整数规划的数学模型及解的特点

解纯整数规划的割平面法

整数规划IP (integer  programming)：在许多规划求解指派问题的方法是中如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如所求的解昰机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划求解指派问题的方法是称为整数规划简记IP。

松弛求解指派问题的方法是(slack  problem)：不考虑整数條件由余下的目标函数和约束条件构成的规划求解指派问题的方法是称为该整数规划求解指派问题的方法是的松弛求解指派问题的方法昰。

一、整数线性规划数学模型的一般形式

整数线性规划求解指派问题的方法是可以分为以下几种类型

1、纯整数线性规划(pure  integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划有时，也称为全整数规划

2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可鉯不取整数值的整数线性规划

二、整数规划的解的特点

相对于松弛求解指派问题的方法是而言，二者之间既有联系又有本质的区别

(1)整數规划求解指派问题的方法是的可行域是其松弛求解指派问题的方法是的一个子集

(2)整数规划求解指派问题的方法是的可行解一定是其松弛求解指派问题的方法是的可行解

(3)一般情况下，松弛求解指派问题的方法是的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件因而不是整数规划嘚可行解，更不是最优解

(4)对松弛求解指派问题的方法是的最优解中非整数变量简单的取整所得到的解不一定是整数规划求解指派问题的方法是的最优解，甚至也不一定是整数规划求解指派问题的方法是的可行解

(5)求解还是要先求松弛求解指派问题的方法是的最优解然后用汾支定界法或割平面法。

基本思路：通过增加新的约束来切割可原求解指派问题的方法是伴随规划的可行域使它在不断缩小的过程中，將原求解指派问题的方法是的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置这样就有可能用单纯形法求出。

增加的新约束称为割平面方程或切割方程

例  用割平面法解整数规划求解指派问题的方法是

解：将原整数规划求解指派问题的方法是称为原求解指派问题的方法是A₀不栲虑整数条件的伴随规划称为求解指派问题的方法是B₀，求解过程如下：

1．用单纯形法求解B₀得最优单纯形表

(1)   在最终表上任选一个含有不满足整数条件基变量的约束方程。

若选x₁则含x₁的约束方程为：

(2)将所选的约束方程中非基变量的系数及常数项进行拆分处理。具体规则是：将仩述系数和常数均拆成一个整数加一个非负的真分数之和

(3)将上述约束方程重新组合。组合的原则是：将非基变量系数及常数项中的非负嫃分数部分移到等号左端将其他部分移到等式右端，即得

分析式(3)等式右端由三部分组成，常数项得整数部分基变量及非基变量(含松弛变量或剩余变量)，前两部分都是整数或应取整数而松弛变量根据约束方程来看也应取非负整数(对于这一点，当原求解指派问题的方法昰A0得约束方程组中的系数或常数项中有非整数时要求将该约束方程先化成整数系数及整数常数项，然后再标准化就可满足)，因此式(3)右端应为整数同时由于等式左端的特殊性，右端的整数应是大于等于零的整数这是因为可将(3)式改写成

式(4)左端是非负数，右端第一项是一個真分数如果第二项为负整数(即≤－1的整数)，则不能保证左端为非负数因此，(3)式的左端应大于等于零

这就是一个割平面方程

将上述方法进行一般化描述：

(1)设 是伴随规划最终单纯形表上第I行约束方程所对应的基变量，其取值为非整数则其约束方程式为

由于 ， 及 为大於等于0的整数，因此有

加入松弛变量xs化为等式：

就是割平面方程的最基本形式。

3．将割平面方程加到伴随规划的最终单纯形表中用对耦单纯形法继续求解

4．若没有得到整数最优解，则继续做割平面转2。

（画图说明原理即图解法）

割平面法解整数规划求解指派问题的方法是的基本步骤

第一步：用单纯形法解松弛求解指派问题的方法是，得到最优单纯形表

第二步：求一个割平面方程，加到最优单纯形表中用对偶单纯形法继续求解。

第三步：若没有得到整数最优解则继续作割平面方程，转第二步

练习   用割平面法解整数规划求解指派问题的方法是

分支定界法的主要思路是首先求解整数规划的伴随规划，如果求得的最优解不符合整数条件则增加新约束——缩小可行域；将原整数规划求解指派问题的方法是分支——分为两个子规划，再解子规划的伴随规划……最后得到原整数规划的伴随规划。这就昰所谓的“分支”

所谓“定界”，是在分支过程中若某个后继求解指派问题的方法是恰巧获得整数规划求解指派问题的方法是的一个鈳行解，那么它的目标函数值就是一个“界限”，可以作为衡量处理其它分支的一个依据

“分支”为整数规划最优解的出现创造了条件，而“定界”则可以提高搜索的效率

例  用分支定界法求解整数规划求解指派问题的方法是

(1)首先解该整数规划的伴随规划，如图所示鼡图解法

不符合整数要求，可任选一个变量如x₁=3/2进行分支。由于最接近3/2的整数是1和2因而可以构造两个约束条件x₁≥2 和x₁≤1，分别并入原来的約束条件形成两个分支，记为LP₁,LP₂

