(相当于我国的中央研究院院士)
1966 年夏小平为参加国际会议与Spencer 一同回日, 待了一个半月。结果东京大学的人一再来邀请小平回去敎书, 小平终于答应1967年回日本回国的好处是小平可以在他的母校东大教到许多好学生, 而他大女儿的话:“爸爸, 您在日本会比较快乐”促成了怹回日本的决定。
在Stanford 第二年小平的年薪已经是24000美元(等于教九个月课的薪水), 年收入(年薪加学校补贴三个月的薪水, 等于年薪×4/3 ) 有32000美元日本人┅向不屑开口讲钱, 所以小平没有问待遇, 回去的条件是不管杂事, 不做什么“长”。
小平被美国各名校争取去教学, 除了他研究工作做得很好以外, 教书也有他的特色 1955-56 年Atiyah 在Princeton 高研所当研究员。他描述过小平讲课的情形: “前排坐着一些年轻一代的几何学家, 如Hirzebruch,Serre, Bott, Singer 等人前排常是拥挤的, 因为尛平的声音近于耳语。幸好他写得很清楚,
在小平回日前二十来名数学家在Stanford集会, 他们决定把他们的论文做成专集(“Global Analysis”, 1969年出版) 献给小平编辑鍺是弥永昌吉与Spencer。执笔者有小平在Princeton 的老朋友, 新生代的代数几何学家及小平的学生们过后小平回想起来, 他待在美国的那十八年正是美国的升平时期, 物价平稳, 治安好。以后那样的“好日子不再”了
在美期间小平太太是先生的专用司机,小平一直都没有练过开车。
1967年8月中旬小平┅家人回日本 日本各大报都刊登他回来的好消息。 小平回日本后出任东大数学系教授 教四年级及研究所的课。 那里的学生很优秀 有些学生的硕士论文可比美美国的博士论文。 Hirzebruch来日时小平给他看上野健尔 (Ueno Kenzi1945—) 的论文。 Hirzebruch说它有三篇博士论文的份量
又， 小平在东大数学系時的老同学河田敬义主持复流形研讨会每周六从下午1时开始至3时止。 河田说: “小平 你每周来坐着就好了。” 研讨会前后持续了近二十姩 每回都有新的研究发表。小平也提出了几个未解决的问题 如: 第 VII 类曲面的第2 Betti 数是否为0等他关心的问题。 结果这些问题大半都被参与者數年内解决了
1968年东大大闹学潮， 它像流行病般蔓延到全日本 学生们骂老师是 “专家傻瓜”。在师生沟通意见时小平答学生们: “不是专镓傻瓜的人是纯然的傻瓜” 这句话倒变出名了。
三年后的1971年11月4日教授会议时在小平缺席之下他被选为理学院院长 小平大吃一惊。 本来囙国的条件中有不当什么”长”的 但是当选者从来没有辞却的先例，只好就任 这样下来开会多， 可是没有什么决定权 只有附议权。
茬这期间小平也去过 Johns Hopkins大学参加谈话会 当晚的宴会中遇到 Evans院长。 当年他劝过小平不要去 StanfordEvans 看到小平， 来握手说: “我不能相信你当了院长” 宴罢要回去时他又过来握手说:”我还是不能相信你当了院长” (“I still can’t believe you are a dean”)。 这是他观察小平一个晚上后下的结论
这表示他比东大的教授们哽有眼光知道小平不适合当院长。理学院院长的任期到1973年11月8日
由于实在疲于应付工作， 小平得到教授会的首肯 提前在当年4月1日卸任。 泹是当院长的压力确也停止住了小平一向有的充沛的研究创意
两年后 (1975年) 小平从东大退休。 在退休前一年的秋天依照惯例在谈话会中有一場演讲 高木贞治当年讲的是 “回顾与展望”，小平觉得他没有能力展望数学的将来 就讲成 “回顾与 ? ? ?”。
“? ? ?” 的部份他说: “进步的形式应该都是一致的 进步典型的例子便是生物的进化。3、4亿年前鱼类中比较幼稚的进化成两栖类在透明的水域中潇潇洒洒游著的鱼的子孙仍然是鱼， 而幼稚形态的鱼类进化成两栖类; 幼稚形态的两栖类进化成爬虫类等等 而幼稚形态的猿猴进化成人类。数学也是┅样 在某一领域的进步不是来自最前端的， 而是由它最基本的部份发展出来 例如，
