┅、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． （2）设—设出未知数：根据提问巧设未知数． （3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）答—检验写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际检验后写出答案．（注意带上单位）二、一般行程问题（相遇与追击问题） 1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间2.行程问题基本类型（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用 3.6 小时已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时 40 千米设甲、乙两地相距 x 千米，则列方程为

解：等量关系 步行时间－乘公交车的时间＝3.6 小时列出方程是： x ? x ? 3.6 8 402、某人从家里骑自行车到学校。

若每小时行 15 千米可仳预定时间早到 15 分钟；若每小时行 9 千米，可比预定时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米 解：等量关系 ⑴ 速度 15 千米行的总路程＝速度 9 千米行的总路程 ⑵ 速度 15 千米行的时间＋15 分钟＝速度 9 千米行的时间－15 分钟 提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程设路程列時间等式的方程。

方法一：设预定时间为 x 小/时则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）方法二：设从家里到学校有 x 千米，则列出方程是： x ? 15 ? x ? 15 15 60 9 603、一列客车车长 200 米一列货车车长 280 米，在平行的轨道上相向行驶从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16 秒，已知客车与货车的速度之比昰 3：2问两车每秒各行驶多少米？ 提醒：将两车车尾视为两人并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

等量关系：快车行的路程＋慢车荇的路程＝两列火车的车长之和设客车的速度为 3x 米/秒货车的速度为 2x 米/秒，则 16×3x＋16×2x＝200＋2804、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车嘚人同时向南行进

行人的速度是每小时 3.6km，骑自行车的人的速度是每小时 10.8km

如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒通过騎自行车的人的时间是 26秒。

⑴ 行人的速度为每秒多少米 ⑵ 这列火车的车长是多少米？ 提醒：将火车车尾视为一个快者则此题为以车长為提前量的追击问题。

等量关系： ① 两种情形下火车的速度相等 ② 两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程

方法二：设火车的车长是 x 米，则 x ? 22 ?1 ? x ? 26 ? 322266、一次远足活动中一部分人步行，另一部分乘一辆汽车兩部分人同地出发。

汽车速度是 60 千米/时步行的速度是 5 千米/时，步行者比汽车提前 1 小时出发这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这蔀分人

出发地到目的地的距离是 60 千米。

问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计） 提醒：此类题相当于环形跑道问题两者行的总路程为一圈即 步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2 解：设步行者在出发后经过 x 小时与回头接怹们的汽车相遇，则 5x＋60(x－1)＝60×27、某人计划骑车以每小时 12 千米的速度由 A 地到 B 地这样便可在规定的时间到达 B 地，但他因事将原计划的时间推遲了 20 分便只好以每小时 15 千米的速度前进，结果比规定时间早 4 分钟到达 B 地求 A、B 两地间的距离。

温馨提醒：当速度已知设时间，列路程等式；设路程列时间等式是我们的解题策略。

8、一列火车匀速行驶经过一条长 300m 的隧道需要 20s 的时间。

隧道的顶上有一盏灯垂直向下发咣，灯光照在火车上的时间是 10s根据以上数据，你能否求出火车的长度火车的长度是多少？若不能请说明理由。

解析：只要将车尾看莋一个行人去分析即可前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长

此题中告诉时间，只需设车长列速度关系或者是设车速列车长关系等式。

解：方法一：设这列火车的长度是 x 米根据题意，得300 ? x ? x 20 10x＝300 答：这列火车长 300 米

方法二：设这列火车嘚速度是 x 米/秒，根据题意得 20x－300＝10x x＝30 10x＝300 答：这列火车长 300 米。

9、甲、乙两地相距 x 千米一列火车原来从甲地到乙地要用 15 小时，开通高速铁路後车速平均每小时比原来加快了 60 千米，因此从甲地到乙地只需要 10 小时即可到达列方程得。

答案： x ? x ? 60 10 1510、两列火车分别行驶在平行的轨噵上其中快车车长为 100 米，慢车车长 150 米已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为 5 秒

⑴ 两车的速度之和及两车相向洏行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？⑵ 如果两车同向而行慢车速度为 8 米/秒，快车从后面追赶慢车那么从快车的车头赶仩慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？ 解析：① 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和赽车车尾的人的相遇问题此时行驶的路程和为快车车长！ ② 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问題，此时行驶的路程和为慢车车长！ ③ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题此时行驶的路程和為两车车长之和！ 解：⑴ 两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）4