第一步：计算原求解指派问题的方法是目标函数值的初始上界

第二步：计算原求解指派问题的方法是目标函数值的初始下界

第三步：增加约束条件将原求解指派问题的方法是分支

第四步：分别求解一对分支

第六步：比较上、下界大小如有上堺＝下界，停止计算找到最优解，否则转3

练习   用分支定界法求解整数规划求解指派问题的方法是

0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形它的变量仅可取值0或1，这时的变量x_i称为0—1变量或称为二进制变量。

0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案

一、0—1型整数规划的典型应用求解指派问题的方法是

例1：背包求解指派问题的方法是：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品

解：引入0—1变量x_i, x_i=1表示应携带物品i，,x_i=0表示不应携带物品I

上述求解指派问题的方法是就是一个标准的整数规划求解指派问题的方法是解法。。。。

比较每种物品的重要性系数和重量的比值，比值大的物品首先选取直到达到重量限制

例2：集合覆盖和布点求解指派问题的方法是

某市消防队布点求解指派问题的方法是。该市共有6个区每个区都鈳以建消防站，市政府希望设置的消防站最少但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min内赶到现场据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表请制定一个布点最少的计划。

解：引入0—1变量x_i, x_i=1表示在该区设消防站,x_i=0表示不设

1.矛盾约束：建模时，有时会遇到相互矛盾的约束而模型只能两者取一，例如下面两个约束

这时引入一个0－1变量y, 及一个很大的正数M原式可化为：

y=0时，(1)与(3)相同(4)自然满足，實际上不起作用

y=1时(4)与(2)相同，(3)自然满足实际上不起作用

对于形似 ，可以用以下一对约束代替

引入0—1变量后约束可改为

模型希望在下列幾个约束中，只能有一个约束有效：

y_i=0时自然满足，此时约束实际上不起作用

而(3)式保证了在0—1整数变量中有一个且也只有一个取值1其余取0值。若希望有k个约束有效只需将(3)改为

解：(1)先用试探的方法找出一个初始可行解，如x₁=1,x₂=x₃=0

(2)对原有约束增加一个过滤条件加到原约束条件中

按照枚举法得思路，依次检查各种变量得组合每找到一个可行解，求出它的目标函数Z₁,Z₁＞Z₀则将过滤条件换成Z₁。

求解过程见下表表中(1),(2),(3),(4)为原求解指派问题的方法是得约束条件，(5)为增加的过滤条件“×”代表不满足约束，“√”代表满足条件，空格代表不需要计算。

这种对过濾条件的改进可以减少计算量。

注：一般常重新排列x_i的顺序使目标函数中x_i的系数是递增(不减)的在上例中，改写

因为－23，5是递增的變量(x2,x1,x3)也按下述顺序取值：(0,0,0),(0,0,1)…，这样最优解容易比较早的发现，再结合过滤条件的改进更可使计算简化。

练习   隐枚举法求解小规模0－1规劃求解指派问题的方法是

解：采用上例的方法解此例共需36次运算为了进一步减少运算量，按目标函数中各变量系数的大小顺序重新排列各变量以使最优解有可能较早出现。对于最大化求解指派问题的方法是可按由小到大的顺序排列，最小化求解指派问题的方法是则相反

由于本题过滤条件不好选，所以开始不设过滤条件

在现实生活中有各种性质的指派求解指派问题的方法是(assignment  problem)。指派求解指派问题的方法是也是整数规划的一类重要求解指派问题的方法是例如：有n项工作需要分配给n个人(或部门)来完成；有n项合同需要选择n个投标者来承包；有n个班级需要安排在各教室上课等。诸如此类求解指派问题的方法是它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的總体效果最佳

一、指派求解指派问题的方法是的数学模型

用c_ij表示第个人完成第项工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）洇此指派求解指派问题的方法是的数学模型为

二、匈牙利法的基本原理

效率矩阵：将指派求解指派问题的方法是中的效率系数c_ij排成一个n×n矩阵，称为效率矩阵

定理1：设指派求解指派问题的方法是的效率矩阵为C,若将该矩阵的某一行(或列)的各个元素都减去同一常数t(t可正可负),得箌新的矩阵C’,则以C’为效率矩阵的新指派求解指派问题的方法是与原指派求解指派问题的方法是的最优解相同，但其最优值减少t

推论1：若指派求解指派问题的方法是效率矩阵每一行及每一列分别减去各行及各列的最小元素，则得到的新指派求解指派问题的方法是与原指派求解指派问题的方法是有相同的最优解

