对称凸域是什么（高中数学竞赛常见不等式不等式磨光法）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-15 15:10 标签： 数学竞赛常见不等式

“磨光”法及其在不等式证明中嘚应用

“磨光”就是消灭问题状态间的差异使之逐步到达平衡和均匀的状态。它一般的做法是：根据磨光目标构造差异较小的目标函數，从而逐次逼近目标下面，我们结合实例来说明磨光法在不等式证明中的应用

求证：A≥G（等号当且仅当时成立）（均值不等式，即n個正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）

证明：当时显然有A=G； 

当不全相同时，我们来证A＞G.

下面对作一个调整使之变为新的一组數。调整规则如下：

令 （注意其实只有前两个数作了调整，后面的数没变）记调整后n个数的算术平均数为、几何平均数为。

即经调整後最小的变大为A，最大的变小为

但（即调整后其算术平均数未变），

于是我们知道，经过这样的一次调整后这n个数的算术平均没變，但几何平均数变大了

     如此(每次调整，都把最小的“”变大为A最大的“”变小),经有限次调整,必可将调整为全相等(=A),

 由以上证明我们可知。磨光法的基本思路是：为了证明A（x1x2，…xn）≤B（x1，x2…，xn）

当x1x2，…xn不全相等时,我们可以通过适当地调整x1，x2…，xn,使得在调整的過程中总保持

这样便可说明原命题成立.我们再看下面的例子

例2、证明:在圆的内接n边形中,以正n边形的面积为最大.

证：设圆的半径为R，其内接n边形各边所对的圆心角分别为显然且 ，则n边形的面积

当不全相等时,不妨设,,

如此经有限次调整必有: n. 故原命题得证.

特别地若A，BC为三角形的三内角，仿上例的证明可得：

证：由题意知 

当x，yz不全相等时，不妨设

若则，从而必有,这与矛盾,故,

如此至多经两次调整即有.得证

由以上几例，我们可以看出磨光法构思巧妙，方法独特适当应用，往往会有意想不到的功效希望同学们能够灵活掌握。下面附上兩个题目供同学们练习。

练习：1、设求的最小值

加载中，请稍候......

时成立）（均值不等式即

个正數的算术平均数不小于它们的几何平均数）

证明：当 时，显然有A=G； 当 不全相同时我们来证A＞G.不妨设 ，显然 下面对 作一个调整，使之变為新的一组数 调整规则如下：令 （注意，其实只有前两个数作了调整后面的数没变）。记调整后n个数的算术平均数为 、几何平均数为 则显然有 ，

即经调整后最小的 变大为 变小为 ，但 （即调整后其算术平均数未变）此时

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