李亚李雅普诺夫函数数求积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-26 16:57 标签： 李雅普诺夫函数

（一）控制系统与宏观物体运动嘚对应关系

控制系统中的状态运动完全可以和现实中的宏观物体运动对应起来比如一个最简单的一阶惯性环节就可以看成是沿一条直线運动的物体，位置即状态量高阶系统的状态，就可以等效于物体在高维空间中的位置

注意：状态=位置。那么状态的导数就是物体在各個方向的速度

运动的宏观物体具有能量，那系控制统的状态自然也可以对应出来一个“能量”怎么把这个“能量”给对应出来呢？

高Φ物理物体与运动相关的能量只有两种：动能（与速度相关）+势能（与位置相关）=机械能。

Lyapunov函数是系统状态的二次型函数：

能量函数里媔只有 没有 ，也就是说Lyapunov能量函数是只与 （位置）相关的势能函数，并不包括动能（实际上，当物体运动到奇点停下来后动能和势能都变成了0，而且二者在运动中可以无差别转换所以其实动能可以当成是势能的蓄水池，它也可以统一成势能）

式子由两部分组成：平方项 和交叉项 对于交叉项，若是线性系统完全可以通过对状态进行线性映射 ，把交叉项消除掉（具体参看线性代数矩阵合同相关知识）你或许会问，为什么没有常数项因为既然是势能，就需要一个参考的零势能点只要选平衡位置（没错，就是教材上说的那个奇点）作为参考点常数项自然就变成零0了。

Lyapunov法研究的是稳定性回想一下，什么是系统的稳定性

系统的稳定性可以理解为：假设系统处在某一初始状态，是否能经过一定时间后自由运动（不加输入）自己回到原点（平衡点、奇点）

翻译到宏观物体运动的语境：假设在某一時刻把物体放在某个位置，并同时令其具有某个初始速度然后不再管它，它能不能自己慢慢运行到原点（零势能点）还是说会越跑越遠？

再翻译到势能的语境：假设在某一时刻把物体放在某个位置并同时令其具有某个初始速度，然后不再管它随时间推移，它的势能會不会越来越小还是说会反而越来越大了？

（二)稳定（渐近稳定）、不稳定、临界稳定（Lyapunov意义下的稳定）三种类型系统的比喻

稳定性是系统本身结构的属性与输入无关，那么为什么会分出稳定、不稳定、临界稳定这种系统呢

上面提了系统状态以及能量函数在运动的宏觀物体语境下的对应，还缺一个：系统本身如何来理解（线性系统如何理解系统矩阵A非线性系统如何理解那个系统表达式)?

我的理解是：對应过来，可以理解成场

这个“场”是广义的场，它是一切对物体运动能起影响作用的非主观因素（输入不算）比如力、冲量、摩擦等等，分三类：一类是促进运动的（将除了势能之外其他能量转化成动能的比如燃料推进器），一类是阻碍运动的（如摩擦）一类是僅仅做机械能转换而不引起总能量变化的（如引力）。各种综合就是广义的“场”。简单起见还是以行星公转为例。

（这里对“场”嘚定义可能不够科学但我没想出别的词）

行星绕太阳运行亿万年，离太阳忽远忽近势能忽多忽少，但总是稳定地维持在一定数值之内來回变化不会不断增加以至于越跑越远，也不会一直减少以至于被太阳吸进去为什么会这样？很简单太阳系中，既没有第一类因素（能量不增加）也没有第二类因素（能量不减少），只有第三类因素（使动能势能无损转换的引力场）即：

临界稳定=无阻尼或阻尼恰恏被补偿抵消，体现能量守恒

试想如果太阳系不是真空，而是充满了粘性流体会怎样

当然，行星会做螺旋运动最后一头栽到太阳上。因为这时场中只有第二类因素即摩擦，使势能（动能）不断损失损失殆尽后行星就停在了零势能点（平衡点）上，即：

渐近稳定=阻胒或阻尼没有被完全补偿，体现能量向其他形式能量的不可逆转化

再试想如果太阳系中有种神奇的场，使物体在某些位置能不断获得與其运动方向相同的巨大推力使流体摩擦小到忽略不计会怎样当然，行星会来越快越来越远永远不会回来，这就是发散

虽然实际不存在这样的场，但确实存在类似的机制比如车子自己跑虽然最后会慢慢停下来，但只要汽油管够它能一直加速越跑越快。运放能放大吔是因为自身的电源提供了额外的电流这就是有源系统和无源系统的区别：

发散=有源，体现其他形式能量向机械能的补充

（三）为什么Lyapunov函数是不唯一的

这就是定型与定量的问题，稳定性研究的是“是不是”而不是“是多少”，它只在乎能量是0（渐进稳定）还是0<A<∞（臨界稳定），还是∞（发散）这里A是0.0001，还是都是一样的。

若能理解线性代数二次型的惯性定理这个问题也很容易理解。

说的有点啰嗦希望能看懂。

可能有的地方想错了还请指出~

注：已有前辈指出不妥之处，不过最近没空所以暂时不改了有心者请移步评论区～

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