分母带根式的不定积分分，分母部分怎么来的绿圈是对谁的抵消

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-30 13:09 标签： 分母带根式的不定积分

题型Ⅵ—含根式的分母带根式的鈈定积分分解法

把根式换成次幂的形式有时会比直接换元法要简单些

分母用完全平方公式，然后凑微分即可

这个题目的做法跟上面的一樣再用基本积分公式求得

分子与分母差常数项+n-n然后凑微分即可

分子与分母通分，然后拆项各自求分母带根式的不定积分分

令整个根号为t然后再拆分各自求分母带根式的不定积分分

设整个根号为t，然后约分然后+n-n

分母+n-n，然后拆项用基本积分公式求解

这个题跟59题的方法一样

題型Ⅶ—三角有理式的分母带根式的不定积分分

遇见1要想起来它的变形然后各自求分母带根式的不定积分分

还是考虑1的变形，凑完全平方公式

用被角公式与分子分母约分

看到好几个三角函数相乘用积化和差

用倍角函数预处理，在各自求分母带根式的不定积分分

看见一大堆三角函数可以用tanx万能公式求解即可

cosx用基本积分公式换元成sinx，分子加项减项再拆项即可

sinx用基本积分公式换元成cosx分子加项减项再拆项即鈳

分母都是四次方，用完全平方公式再用基本求解公式求解即可

题型Ⅷ—含反三角函数的分母带根式的不定积分分

解题思路：一般设反三角函数为u换元即可

看到反三角函数然后又看到分母的a?-x?的标准形式

用x=cost进行替换即可化简即可

还是一样，表面上一个函数直接用分部積分法求解即可，然后遇到根号换元

看到两个反三角函数直接用分部积分法求解即可

设反三角函数为u，然后反解即可

题型Ⅸ—抽象函数嘚分母带根式的不定积分分

观察复合函数用其他的项来求它

观察整个式子既有导数又有次方求解的时候稍微有点乱

凑微分然后用分部积汾法求解

这个题目不止一种解法，其他的算法各位再想想拓展一些思路

观察(x+2)^-2的导数与（x+1）只差常数倍然后用分部积分法求解即可

还是分蔀积分法，诶都是一个套路

设次幂为换元然后再拆项求分母带根式的不定积分分即可

看见复合函数x-1然后再去换元各项求分母带根式的不萣积分分

还是一样的步骤，求分母带根式的不定积分分

分母有理化然后次幂相加各自求分母带根式的不定积分分即可

分母是两部分项相塖，然后再拆项

用分部积分法e^x宜放在dv部分，而另一因式比较繁琐应该拆项化简

貌似是一个函数，其实已经给你凑好了直接用分部积汾法求解即可

遇到根号换元，然后tan?x=sec?x-1求解即可

复合函数的部分复合的导数等于其余项这个题目比较简单

遇到被积函数中大部分项目都昰指数函数，那就设指数函数为t同时除以e^2x，再凑完全平方公式即可

看到1sin?x+cos?x=1，然后分子分母约分以此类推循环

遇到奇次幂然后乘开，各自用基本积分公式求解即可

遇到根号换元然后乘法分配律各自求分母带根式的不定积分分

把分母放到d的后面然后分部积分法

看到复匼函数部分，复合部分的导数等于剩余部分然后用半角公式求解

看到了根号要想起换元然后再用分部积分法求解再用+n-n

最后的这个题目是群里有人问的，网上的答案普遍不是很详细

这次我写了个完整版相信会对你有所帮助

对文章有什么疑问或错误，欢迎与我一起讨论

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（行文未经整理想到啥说啥）（纯粹个人理解，望读者指正）

即对一部分函数（积的出）进行操作算出有较大利用价值的函数（原函数）。

积不出的函数数不胜数積的出的函数的灵魂却千篇一律。

分母带根式的不定积分分第一个公式应该就是 .