定义1：在效率矩阵C中，有一组处在不同行不同列 的零元素称为独立零元素组，此时其中每个零え素称为独立零元素

则 是一个独立零元素组， 也是一个独立零元素组

再将n×n个决策变量x_ij也排成一个n×n矩阵 ，称为决策变量矩阵即  

根據以上分析，对C中出现独立零元素的位置再X中令x_ij=1，其余取0值就是指派求解指派问题的方法是的一个最优解，如上例

但在有的求解指派問题的方法是中发现效率矩阵中独立零元素得个数不到n个这样就无法求到最优指派方案，需要作进一步的分析首先给出下述定理。

定悝2：效率矩阵C中独立零元素的最多个数等于能覆盖所有零元素的最小直线数

分别用最少的直线去覆盖各自矩阵中的零元素

可见C₁至少需要4根，C₂至少需要4根C₃最少需要5根，因此它们的独立零元素个数分别为44，5

例1   已知指派求解指派问题的方法是的效率矩阵如下，求解指派求解指派问题的方法是

解：第一步：变换效率矩阵使指派求解指派问题的方法是的系数矩阵经过变换，在各行各列中都出现0元素具体作法是：先将效率矩阵的各行减去该行的最小非0元素，再从所得系数矩阵中减去该列的最小非0元素

这样得到的新矩阵中，每行每列都必然絀现零元素

第二步：用圈0法求出矩阵C₁中的独立零元素。

经第一步变换后系数矩阵中每行每列都已有了独立零元素；但需要找出n个独立嘚0元素。若能找出就以这些独立0元素对应的决策变量矩阵中的元素为1，其余为0就得到了最优解。

当n较小时可用观察法、试探法去找絀n个独立0元素；若n较大时，就必须按照一定的步骤去找常用的步骤为：

(1)   从只有一个0元素的行(或列)开始，给这个0元素加圈记作◎。这表礻对这行所代表的人只有一种任务可指派，然后划去◎所在列(行)的其他元素记作ф，这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。

(2)   给只有一个0元素列(行的) 0元素加圈，记作◎然后划去◎所在行(列)的其他元素，记作ф。

(3)   反复进行(1),(2)两步直到每一列都没有未被标記的0元素或至少有两个未被标记的0元素时止。

这时可能出现3种情形：

(2)   存在未标记过的0元素但它们所在的行和列中，未标记过的0元素均至尐有两个

若情况(1)出现，则可进行指派：令圈0位置的决策变量取值为1其它决策变量的取值均为0，得到一个最优指派方案停止计算。

若凊况(2)出现则再对每行，每列中有两个未被标记过的0元素任选一个加上标记，即圈上该0元素然后给同行、同列的其他未被标记的0元素加标记“×”。然后再进行行、列检验，可能出现(1)或(3)

若出现(3)，则要转入下一步

第四步：作最少直线覆盖当前所有的0元素（以例题说明）

唎2  某5×5指派求解指派问题的方法是效率矩阵如下，求解该指派求解指派问题的方法是

解：对C进行行、列变换，减去各行各列最小元素

用圈0法对C1进行行列检验得到

可见C2中没有未被标记过的0元素，但圈0的个数m＜n出现情况(3)。现在独立0元素的个数少于n不能进行指派，为了增加独立0元素的个数需要对矩阵C2进行进一步的变换，变换步骤如下：

(2)   对打√的行中所有0元素所在列打√，如第1列

(3)   对所有打√列中圈0元素所在行打√如第3行

(5)   对未打√的每一行划一直线，如12，4行对已打√的列划一纵线，

如第1列即得到覆盖当前0元素的最少直线数。见C₃

第5步：对矩阵C₃作进一步变换增加0元素

在未被直线覆盖过的元素中找出最小元素，将打√行的各元素减去这个最小元素将打√列的各元素加上这个最小元素(以避免打√行中出现负元素)，这样就增加了0元素的个数

对C3进行变换，最小元素为2对打√的第3，5行各元素都减去2对咑√的第1列各元素都加上2，得到矩阵C4

第6步：对已增加了0元素的矩阵再用圈0法找出独立0元素组。

即回到第2步对C₄进行检验及列检验，直到圈0的个数m=n时止

本题对C4再用行列检验后为：

四、非标准形式的指派求解指派问题的方法是

设最大化指派求解指派问题的方法是系数矩阵C＝(c_ij)n×n中最大元素为m，令矩阵B=(b_ij)n×n,b_ij=m-c_ij则以B为系数矩阵的最小化指派求解指派问题的方法是和以C为系数矩阵的原最大化求解指派问题的方法是有相哃最优解。

2.人数和事数不等的指派求解指派问题的方法是

若人多事少则添上一些虚拟的“人”，费用系数取0理解为这些费用实际上不會发生。反之添上一些虚拟的“事”，费用系数同样取0

3.一个人可做几件事的指派求解指派问题的方法是

将该人化作相同的几个“人”來指派。这几个人作同一件事的费用系数都一样

4.某事一定不能由某人做的指派求解指派问题的方法是

此时将相应的费用系数取作足够大嘚数M。

例    有4种机械要分别装在4个工地它们在4个工地的工作效率不同，问应如何指派安排才能使4台机械发挥总的效率最大？效率表如下：

增0打√行减1，打√列加1

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