平面几何学两千年来一直在进步 但是解析几何学鈈是由平面几何学的最前端产生， 而是由最基本的部份发展出来 我们研究数学时会决定某一个专门的方向。 如果在它最前端处研究 可鉯得到新颖的结果，但是不会有多大的突破 而在泥沼、 黑暗中摸索、 寻觅， 可能可以得到意想不到的结果来”1975年3月中有庆贺小平还历 (60夶寿) 的 conference。 从美国有 Spencer
与小平最早的研究生、 芝加哥大学的 Baily 教授来参加
在 Baily 的回忆里当年小平讲课讲到得意处眼睛会闪闪发光。 他还会带着害臊的微笑 并露出一付很享受研究乐趣的神情来。
小平一向对别人的工作表示关心与尊重 他会倾听对方说的话， 并给迂回式的建议 他講话温和， 不会咄咄逼人在小平回日本前就有 仓颂夫(Sasakura Nobuo， 1945—)、 河井壮一(Kawai Soichi 1939—) 等人顺着小平的研究方向作研究。 在1968至1974年小平教出的优秀数学囚材就有上野健尔、井上政久(Inoue Masahisa 1946—)
小平退休后成为东大的荣誉教授。 他认为以前的荣誉教授有威严 他自觉无法达到那个境界， 便请教别囚给他秘传 结果数学家山内恭彦写明信片给他说:”“悒忧自惕”。 世纪末的荣誉教授无法 “悠悠自适”(前四字与后四字在日文上同音)
尛平在美国待了18年， 想法多少变成美国式的 在美国聘请人时会先讲好给多少薪水。 东大要求小平回去时薪水的事只字不提
小平总以为怹可以得到一般人的待遇。 没想到他的薪水比别人少得多 在日本薪水要算年资， 而小平在美的年资并不算进去 过了年， 到了一月他才鉯特别升级方式得到与别人一样的薪水 而退休金日本人有年金与退职金。 小平的退休金退职金部份美国的年资是算进去了 但是年金只算他在日本的7年份， 只领到一点点钱 拿到这样的退休金小平好泄气。 朋友们知道后给他当顾问什么的 这一年 (1975年)
他被授与藤原奖 (日本藤原科学财团所设， 一年给一名 (后两名)科学领域上有杰出成就者)原由是1957年小平得文化勋章以来一直有杰出表现， 如写出复解析曲面理论与複结构变形理论等
从东大退休后当年4月小平去学习院大学教书。 学校从家里走路25分钟可到达 当时的学习院大学理学院院长是小平念物悝系时的同学木下是雄， 便请他开立证明不当院长之类的职务
教了学习院大学小平才知道学生的数学能力逐年下降。 据说其他学科也是┅样 看着学生的学习能力越来越差而无能为力， 他会觉得是件憾事教了10年后小平在1985年3月底从学习院大学退休下来。
同年5月小平与 Hans Lewy 同时被授与Wolf 奖 它等于肯定他们终生贡献的一种奖， 由 Wolf 财团给与
Wolf 奖每年授给数名科学 (数学、 物理、 化学、 医学和农学) 家与艺术家。 授与对象鈈论他们的国藉、 人种、 宗教与性别 只论他们是否事迹显著， 并对人类福址 (Welfare)有所贡献
Richard Wolf () 是生在德国 Hanover 的化学家， 第一次世界大战时移居古巴 他研究从溶矿炉中的残渣回收铁分近20年而终于成功。 这个方法后来被全世界使用 他因而致富。 1961年他被古巴 Castro政权派往以色列任大使一矗到1973年两国断交为止 过后他留在以色列至去世。 他投入他的财产成立 Wolf 财团 (Wolf 小平带大女儿康子去以色列领
Wolf奖 康子看到另一位得奖者 Lewy (80岁高齡) 说: “您看起来很健康哦!” Lewy 回答:”大家都这么说。” 他的健康法是散步与弹琴他的琴艺大概很好， 因为他一度想成为音乐家 但被他父親说: “要当就要当一流的!” 这才作罢。 他只自己弹 不听别人的演奏， 因为早年听过名家的演奏 一直记得那种琴音， 而现今的钢琴家的彈法不对味
1982年12月6日小平被请去参加日本教育审议会开会。 小平对当前的教育很有意见 依他的看法， 现今大学生素质的低落该从小学教育检讨起 小学课程太早加入社会科和理科是不对的。 小学低年级该加强的是国语与算术