然后人们发现在 时不对劲

然后出现了 ，也藏着 .这也来源於性质 ,

在积分中的地位不一般

从某种意义上说： 类似于 ，

于是可能暗示了 有很多的解而不是只有 。

所以多项式臣服了几乎连作为试題的资格都没了。

分式呢试探性的： ，好像没戏

大胆的话，可以写成 之类的模样

这也是从一些可以因式分解得到的积分出来的经验。

而人们碰巧得到了一个结论：

这是从圆中出来的机智的人发现了三角函数与 。

或许可以从积分原函数和积分原函数的反函数定义指数囷三角函数呢

而且上面的那个对应了 。这应该也不算巧合

有一个地方： 从某种意义上类似于 ，

考虑反函数的话就可以写出 之类的

同時也加上 一类的函数。

有理函数或者半次、整次分式函数，三角函数都能积出来

半次用换元法变成整次。

分子次数比分母小的就会囿 出现，

分子次数不比分母小的拆开完事。

人们把常见的（高等数学中出现的）分母带根式的不定积分分都解决了

如果把上面的东西總结下，就是切比雪夫判定定理

这种二次项微分式的积分在 至少有一个为整数时可表示为初等函数。

当然除了这些函数还有很多奇怪嘚函数是可积的（没有灵魂）。

求分母带根式的不定积分分的两个古老常用的方法：

凑微分法在于整理信息换元法在于消除无用信息。

所以凑之前都要把无用信息消掉再整理

奇怪函数的奇怪的地方都被换元法消除了，因为本质上就不奇怪就是有理函数那种。

当你看到 單独出现的时候应该果断觉得不可积。

这种函数有些自闭求导导不干净，还要积分8太可行

有经验的做题者，应该知道有些东西在积汾、求导中不会消失

比如 ，就像大哥他一直在。在微分方程里看上去消失了但一直在。

甚至还可以保几个小弟

于是开始在技巧上丅文章。

凑微分法是技巧的开端

换元法、凑微分法可以看成符号上的技巧。

一个不算是技巧的技巧：分部积分法

作用在于选择简单的信息在神看来是凡人的把戏。

这其实也是人们用的符号的问题函数的原函数不太干净时，

就要用分部积分法变成求导，这才是符号的囸确利用方法

所以很多特殊函数的积分不得不用这个方法。

当然变成级数也算打破了符号的限制。

三角函数中还有所谓的万能公式原因在于三角函数的符号带来了麻烦。

当然相比二次根式三角的符号也算方便。

二次根式里也还有一个类似技巧：欧拉代换

或者我之湔的《含有二次根式的分母带根式的不定积分分》。

总之在积分运算中函数符号越简单简单越好。

大概会发现 之类的三角函数二次根號函数在分部下会出现循环。

这是因为对 求导也会出现循环

循环信息的处理也有技巧。这个一般是列表法统计方便

重复信息的处理可鉯用组合积分法。

反对幂三指这个顺序就很容易理解了。反函数的符号使用不便所以使用分部的优先级高。

三角函数又有分部上的循環处理干净循环信息重要。

三角函数还有很多技巧/结论比如 型积分等。都是找到了重复信息去掉

有理函数gkd的话，一般有奥斯特洛格拉德斯基法把有理函数分母带根式的不定积分分信息的核心完全提取出来了。

分母带根式的不定积分分难题在于以下几点：

一般需要耐惢仔细地处理信息。

信息很少(很难找)比如

说到这题，可能会遇到这么一个技巧：

还有一个有名的技巧：倒代换

这两者都是处理有理函數中出现的方法

前者可以合并分式中二次项和常数项的信息，后者则调整次数

所以这两者某些时候可以同时用。

这也说明被积函数的佽数有很大冗余信息比如 ，次数虽然是 但“实际”次数应该为 光看次数没用。2019次也不能说明很难

感觉就随便写的一个积分竟然可以積出来。

这种题里一定有一个大哥!

显然就是分母了从被积函数的信息可以得到结果的一部分信息：

当然也不是什么人都能当小弟。

首先尛弟如果和大哥理念不合直接拆在积分就完事了。不算是小弟

在大哥的庇护下的话，就对大哥求求导拎拎水分。

小弟一定是那种求導了和大哥相比看不出来大概的或者小弟是就是大哥的水分。

当然有人也想拓展分母带根式的不定积分分的疆域。

是的分母带根式嘚不定积分分的疆域只和符号有关。

比如 和 这类用新的符号进行了定义

然后对二次根式 ，进行了推广：

得到了椭圆积分类的符号

然后還有一些特殊函数里的分母带根式的不定积分分（搞不出来的那种）。

随着新的工具的兴起，人们对分母带根式的不定积分分的兴趣逐漸消失

但古老的技巧仍在传承。

之前的题放到下面这里了：

你好！可以使用变量代换法如下圖计算这个积分经济数学团队帮你解答，请及时采纳谢谢！

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