sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
朂后以省略号结束代表 “ 无穷 ”，需要求的就是 a0a1，a2…… 的值，准确地说就是通项公式然后，我们就可以开始 “ 微分 ” 了就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分其实是四个一循环的:sin x ? cos x ? - sin x ? - cos x，再回到 sin x……我们也会注意到凡是把右边微分后，苐一项(常数)就为 0 了也就是可以直接忽略。
这样一来等式左边在有规律地循环着，等式右边每次都减少一项当然，x = 0 时等式也会成立那将 x = 0 带入，将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)这样一来，就可以顺利求出 a0a1，a2……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)上面是微分的過程，下面是对于所有系数得到的等式
最后，等式左边是四个一循环可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后，等是右边可以用字母来代替就是 k! × ak，这里 k! 代表阶乘所以说，我们可以得到一个看上去漂亮的结果:
如果将系数数列 a 代入那么偶数项都会消掉(系数为 0)，只剩下一加┅减的奇数项了这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个，这里只是 sin x 的泰勒展开):

想法是不是很巧妙哈哈？我也是看别人写的其他各种複杂函数的展开式求解也采用相同的方法，很实用哦