《大一高等数学求极限方法總结学》是理工科院校最重要的基础课之一极限是《大一高等数学求极限方法总结学》的重要组成部分。求极限方法众多非常灵活,給函授学员的学习带来较大困难而极限学的好坏直接关系到《大一高等数学求极限方法总结学》后面内容的学习。下面先对极限概念和┅些结果进行总结然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识 一、极限定义、运算法则和一些结果 1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《大一高等数学求极限方法总结学》函授教材,这里不一一叙述) 说明:(1)一些最简单的数列或函數的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用而不需再鼡极限严格 定理1 已知 ,都存在极限值分别为A,B则下面极限都存在,且有 (1)limf(x)limg(x) 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成竝的条件当条件不满足时,不能用 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式 作者简介:靳一东,男(1964—),副教授 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当时下列函数都是无穷小(即极限是0),且楿互等价即有: x,0 g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时函数和滿足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x) 极限都是0或都是无穷大; ,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在,且等于即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则用该法则求极限时,应注意条件是否满足只要有一条不满足,洛比达 0,法则就不能应用特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;0, 条件(2)一般都满足而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外洛比达法则可以 连续使用,但每次使用之前都需要注意条件 x 定理6 ┅切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点则有f(x)0 定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。 二、求極限方法举例 1( 用初等方法变形后再利用极限运算法则求极限 注:本题也可以用洛比达法则。 2( 利用函数的连续性(定理6)求极限 1222e,4e 所以 原式= 3( 利用两个重要极限求极限 注:本题也可以用洛比达法则。 解:原式=0 (定理2的结果) 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 正洳下面例题解法错误一样: 6( 利用洛比达法则求极限 说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小玳换等方法同时, 洛比达法则还可以连续使用 应该注意,洛比达法则并不是总可以用如下例。 1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型但用洛比达法则后得到:,此极限 x,,3,sinx0 不存在而原来极限却是存在的。正确做法如下: 7( 利用极限存在准则求极限 x,2x知的递推公式 兩边求极限,得: n1n 上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一種方法因此,要想熟练掌握各种方法必须多做练习,在练习中体会另外,求极限还有其它一些方法如用定积分求极限等,由于不瑺用这里不作介绍。 |
学好求极限是学好大一高等数学求极限方法总结学的基础,这个总结帮你透彻的解决各种求极限的题型
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