而中学该重视的是基础教育， 不要一窝蜂流行什么新式教育 (小平的长女在 Princeton 就身受其害) 如今不再教 Euclid 几何学， 因而也失去它所带来的数学逻辑的训练 这是一种大错误与大损失。
至于大學生的程度低落问题 它应该跟入学考试的出题与考试方式很有关系。小平认为数学的初等教育是培养学生数学式的思考力与感性 而不昰给他们强塞各种领域的片断知识。
教育当局并没有全听进去小平的建言倒是删掉中学数学教科书中的 “初级集合论”。 小平的反应便昰写了一些中学数学教科书 以便增进日本的数学教育。
1983年 ICM (国际数学家会议)90筹备委员会成立 会议时预计将有3千多名数学家聚在一起， 会期有10天 会议中颁发Fields 奖， 其他还有一些社交活动 这些都会引起全世界的注目。 所以开会的筹备工作很要紧 开会地点决定在京都国立京嘟国际会馆。 运作的责任体系却很难建立起来为了能够让日本数学家们同心协力合作， 大家强请众人所尊崇的小平邦彦为 ICM营运委员会主席
这回小平竟答应下来这个为筹措开会基金费心的事。
数学界和企业界人士敬佩小平的名望与为人 捐得大方。 数学家捐款者有1300人总額为日币4000万元。 企业界的捐款数目超出ICM86的美国企业界的捐款数额但是签发谢函等细碎的工作让小平气喘的毛病加重， 健康情形显著衰退 等到 ICM开会时他已经无法亲身到会场了。
小平的两位小姐长得爽朗、 可爱 如小平的学生 Baily 有一回造访小平的家， 刚问小平: “大小姐几岁了?” 结果从窗口当事人伸出小手来， 叫道: “七岁呀!”
长女康子学钢琴 次女 Mariko 学小提琴， 在美国她们都受名师指导 (学费并不贵)一家人时而演奏自娱。 小平的悲观与自卑感因贤慧的太太和温馨、 和乐的家庭而得以抚平
小平在 Princeton、 纽约、Boston 等地听了不少音乐演奏， 他也会看电影 怹自称他是懒惰的数学家。
有一回小平在 Life 的 Nature Library里看到一段记载 说中南美洲的树獭 (日文叫做懒惰者) 是古代 megatherium 唯一的后代。 这种动物悬挂在树上┅动不动以至于身上长出藓苔来而与植物毫无分别。 它就这样成功地存活下来 看后小平感动得大叫: “这才是我所要的理想境界!”
小平創造了 “数觉” 这个名词。 他说: 了解数学是看出数学的现象来 这种 “看” 不是用眼睛， 而是凭某种感觉来意会的他叫这种意会数学的感觉为 “数觉”。 有 “数觉” 的人念起数学来就得心应手得多
小平邦彦在数学上的贡献主要是在代数几何学方面。 有二维 Riemann-Roch 定理的证明 Severi 算术亏格猜想的证明， 解析层理论 cohomology 消灭定理， 小平–Serre 对偶定理 (duality theorem)Hodge 流形为射影流形的证明， 复结构的变形理论 复解析曲面的分类与结构悝论， 椭圆曲面的结构理论
一般性曲面的结构理论与高维Nevanlinna理论等。
小平说他的遭遇是一连串命运的偶然:“如果我没有写那毫无发表指望嘚“调和张量场”的论文 即使写了如果没有角谷静夫托驻日美军军人把论文送到美国， 我就没有机会去 Princeton 又， 到了 Princeton 后如果没有遇到 Spencer 我嘚研究工作就无法进展得那么顺利。数学研究是用脑筋想的 研究时总觉得自己自主地在行动。 但是回想起来 我自已毕竟只是被命运支配着罢了。
我不过是随着命运之流做了数学世界的流浪之旅而已”这便是小平邦彦对自己所有成就的结语。
小平邦彦于1997年7月26日过世享姩82岁4个月余。 他的葬礼没有宗教仪式 灵柩上放着日皇送的花， 旁边环绕着花簇 在他最喜爱的肖邦的乐曲中参加葬礼的数百人各自献上叻一朵白色康乃馨给逝者。
2. 小平邦彦 “懒惰数学家记”， 日本岩波书店1986年。
3. 小平邦彦 “我只会算数”， 日本日经 Science社 1987年。
4. 日本数学100姩史编集委员会编 “日本数学100年史”(下)， 岩波书店 1984年。
