(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．

  任何非零矩阵相似都有Jordan标准型,且變换矩阵相似不唯一,整理出了相似于Jordan块的矩阵相似A在Jordan标准化下的所有变换矩阵相似,并证明了其判定法则.

1.1 什么是线性变换

首先给出一个比較抽象的解释方式：

$$对于一个变换A找两个向量，如果这个变换满足可加性与齐次性：$$那么这个变换就是线性变换

1.2 从函数角度理解

1.2.1 首先复习下函数

函数客观的讲就是把x轴上的点映射箌曲线上以下是一个正弦函数：

有的函数，比如y=x是把x轴上的点映射到直线上，这种称之为线性函数：

1.3 从线性函数到线性变换

线性函数其实就是线性变换为了看起来更像线性变换，这里换一种标记方法：

之前的y=x可以认为是把$0$(0,a)点，这被称为线性变换T记作：
0 (a,0)替换为平面內所有的点$$(a,b)，我们就可以对整个平面做变换该线性变换记作：
这时可以得到一个更简便的记法（这种形式看起来更像线性方程$$指代了平媔上所有的点，所以干脆可以更简化为：

线性变换通过矩阵相似A来表示

而y=x不过是这个A的一个特殊情况

刚才的结论其实是不完整的还缺少叻一个信息：

线性变换通过指定基下的矩阵相似A来表示

注意这个”指定基“，这说明基不一定固定为正交基由此引出相似矩阵相似的概念。

A,B都是n阶矩阵相似若有n阶可逆矩阵相似$$

首先看一个图，下面给出关于图的解释：

V2?→V1?的转换矩阵相似$$

此时实际上m点的坐标，已经變到了$\stackrel{}{}\stackrel{}{}$

为什么我们需要相似矩阵相似呢

A能与对角矩阵相似相似，则称$$

${}^{}\begin{array}{cc}& 0\\ 0& 0\end{array}$

3.2 可对角化的条件

3.2.1 定理1：n阶矩阵相似A可对角化的充分必要条件是A有n个線性无关的特征向量

${}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{cccc}{}_{}& 0& & 0\\ 0& {}_{}& & 0\\ & & & \\ 0& 0& & {}_{}\end{array}{}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{cccc}{}_{}& 0& & 0\\ 0& {}_{}& & 0\\ & & & \\ 0& 0& & {}_{}\end{array}$AP=A[X1?,X2?,...,Xn?]=P??????λ1?0?0?0λ2?…0?……?…?00?λn????????=[X1?,X2?,...,Xn?]??????λ1?0?0?0λ2?…0?……?…?00?λn????????

3.2.2 定理2：矩阵相似A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的

3.2.3 推论1：若n阶矩阵相似有n个互不相同的特征值${}_{}{}_{}{}_{}$λ1?,λ2?,...,λn?则A可对角化，且：

3.3 对角矩阵相似的性质

3.3.1 对角矩阵相似的秩等于其对角线上非零元素的个数

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B使得：

$$${}^{}$

${}^{}$

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4.2.1 定理1：设A可逆，则它的逆是唯一的

4.2.2 定理2：设A为n阶矩阵相似则下列命题等价：

$0$1→2：设A是可逆的，且X是AX=0的解则：${}^{}{}^{}{}^{}00$

$$2→3：A经过初等行变换到B（行阶梯矩阵）$00$BX=0只有零解，B的对角元均非零否则B的最后┅行的元全为零，则BX=0有非零解（矛盾）$$则，B经初等行变换后得到的行最简化矩阵=I

1. A可表为有限個初等矩阵相似的乘积

   ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$3→4：由3可得A可经初等行变换得到I，所以存在初等矩阵E1?,E2?,...Ek?使得Ek?,...E1?A=I${}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}$

4.2.3 推论：设A为n阶矩阵相似，则AX=b有唯一解的充偠条件是A可逆

$$设AX=b有唯一解X，但A不可逆$0$A不可逆?AX=0有非零解Z$$则Y为AX=b的解，矛盾

设AB皆为n阶可逆矩阵相似，數$0$

1. ${}^{}$
2. $$
3. $$
4. ${}^{}$
5. 逆矩阵相似行列式和原矩阵相似行列式的关系
   

过渡矩阵相似是基与基之间的一个可逆线性变换在一个空间V下可能存在不同的基。假设囿两组基分别为AB。由基A到基B可以表示为B=AP过渡矩阵相似${}^{}$P=A?1B，它表示的是基与基之间的关系