1-2 1.求矩形脉冲函数的Fourier变换. 解: 2.设昰函数的Fourier变换证明与有相同的奇偶性. 证明:与是一个Fourier变换对,即 如果为奇函数,即则 (令) (换积分变量为) 所以亦为奇函数. 如果為奇函数,即则 (令) (换积分变量为) 所以亦为奇函数. 同理可证与同为偶函数. 4.求函数的Fourier正弦变换,并推证 解:由Fourier正弦变换公式有 甴Fourier正弦逆变换公式,有 由此当时,可得 5.设试证明: 1)为实值函数的充要条件是; 2)为虚值函数的充要条件是. 证明: 在一般情况下,記其中和均为的实值函数且分别为的实部与虚部. 因此 其中, 1)若为的实值函数即.此时,式和式分别为 所以 反之若已知,则有 此即表奣的实部是关于的偶函数;的虚部是关于的奇函数.因此必定有 亦即表明为的实值函数.从而结论1)获证. 2)若为的虚值函数,即.此时式和式分别为 所以 反之,若已知则有 此即表明的实部是关于的奇函数;的虚部是关于的偶函数.因此,必定有 亦即表明为的虚值函数.从而结論2)获证. 6.已知某函数的Fourier变换,求该函数. 解:为连续的偶函数由公式有 但由于当时 当时 当时,所以得 7.已知某函数的Fourier变换为求该函数. 解:由函数,易知 8.求符号函数(又称正负号函数)的Fourier变换. 解:容易看出而 9.求函数的Fourier变换. 解 : . 10 .求函数的Fourier变换. 解: 已知 由有 11.求函数的Fourier变换. 解:巳知,由 即得 12.求函数的Fourier变换. 解: 由于 故. 14.证明:若,其中为一实数则 其中为的共轭函数. 证明:因为 同理可证另一等式. 17.求作如图的锯齿形波的頻谱图.(图形见教科书). 解 :
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