本文介绍了滤波的概念并详细说奣了电阻电容（RC）低通滤波器的用途和特性

当你看到示波器上的电信号时，你会看到一条线它代表电压随时间的变化。在任何特定时刻信号只有一个电压值。你在示波器上看到的是信号的时域表示一个典型的示波器跟踪直接且直观，但它也有一定的限制性因为它鈈直接显示信号的频率内容。与时域表示法相反其中一个时刻仅对应于一个电压值，频域表示法（也称为频谱）通过识别同时存在的各種频率分量来传递关于信号的信息

正弦波（顶部）和方波（底部）的时域表示。

正弦波（顶部）和方波（底部）的频域表示

滤波器是┅种电路，它去除或“过滤掉”指定频率范围的分量换句话说，它将信号的频谱分离为将要通过的频率分量和将被阻塞的频率分量如果你对频域分析没有太多经验，你可能仍然不确定这些频率分量是什么以及它们如何在不能同时具有多个电压值的信号中共存让我们看┅个有助于澄清这个概念的简短例子。

假设我们有一个由完美的5 kHz正弦波组成的音频信号我们知道时域中的正弦波是什么样的，在频域中峩们只能看到5 kHz的频率“尖峰”假设我们激活一个500 kHz振荡器，它将高频噪声引入音频信号在示波器上看到的信号仍然只是一个电压序列，烸个时刻有一个值但信号看起来会有所不同，因为它的时域变化必须同时反映5 kHz正弦波和高频噪音波动

然而，在频域中正弦波和噪声昰同时存在于这一信号中的独立频率分量。正弦波和噪声占据了信号频域表示的不同部分（如下图所示）这意味着我们可以通过将信号引导通过低频并阻挡高频的电路来过滤噪声。

滤波器可以放在与滤波器频率响应的一般特征相对应的广泛类别中如果滤波器通过低频并阻塞高频，则称为低通滤波器如果它阻塞低频并通过高频，它就是一个高通滤波器还有仅通过相对较窄频率范围的带通滤波器，以及僅阻塞相对较窄频率范围的带阻滤波器

滤波器也可以根据用于实现电路的组件类型进行分类。无源滤波器使用电阻器、电容器和电感器；这些元件不提供放大因此无源滤波器只能维持或减小输入信号的振幅。另一方面有源滤波器既可以过滤信号又可以应用增益，因为咜包括有源元件如晶体管或运算放大器。

基于流行的Sallen-Key拓扑结构的有源低通滤波器

本文探讨了无源低通滤波器的分析和设计这些电路在各种系统和应用中发挥着重要作用。

要创建一个无源低通滤波器我们需要将电阻元件与无功元件组合在一起。换句话说我们需要一个甴电阻器和电容器或电感器组成的电路。从理论上讲电阻电感（RL）低通拓扑在滤波能力方面与电阻电容（RC）低通拓扑相当。但实际上電阻电容版本更为常见，因此本文的其余部分将重点介绍RC低通滤波器

如图所示，RC低通响应是通过将一个电阻与信号通路串联电容器与負载并联而产生的。在图中负载是一个单一元件，但在实际电路中负载可能更复杂，例如模拟到数字转换器、放大器或用于测量滤波器响应的示波器的输入级如果我们认识到电阻器和电容器形成与频率相关的分压器，就可以直观地分析RC低通拓扑的滤波作用

RC低通滤波器重新绘制，使其看起来像分压器

当输入信号的频率较低时电容器的阻抗相对于电阻器的阻抗高；因此，大部分输入电压在电容器上（鉯及负载两端与电容器并联）下降。当输入频率较高时电容器的阻抗相对于电阻器的阻抗较低，这意味着电阻器上的电压降低并且傳递到负载的电压就越小。因此低频通过并且高频被阻塞。

RC低通功能的这种定性解释是重要的第一步但是当我们需要实际设计电路时咜并不是很有用，因为术语“高频”和“低频”非常模糊工程师需要创建通过和阻塞特定频率的电路。例如在上述音频系统中，我们唏望保留5kHz信号并抑制500kHz信号这意味着我们需要一个从通过到阻塞的5kHz到500kHz的滤波器。

滤波器不会引起显着衰减的频率范围称为通带滤波器确實导致显着衰减的频率范围称为阻带。模拟滤波器例如RC低通滤波器，总是从通带逐渐过渡到阻带这意味着无法识别滤波器停止传递信號并开始阻塞信号的一个频率。然而工程师需要一种方便简洁地总结滤波器频率响应的方法，这就是截止频率概念发挥作用的地方

当伱查看RC滤波器的频率响应图时，你会注意到术语“截止频率”不是很准确信号光谱图像被“切割”成两半，其中一个被保留而另一个不適用而被丢弃因为衰减随着频率从截止点以下移动到截止点以上而逐渐增加。RC低通滤波器的截止频率实际上是输入信号振幅降低3dB的频率（选择该值是因为振幅降低3dB对应于功率降低50％）因此，截止频率也称为-3 dB频率实际上该名称更准确且信息量更大。术语带宽是指滤波器通带的宽度在低通滤波器的情况下，带宽等于-3 dB频率（如下图所示）

该图表示RC低通滤波器频率响应的一般特性，带宽等于-3 dB频率

如上所述，RC滤波器的低通特性是由电阻器的频率无关阻抗与电容器的频率相关阻抗之间的相互作用引起的为了确定滤波器频率响应的细节，我們需要在数学上分析电阻（R）和电容（C）之间的关系我们还可以操纵这些值，以设计满足精确规格的滤波器RC低通滤波器的截止频率（f C）计算如下：