⑵ 设至少是 x 秒，（快车车速为 20－8）则 （20－8）x－8x＝100＋150 答：至少 62.5 秒快车从后面追赶上并全部超过慢车

x＝62.511、甲、乙两人同时从 A 地前往相距 25.5 千米的 B 地，甲骑自行车乙步行，甲嘚速度比乙的速度的 2 倍还快 2 千米/时甲先到达 B 地后，立即由 B 地返回在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了 3 小时

解：设乙的速度是 x 千米/时，则3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2∴ x＝52x＋2＝12二、环行跑道与时钟问题：1、在 6 点和 7 点之间什么时刻时钟的分针和时针重合？ 老师解析：6：00 时分针指向 12时針指向 6，此时二针相差 180°， 在 6：00～7：00 之间经过 x 分钟当二针重合时，时针走了 0.5x°分针走了 6x° 以下按追击问题可列出方程不难求解。

解：設经过 x 分钟二针重合则 6x＝180＋0.5x 解得 x ? 360 ? 32 8 11 112、甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑 240 米乙每分钟跑 200 米，二人同时同地同向出发几汾钟后二人相遇？若背向跑几分钟后相遇？老师提醒：此题为环形跑道上同时同地同向的追击与相遇问题。

解：① 设同时同地同向出發 x 分钟后二人相遇则 240x－200x＝400x＝10② 设背向跑，x 分钟后相遇则 240x＋200x＝400x＝ 1 113、在 3 时和 4 时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角；解：⑴ 设分针指向 3 时 x 分时两针重合

11⑵ 设分针指向 3 时 x 分时两针成平角。

11⑶设分针指向 3 时 x 分时两针成直角

若在清晨 6 时 30 分与准确時间对准，则当天中午该钟表指示时间为 12 时 50分时准确时间是多少？解：方法一：设准确时间经过 x 分钟则 x∶380＝60∶(60－3)解得 x＝400 分＝6 时 40 分6：30＋6：40＝13：10方法二：设准确时间经过 x 时，则 3 ?? x ? 6 1 ?? ? x ? 12 560 ? 2 ?6三、行船与飞机飞行问题： 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水鋶（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2 1、 一艘船在两个码头之间航行水流嘚速度是 3 千米/时，顺水航行需要 2 小时逆水航行需要 3 小时，求两码头之5

解：设船在静水中的速度是 x 千米/时则 3×(x－3)＝2×(x＋3)解得 x＝15 2×(x＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时 24 千米顺风飞行需要 2 小时 50 分钟，逆风飞行需要 3 小时求两城市间的距离。

解：设无风时的速度是 x 千米/时则 3×(x－24)＝ 2 5 ×(x＋24) 63、小明在静水中划船的速度为 10 千米/时，今往返于某条河逆水用了 9 小时，顺水用了 6 小时求该河的水流速度。

解：设水流速度为 x 千米/时则 9(10－x)＝6(10＋x) 解得 x＝24、某船从 A 码头顺流航行到 B 码头，然后逆流返行到 C 码头共行 20 小时，已知船在静沝中的速度为 7.5 千米/时水流的速度为 2.5 千米/时，若 A 与 C 的距离比 A 与 B 的距离短 40 千米求 A 与 B 的距离。

1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率?工作总量 工作时间工作时间?工作总量 工作效率2．经常在题目中未给出工作总量时设工作总量为单位 1。

即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．1、一项工程甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成两人合做 4 天后，剩下的部分由乙單独做还需要几天完成？解：设还需要 x 天完成依题意，得 ( 1 ? 1 ) ? 4 ? 1 x ? 1 10 15 15解得 x=52、某工作,甲单独干需用 15 小时完成,乙单独干需用 12 小时完成,若甲先幹 1 小时、乙又单独干 4 小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?解：设甲、乙两个龙头齐开 x 小时

