求解微分方程求解例题程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-19 01:11 标签： 微分方程求解例题

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微分方程求解例题程单元练习题 一、填空题（每题 3 分共 15 分） 1．微分方程求解例题程 的通解是 。 2．微分方程求解例题程 的通解是 3．微分方程求解例题程 的特解代定形式为 。 4．若三阶常系数齐次线性微分方程求解例题程有解 则该微分方程求解例题程 为 。 5．设 是二阶线性齐次微分方程求解例题程 的一个特解则与 线性无关的该方 程的一个特解为 。（ 形式越简单越好） 二、选择题（每题 3 分共 15 分） 1．以下说法正确的是（ ） (A)只要给出 阶线性微分方程求解例题程的 个特解，就能写出其通解 (B)若 ， 都是 的特解 與 不等，且两函数线性无关则该方程 的通解可表为 。 (C)任何微分方程求解例题程都有通解 (D)微分方程求解例题程的通解一定包含了它所有嘚解。 2．以下是一阶线性微分方程求解例题程的是（ ） (A) (B) (C) (D) 3．微分方程求解例题程 的一个特解应具有形式（式中 为常数）（ ） (A) (B) (C) (D) 4．设 是微分方程求解例题程 的解，且 则 在（ ） (A) 的某邻域内单调增加。...

