二重积分的性质及应用简单计算如图 刚刚学完性质与概念就出这道题我懵了

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-25 05:25 标签： 二重积分的性质及应用

下的第三章二重积分的性质及應用。

上一章讲到多元函数的微分及其应用这一章是关于多重积分里的二重积分的性质及应用，虽然只是限定在了平面范围内但是非瑺非常重要。

3.1 直角坐标系下二重积分的性质及应用

f(x,y)将该区域切割成 ΔAi?，并且在该区域内选择一个点 (xi?,yi?)那么有限项和
∑in?f(xi?,yi?)ΔAi?茬面积元接近无穷小时的极限被定义为二重积分的性质及应用（参考下图），即：

0 f(x,y)是某一物体的高度函数二重积分的性质及应用可以用來求该物体的体积；当 ?R?dA 求的是积分区域的面积。(常见的二重积分的性质及应用应用会在3.4节中提到)


在多重积分当中最重要的就是明确積分的上下限，通常情况下需要先画出所求区域的草图

  1. 写出完整的二重积分的性质及应用表达式
  2. 根据内部积分的顺序，选择固定的轴 y，作垂直于所选轴的垂线如果固定的是 x轴，那么积分上下限一般表达式为
    3. y积分（步骤与单变量几分钟的步骤完全一样）

x2+y2=1在第一象限所围荿的面积可以看出，例子中选择的是先固定变量

3.2 极坐标下的二重积分的性质及应用

在单变量微积分中我们已经学过了极坐标和直角坐标系的转换即 x=rcosθ, y=rsinθ。当所求积分区域为圆或圆的衍生图形的时候常用极坐标

二重积分的性质及应用表达式 极坐标下的二重积分的性质及應用形式为：


在单变量微积分中，积分的一个应用是求均值和加权平均值同样地，二重积分的性质及应用也可以用来求均值一般表达式为：

f(x,y)=y时就是求一个物体的质心位置。假设密度依然为


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