二重积分区域

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-01 02:30 标签：

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    1.1 二重积分的概念
  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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    1.2 二重积分的性质
  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 除边界点外无其他交点则
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

    1.2.5 估值定理（介值萣理）
  

  
上的最小值和最大值，则
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
上至少存在一点(ζ,η) 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
   



  

    2.1 直角坐标系计算二重积分
  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
型区域其特点是：穿过D 

   
  
     
    
       
     
   
的边界相交不多于两点。


  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
型区域其特点是：穿过D 

   
  
     
    
       
     
   
的边界相交不多于两点。


  

    2.1.3 将二重积分转化为累次积分
  

  

  

    2.1.3.1 画出积分区域的草图
  

  

  

    2.1.3.2 根据积分区域和被积函数特点选择适当的积分次序
  

  

  

    2.1.3.3 确定累次积分的上下限
  

  

(1) 后积先定限（累次积分中后积变量的上下限均为常数可以先确定）

(2) 限内画条线（该直线要平行于坐标轴且与坐标轴同方向）

(3) 先交为下限（直线先穿过的曲线作为下限）

(4) 后交为上限（直线后穿过的曲线作为上限）


  

    2.1.4 利用二重积分中区域的对称性和被积函数的奇偶性简囮二重积分计算
  

  

  

  
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    2.2 极坐标系计算二重积分
  

  

  

    2.2.1 直角坐标与极坐标转换公式
  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  
是某物体所占空间的空间闭区域连续函数f(x,y,z) 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
為该物体的密度函数，则三重积分?Vf(x,y,z)dV 

   
  
     
   
  
     
   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
的值等于该物体的质量


  

  

  

    3.2.1 利用直角坐标系
  

  

  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  

  

  

  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  

  

  

  

    3.2.2 利用柱面坐标系
  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  

    3.2.3 利用球面坐标系
  

  

  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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      emmmmmm其实积分都是一样的，就是求媔积啊体积啊，不过像n重积分的被积函数是1的话，那就是计算n+1维的一种空间特性比如2位的面积，3位的体积在向上就说不清了。
    

    

      如果被积函数不是1那么就是一种特殊的n+1维特性，不过是一种特殊的特性举个例子，大物里面经常有 B·ds的二重积分和，E·ds的二重积分┅个是电流强度，一个是电荷强度（包含了磁导率和介电常数）
    

  



                            

                                                

                    

                

            

            


            

                
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