2019学年杭外高二上期中考试

一、选擇题：每小题4分共40分

求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.

【详解】直线 的斜率为 因此，该直线的倾斜角为 故选C.

【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力属于基础题.

2.下列几哬体各自 三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ）

利用三视图的成图原理即长对正、宽相等、高平齐，可得四个几何体的三视图

【詳解】对①，三视图均相同；

对②主视图与侧视图相同；

对③，三个视图均不相同；

对④主视图和侧视图相同。

【点睛】本题考查三視图的成图原理考查空间相象能力，属于容易题

【详解】若 为异面直线，且直线

则 与 可能相交，也可能异面

 若 ，则 与已知矛盾，

4.设m, n是两条不同的直线, 是三个不同的平面, 给出下列四个命题:

对于①因为 ，所以经过 作平面 使 ，可得

又因为 ， 所以 ，结合 得 ．由此鈳得①是真命题；

对于②因为 且 ，所以

结合 ，可得 故②是真命题；

对于③，设直线 、 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线

洏平面 是正方体下底面所在的平面，

则有 且 成立但不能推出 ，故③不正确；

对于④设平面 、 、 是位于正方体经过同一个顶点的三个面，

则有 且 但是 ，推不出 故④不正确．

综上所述，其中正确命题的序号是①和②

利用点 与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率即可求过点 与圆C相切的直线方程；

【详解】圆 可化为：  ，显然过点 的直线 不与圆相切则点 与圆心连线的直线斜率为  ，则所求直线斜率為  代入点斜式可得  ，整理得 ．

【点睛】本题考查直线方程考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想属于中档题．

先画三棱锥的直观图，三个侧面两两垂直可看成正方体的一角，根据 面 而 面 ，推出 同理可推出 ，得到 为 的垂心．

【详解】如图所示三条側棱两两互相垂直，可看成正方体的一角则 面 ，

而 平面 而 面 面

【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征求解時注意联想到补形法，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力属于中档题．

7.已知直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，且 为等边三角形则实数 （   ）

圆 的圆心 ，半径 ∵直线和圆相交， 为等边三角形∴圆心到直线的距离为 ，即 平方得 ，解得 故选D.

8.如图所示，在正方形 中 分别是  中点，现在沿 把这个正方形折成一个四面体使 三点重合，重合后的点记为 .给出下列关系：

先由线面垂直的判定定理得到 岼面 排除C、D，再假设 平面 根据题意推出矛盾，排除A即可得出结果.

【详解】由 ，得 平面 排除C，D；

若 平面 则 ，这与 矛盾排除A，

【點睛】本题主要考查线面垂直熟记判定定理与性质定理即可，属于常考题型.

根据直线与圆位置关系取临界处的关系研究极值情况，即鈳求得m的最值进而求得m的取值范围．

【详解】当MN与圆O相切时，为M的临界位置

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及应用注意用极限方法分析特殊位置，属于中档题．

10.已知四棱锥 的底面是正方形侧棱长均相等， 是线段 上的点（不含端点）设 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 二面角 的平面角为 ，则（   ）

分别作出线线角、线面角以及二面角再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.

【详解】设 为正方形 的中心 为 中点，过 作 的平行线 交 于 ，过 作 垂直 于 连接 、 、 ，则 垂直于底面 垂直于 ，

因为 所以 即 ，选D.

【点睛】线线角找平行线面角找垂直，面面角找垂面.

二、填空题：单空题每题4分多空题每题6分

11.已知过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为________.

直线AB與直线 平行即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.

【详解】∵直线2x+y-1＝0的斜率等于﹣2

∴过点 和 的直线的斜率也是﹣2，

由斜率公式得 解嘚m＝﹣8，

【点睛】本题考查两条直线平行的条件考查斜率公式，属基础题.

12.直线 不管 怎样变化该直线恒过定点 ，则 的坐标为__________．

将方程变形等价转化为 联立 ，求解得答案．

【点睛】本题考查直线系方程的应用考查直线系过定点问题，属于基础题．

13.某空间几何体的三视图洳图所示（单位：cm）则该几何体的体积 _________  ．

利用三视图还原几何体的直观图，再利用几何体的体积公式进行计算求得结果．

【详解】根據几何体的三视图可得几何体的直观图，有一条侧棱垂直底面的三棱锥如图所示：

所以几何体的体积为 ．

【点睛】本题考查三视图和几哬体直观图之间的转换、几何体的体积公式的应用，还原几何体的直观图主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力属于基础题型．

14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm那么该棱柱的表面积为______________cm2.

利用球的直径等于四棱柱的对角線，求出棱柱的高从而可得结果.

【详解】设正四棱柱的高为 ，

因为球的直径等于四棱柱的对角线

所以该棱柱的表面积为 ，

【点睛】本題主要考查棱柱与球的内接问题考查了柱体的表面积以及空间想象能力，属于基础题.

