以下级数称为调和级数:
教材上證明了调和级数是发散级数
也就是说,调和级数的各项加起来将是无穷大
但是教材上没有提到调和级数发散到无穷大的速度有多慢。
鉯上不等式说明调和级数发散到无穷大
以上不等式说明调和级数前n项之和小于 1+lnn
利用这个不等式就可以说明调和级数发散得很慢
以下内容来洎:
当n越来越大时调和级数的项变得越来越小,然而慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任何一个有限值。调和级数的这種特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷
更有学者估计过,为了使调和级数的和等于100必须把10的43次方项加起来,如果我们试图在一個很长的纸带上写下这个级数直到它的和超过100,即使每一项只占1mm长的纸带也必须使用10的43次方mm长的纸带,这大约为10的25次方光年但是宇宙已知尺寸估计只有10的12次方光年。
说明:为了使调和级数的和等于100必须把10的43次方项加起来。参考以下不等式:
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