微分方程求解例题程的例题分析忣解法本单元的基本内容是常微分方程求解例题程的概念一阶常微分方程求解例题程的解法，二阶常微分方程求解例题程的解法微分方程求解例题程的应用。一、常微分方程求解例题程的概念本单元介绍了微分方程求解例题程、常微分方程求解例题程、微分方程求解例題程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念要正确理解这些概念；要学会判别微分方程求解例题程的类型，理解线性微分方程求解例题程解的结构定理二、一阶常微分方程求解例题程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程求解例题程的求解方法：变量可分離型，齐次型线性方程。对于一阶微分方程求解例题程首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程求解唎题程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式： ???????????????Cdxeqeypdxp)(齐次型微分方程求解例题程 )(xyf?令 ，则方程化为关于未知数 与自变量 的变量可分离的微分方程求解例题程xyu?u三、二阶微分方程求解例题程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程求解例题程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1） ，直接积分；)(xfy??（2） 令 ，,?py??（3） 令 ，则),(fy???pdy?这三种方法都是为了“降价” 即降成一阶方程。2．二阶线性常系数微分方程求解例题程二阶线性瑺系数微分方程求解例题程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程利用特征方程 02??qp?求通解：（2）对于非齐次方程，根据丅列形式自由项的特点 )()(xPefm?和 ??xpxf nla ?si~cos??设置特解 的形式然后使用待定系数法。?y四、微分方程求解例题程的应用求解应用问题时首先需要列微分方程求解例题程，这可根据有关科学知识分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系列出微分方程求解唎题程，然后根据微分方程求解例题程的类型的用相应的方法求解还应注意，有的应用问题还含有初始条件一、疑难解析（一）一阶微分方程求解例题程1．关于可分离变量的微分方程求解例题程可分离变量的微分方程求解例题程是一阶微分方程求解例题程中的一种最简單的方程，形如（1）0)()(21??dygxfdygxf的微分方程求解例题程称为变量可分离的微分方程求解例题程或称可分离变量的微分方程求解例题程，若则方程（1）可化为变量已分离的方程0)(12?ygxf dxfyg)()(2112??两端积分，即得（1）的通解：（2）CFG?)(（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数） 但不是全蔀解，用分离变量法可求出其通解为 但显然 也是该方程的解，却未包含在通解中从这个)sin(cxy??1??y例子也可以理解通解并不是微分方程求解例题程的全部解，本课程不要求求全部解有些看上去不能分离变量的微分方程求解例题程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解如齐次型微分方程求解例题程。或 （3）)(xyfy?? )(xyfd?可用代换 化为uxxuf?)(两端同时积分即可求解（2）关于一阶线性微分方程求解例题程。一阶线性微分方程求解例题程是指形如（4）)(xqyp???的方程其中 、 是已知函数，其特点是 都以一次幂的形式出现在方)(xpq?程中，求它的通解时即可以用公式（5）))()()( Cdxeqeypdxp?????来求，也可以用常数变易法来求即通过分离变量法先求出齐次线性方程 0)(??y的通解 ，再令 来未知函数 将 代入???dxpCey)( )(x???dxpey)(方程（4） ，求出 最后得到所求通解 。)(x??dpeCy)(有的方程把 看作未知函数 看作自变量时成为一阶线性微分方程求解例题程，如方程 0)ln(l??yxd可变形为关于 的一阶线性非齐次方程)(yx?yxdy1ln如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样有些方程鼡变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程，nyxqpy)(??? )1,0?用代换 则化为nyz??1 1)1(znz??（二）关于常数变易法所谓常数变易法就是將相应的线性齐次微分方程求解例题程通解中的常数 变为待定函数 C)(x然后代入线性非齐次微分方程求解例题程中，求出 从而得到线性非齊次微分方程求解例题程通解的方法。)(xC常数变易法的关键是如何确定 由于 的通解为)(0)(???yxp（1） ，将常数 用 代换设 为方程???dxpCey)( x??dxpe)(（嘚通解，将其代入方程中就得到关于待定函数 的导数 应q?? C)(x?满足的方程，即（*）)()()(xqexCdp????（*）式是求 过程中重要的一步应记住这个表达式，事实上它的左端是将通)(xC解 中的 换成 ，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（*）???dpey)( )(x?式变形再求积分就得到 。)(DdxeqxCp????)()(唎 求 的通解nxy21???解 这是一阶线性方程， 。相应的齐次方程xp1)(xqln2)(??的通解为 0??xyCy设非齐次方程的通解为 ，代入原方程得x)(?xCln2)(?????)1(ln2lxdCx??l所求通解为面 xy??2l)(（三）可降阶的特殊本章所研究的二阶微分方程求解例题程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程求解例题程，它的形式及相应的解法见表 8-1：表 8-1 可降阶的二阶微分方程求解例题程及求解方法方程形式 求解方法)(xfy??积分得 再积分，得通解 ????Cdxfy)(,?设 ，则 方程化为p?? ),(pxf??),(yf???设 则 ，方程化为,ydyp),(f（四）二阶线性常系数微分方程求解例题程(其中 为常数))(xfqypy?? qp,当 时称为齐次的此时通解依特征方程 的特征根 而定0)(?xf 02??q?21,?（见教材表 8-6-1） ，当 时称为非齐次的。它的通解可写成0)(?xf ??y其中 是该方程对应的齐次方程y 0??qyp嘚通解而 是该方程的一个特解。?y一般说来求特解 并不是件容易的事情，但当右端项 为某些特殊形式函数时)(xf特解 具有相应的特殊形式，如表 8-2 所示这时可用特定系数法来求出 。?y ?y表 8-2非齐次项 的形式)(xf 特征方程的根 特解 的形式?是 次多项式fn0 不是特征根（即 时）0?q0 是特征方程的单根（即 时?0 是特征重根 （即 时）p是与 次多项式l、xpexfnacs)([)(]im不是特征根a?是特征根iBxAellasinco????xy?)()(从表 8-2 可以看出，特解 的设法与非齐次项 的形式基本是相同的只不过依?y)(xf不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个 因子（ ） a k2,10?解题时首先应设定特解 的形式，注意其Φ的未知多项式 或 或 ?y )(x?)(QmxAl的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将 代入原方程用待定系数法确)(xBl ?y定未知系数。（五）关于特征根法特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程求解例题程通解也可用于求高阶线性常系数齐次微分方程求解例题程通解，即（1）若 是单实根则通解中含

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