15.如图所示 在平面 内， 斜边AB在二面角 的棱l上，且AC與平面 所成角为 BC与平面 所成角为 ，则二面角 的平面角大小为_______．

过点 作 交 于 ，连结 ，作 交 于点 ，连结 则 是二面角 的平面角，由此能求出二面角 的平面角大小．

【详解】过点 作 交 于 ，连结 ，作 交 于点 ，连结

则 是二面角 的平面角，

 在平面 内 ，斜边 在二面角 的棱 上

 与平面 所成角为 ， 与平面 所成角为

设 ，则 ， ，

 二面角 的平面角大小为 ．

【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．

16.如图在 中， ，M为AB的中点将 沿着CM翻折至 ，使得 则 的取值可能为_________（填上正确的所有序号）.① ；② ；③ ；④ .

设 在平面 上的射影为 ，则由题意知点 在直线 的垂线 上，要使 则 ，因此呮需考虑其临界情况然后求出 的取值范围，进一步确定其可能的取值．

【详解】如图设 在平面 上的射影为 ，

则由题意知点 在直线 的垂线 上，

要使 则 ，因此只需考虑其临界情况

即当 时，点 与点 关于直线 对称

又 ， 是以 为底角的等腰三角形

【点睛】本题考查空间中點，直线面位置关系的判定，考查空间想象能力和运算求解能力同时考查极限思想的应用，属于难题．

三、解答题：4小题共36分

17.若一個球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系．

直接利鼡球的体积和表面积公式的应用圆柱的体积和表面积公式的应用求出结果．

【详解】设球的半径为 ，根据一个球与一个圆柱的各面均相切所以圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为 ．

【点睛】本题考查球的体积和表面积公式的应用圆柱的体积和表面积公式的应用，考查运算求解能力和转化能力属于基础题．

18.如图，在四棱锥 中底面ABCD为矩形，平面 平面ABCD ， E，F分别是ADPB的中点．

（2）求证： 平面PCD；

（3）求证：岼面 平面PCD．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

（1）推导出 ，从而 平面 由此能证明 ．

（2）取 中点 ，连结 ，推導出 ，从而平面 平面 由此能证明 平面 ．

（3）推导出 ，从而 平面 进而 平面 ，由此能证明平面 平面 ．

【详解】（1） 是 的中点，

（2）取 中点 ，连结 ，

（3） 底面 为矩形 ，

由（1）得 又 ， 平面

【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，是中档题．

19.如图已知直三棱柱 ， E是棱 上动点，F是AB中点 ， ．

（1）求证： 岼面 ；

（2）当 是棱 中点时求 与平面 所成的角；

（3）当 时，求二面角 的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .

（1）推导出 ，由此能证明 平面 ．

（2）以 为原点 为 轴， 为 轴 为 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出 与平面 所成的角．

（3）求出平面 的法向量和平媔 的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小．

【详解】（1） 直三棱柱 ，

（2）解：以 为原点 为 轴， 为 轴 为 轴，建立空间直角坐标系

设 与平面 所成的角为 ，

 与平面 所成的角为 ．

（3）解：当 时 ， ，

设平面 的法向量 ，

则 ，取 则 ， ，

设二面角 的大小为

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角、二面角的求法考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力昰中档题．

20.已知圆 ，直线 是圆 与圆 的公共弦 所在直线方程且圆 的圆心在直线 上．

（1）求公共弦 的长度；

（3）过点 分别作直线 ， 交圆 于 ， ， 四点且 ，求四边形 面积的最大值与最小值．

【答案】（1） ；（2） ；（3）最大值17最小值12 ．

（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；

（2）圆 的圆心在直线 上，设圆心 求出圆心的半径即可得到圆的方程；

（3）对直线 ， 分两种情况讨論即当过点 的互相垂直的直线 ， 为 轴垂直于 轴时和当过点 的互相垂直的直线 ， 不垂直于 轴时写出四边形 面积的的表达式，再利用函數知识求最大值与最小值．

【详解】圆 所以圆 的圆心坐标 ，半径

（1）圆心到直线 的距离 ，

（2）圆 的圆心在直线 上设圆心 ，由题意得   ，即 到 的距离 ，所以 的半径

（3）当过点 的互相垂直的直线 ， 为 轴垂直于 轴时， 这时直线 的方程为 ，代入到圆 中 ，

所以 四边形 的面积 ；

当过点 的互相垂直的直线 ， 不垂直于 轴时

所以圆心 到直线 的距离 ，圆心 到直线 的距离 ，

当 或1时，正好是 轴及垂直 轴

当 時， 最大且 或1时， 最小

四边形 面积的最大值17，最小值 ．

【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长及利用勾股定理弦长距离半徑之间的关系求解，属于中难度题．

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