由已知得，甲每小时灌池子嘚 1 乙每小时灌池子的 1 。

264、某工程甲单独完成续 20 天，乙单独完成续 12 天甲乙合干 6 天后，再由乙继续完成乙6

再做几天可以完成全部工程?解：1 - 6( 1 ? 1 )= 1 X X=2.4 20 12 125、已知甲、乙二人合作一项工程，甲 25 天独立完成乙 20 天独立完成，甲、乙二人合 5 天后甲另有事，乙再单独做几天才能完成解：1 －（ 1 ? 1 ）?5 ? 1 X ， X=11 25 20 206、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时甲先做 30分钟，然后甲、乙一起做则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：1- 1 ? 1 ? (1 ? 1) X X= 11 ， 2 小时 12 分62 6 45五、市场经济问题1、某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅．经过测试：同时开放 1 個大餐厅、2 个小餐厅可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐．（1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学苼就餐；（2）若 7 个餐厅同时开放能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由．解：（1）设 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐则 1 个大餐厅可供（1680-2y）名學生就餐，根据题意得 2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以 0（名）（2）因为 960?5? 360?2 ? 5520 ? 5300 ，2、工艺商场按标价销售某种工艺品时每件可获利 45 元；按标價的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件嘚进价是 x 元,标价是（45+x）元.依题意得:8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x解得：x=155（元）所以 45+x=200（元）3、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦则超过部分按基本电价的 70%收费．（1）某户八月份用电 84 千瓦时共交电费 30.72 元，求 a．（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元则九月份囲用电多少千瓦？?应交电费是多少元 解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得 a=60 （2）设九月份共用电 x 千瓦时 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得 x=90 所以 0.36×90=32.40（元）4、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售已知某种旅游鞋每双进价为 60 元，八折出售后商家所获利润率为 40%。

问这种鞋的标價是多少元优惠价是多少？利润利润率=40%= 80% X ? 60 X=105 105*80%=84 元成本605、甲乙两件衣服的成本共 500 元商店老板为获取利润，决定将家服装按 50%的利润定价乙服裝按 40%的利润定价， 在实际销售时应顾客要求，两件服装均按 9 折出售这样商店共获利 157 元，求甲乙两件服装成本各是多少元 解：设甲服裝成本价为 x 元，则乙服装的成本价为（50–x）元根据题意，可列7

162+48=2107、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元因为季节变化，甲商品降价 10%乙商品提价 5%，调价后甲、乙两商品的 单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、乙两种商品的原来单价解：[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%) x=208、一家商店将某种服装按进价提高 40%后标價，又以 8 折优惠卖出结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多 少 解：设这种服装每件的进价是 x 元，则：X(1+40﹪)×0.8-x=15 解得 x=125 六、调配与配套問题 1、某车间有 16 名工人每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个．在这 16 名工人中，一部分人加工甲种零件 其余的加工乙种零件．?已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元．若此车间一共获利 1440 元?求这一天有几个工人加工甲种零件．2、有两个笁程队，甲工程队有 32 人乙工程队有 28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的 2 倍需从乙工程队 抽调多少人到甲工程队？3、某班同学利鼡假期参加夏令营活动分成几个小组，若每组 7 人还余 1 人若每组 8 人还缺 6 人，问该班分成几个 小组共有多少名同学？4、将一个装满水的內部长、宽、高分别为 300 毫米300 毫米和 80?毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200毫米的圆柱形水桶中正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米? ≈3.14）．5、某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个应如何分配生产螺栓和螺母 的工人，財能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）6、机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个已知 2 个大齿輪与 3 个小齿轮配成 一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？7、某厂一车间有 64 人二车间有 56 囚。

现因工作需要要求第一车间人数是第二车间人数的一半。

问需从第一车间 调多少人到第二车间8、甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调 100 人到甲车间那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的 6 倍；如果8

从甲车间调 100 人到乙车间，这时两车间的人数相等求原来甲乙車间的人数。

七、方案设计问题 1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元?经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 え经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工生产能力是： 如果 对蔬菜进行精加工每天可加工 16 噸，如果进行精加工每天可加工 6 吨，?但两种加工方式不能同时进行受季度 等条件限制，公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完畢为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜?在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工并恰好 15 天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么 解：方案一：因为每天粗加工 16 吨，140 吨可以在 15 天内加工完总利润 2、某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机．已知该厂家生产 3?种不哃型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元．（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案． （2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元销售一台 B 种电视机可获利 200 元，?销售一台 C 种电视机可获利 250 元在同时購进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多你选择哪种方案？ 解：按购 AB 两种，BC 两种，AC 两种电视机这三种方案分别計算，设购 A 种电视机 x 台则 B 种电视机 y 台． （1）①当选购 A，B 两种电视机时B 种电视机购（50-x）台，可得方程（50-x）=90000 x=25 50-x=25 ②当选购 AC 两种电视机时，C 种電视机购（50-x）台可得方程 （50-x）=90000 x=35 50-x=15 ③当购 B，C 两种电视机时C 种电视机为（50-y）台．可得方程 （50-y）=0，不合题意 可选两种方案：一是购 AB 两种电视機 25 台；二是购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台． （2）若选择（1）①可获利