信号变换与系统s变换问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-21 06:43 标签： 信号变换

和其他时频分析工具一样透过S轉换，我们可以同时从时域以及频域观察一个信号变换的能量分布S转换的特别之处在它既保持与傅里叶变换的直接关系，又可在不同频率有不同的分辨率此外，S转换与小波转换（wavelet

其中窗函数为高斯窗函数

S转换能以频域 表示

这里可将看成与的卷积，
将 以及 分别取傅里叶變换可得

S转换可以沿着时间轴方向积分将可以得到的频谱。推导如下

因此，沿着时间轴t积分

这表示S频谱是可逆的，同时也提供一个簡单的逆转换

S转换如同其他时频分析转换，皆可以设计波器来达到消除噪声留下讯号的功用
利用逆S转换，我们可以设计一个S域的滤波器U(t,f)对x(t)进行讯号处理

S转换相较于加伯转换，虽在清晰度有较好的改善但也有其缺点，就是运算复杂度变高积分的范围会随着的增加而增加。
因此这里利用上面推导的频谱表示式来推导离散时间S转换


表示取样时间间隔表示取样频率

如果要使用FFT的方式来实作，必须另加条件

首先先对做傅里叶变换得到


接着带入频谱表示式中

当 m=0 时，S转换就定义成


唯一的不同就在于S转换的Gaussian Window的宽度会随着改变

原因就是在高频時，Gaussian Window宽度变小时域分辨率好；反之，在低频时Gaussian Window宽度变宽，频域分辨率好
但是，当时Gaussian Window会无穷无尽的变宽，就丧失时频分析只做局部汾析的精神
一种解决的方式是:使Gaussian Window宽度不再因改变\，产生带宽剧烈的变化

是一个相对平缓的曲线(见底下示意图)，当时

S转换是一种运算量高的时频分析工具，尤其在低频部分Gaussian Window宽度变宽，频域分辨率比加伯转换来的好所以S转换对于低频讯号分析比较有优势
例如:声音讯号，人耳对高频的部分没有太特别的感觉但在低频部分却比较敏感，如:中央Do = 262Hz,高八度Do = 512Hz 可以很清楚的听出两个不同的音 但10000Hz 和 10170Hz对人来说差别不夶，再说人耳对3KHz以内的声音最敏感所以能分析低频讯号就显得重要。
此时就可以使用S转换，来强调低频讯号而牺牲高频讯号。

韦格納分布是时频分析工具中具有高清晰度的一个，但最大的缺点是有交叉项（cross-term）的问题若一个信号变换是由数个信号变换成份组合而成，那么使用韦格纳分布来分析时就会受到两两信号变换成份之间的交叉项干扰这将会产生一些不必要的噪声。一个信号变换x的韦格纳分咘为

交叉项是在积分中两个x项相乘时产生的S转换的计算原理与韦格纳分布不同，是直接对进行转换不会有交叉项的问题。

S转换的计算方式与加伯转换的形式有点类似但多了两项。加伯转换与S转换同样没有交叉项问题但S转换的清晰度高于加伯转换。

连续小波转换可以視为将一个信号变换对小波做相关（correlation）：

而S转换可以视为连续小波转换乘上一个相位项：

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