我们来看一个简单的设计实例。电容值比电阻值更具限制性因此我们将从常见的电容值（例如10 nF）开始，然后将使用该公式來确定所需的电阻值目标是设计一个滤波器，它将保留5 kHz音频波形并抑制500 kHz噪声波形我们将尝试100 kHz的截止频率，稍后在文章中我们将更仔细哋分析此滤波器对两个频率分量的影响

因此，160Ω电阻与10 nF电容相结合将为我们提供一个非常接近所需频率响应的滤波器。

我们可以通过使用典型分压器计算的频率相关版本来计算低通滤波器的理论行为电阻分压器的输出表示如下：

RC滤波器使用等效结构，但是我们有一个電容器代替R 2首先，我们用电容器的电抗（X C）代替R 2（在分子中）接下来，我们需要计算总阻抗的大小并将其放在分母中因此，我们有

電容器的电抗表示与电流的相反量但与电阻不同，相反量取决于通过电容器的信号频率因此，我们必须计算特定频率的电抗我们用於此的等式如下：

在上面的设计实例中，R≈160Ω且C = 10nF我们假设V IN的振幅是1 V，这样我们就可以简单地从计算中去掉V IN首先让我们以正弦波频率计算V OUT的振幅：

正弦波振幅基本不变。这很好因为我们的目的是在抑制噪声的同时保持正弦波。这个结果并不令人惊讶因为我们选择的截圵频率（100 kHz）远高于正弦波频率（5 kHz）。现在让我们看看滤波器如何成功衰减噪声分量

噪声振幅仅为其原始值的20％左右。

评估滤波器对信号影响的最方便方法是检查滤波器频率响应图这些图形通常称为波特图，在纵轴上具有振幅（以分贝为单位）在横轴上具有频率；横轴通常具有对数标度，使得1Hz和10Hz之间的物理距离与10Hz和100Hz之间、100Hz和1kHz之间的物理距离相同等等这种配置使我们能够快速准确地评估滤波器在很大频率范围内的行为。

曲线上的每个点表示如果输入信号的振幅为1 V频率等于横轴上的相应值，即输出信号将具有的振幅例如，当输入频率為1 MHz时输出振幅（假设输入振幅为1 V）将为0.1 V（因为-20 dB对应于十倍减小系数）。当你花费更多时间使用滤波器电路时此频率响应曲线的一般形狀将变得非常熟悉。通带中的曲线几乎完全平坦然后随着输入频率接近截止频率，它开始快速下降最终，衰减的变化率（称为滚降）穩定在20 dB / decade即输入频率每增加十倍，输出信号振幅降低20 dB

如果我们仔细绘制我们在本文前面设计的滤波器的频率响应，我们将看到5 kHz时的振幅響应基本上是0 dB（即几乎为零衰减）500 kHz时的振幅响应约为-14 dB（对应于0.2的增益）。这些值与我们在上一节中执行的计算结果一致

由于RC滤波器总昰从通带到阻带逐渐过渡，并且因为衰减永远不会达到无穷大我们无法设计出“完美”的滤波器，即对正弦波没有影响并完全消除噪声嘚滤波器相反，我们总是需要权衡如果我们将截止频率移近5 kHz，我们将有更多的噪声衰减但我们想要发送到扬声器的正弦波衰减更多。如果我们将截止频率移近500 kHz正弦波频率的衰减会更小，噪声频率的衰减也会更小

到目前为止，我们已经讨论了滤波器修改信号中各种頻率分量振幅的方式然而，除了振幅效应之外电抗性电路元件总是引入相移。相位的概念是指周期内特定时刻的周期信号的值因此，当我们说电路引起相移时我们的意思是它会在输入信号和输出信号之间产生一个偏差：输入和输出信号不再在同一时刻开始和结束它們的周期。相移值（例如45°或90°）表示产生了多少偏差。

电路中的每个电抗元件都会引入90°的相移，但这种相移不会同时发生。输出信号的相位与输出信号的振幅一样随着输入频率的增加而逐渐变化。在RC低通滤波器中我们有一个电抗元件（电容器），因此电路最终会引入90°的相移。

与振幅响应一样通过检查横轴表示对数频率的曲线图，可以最容易地评估相位响应下面的描述传达了一般模式，然后你可鉯通过检查绘图来填写详细信息相移最初为0°；它逐渐增加，直到它在截止频率达到45°；在这部分响应期间，变化率正在增加；在截止频率之后，相移继续增加，但变化率正在降低；随着相移渐近接近90°，变化率变得非常小。

实线是振幅响应，虚线是相位响应注意，在截止频率为100 kHz下的相移为45°。

到目前为止我们假设RC低通滤波器由一个电阻器和一个电容器组成。此配置是一阶滤波器无源滤波器的“阶數”由电路中存在的无功元件（即电容器或电感器）的数量决定。高阶滤波器具有更多的无功元件这导致更多的相移和更陡的滚降。第②个特征是增加滤波器阶数的主要动机

通过向滤波器添加一个无功元件。例如从一阶到二阶或二阶到三阶，我们将最大滚降增加20 dB /十倍更陡的滚降转换为从低衰减到高衰减的更快过渡，并且当信号不具有将期望频率分量与噪声分量分离的宽频带时这可以导致性能提高。二阶滤波器通常围绕由电感器和电容器组成的谐振电路构建（这种拓扑结构称为“RLC”用于电阻器—电感器—电容器）。但是也可以創建二阶RC滤波器。如下图所示我们需要做的就是级联两个一阶RC滤波器。

虽然这种拓扑肯定会产生二阶响应但它没有被广泛使用，频率響应通常低于二阶有源滤波器或二阶RLC滤波器

二阶RC滤波器的频率响应

我们可以尝试创建一个二二阶rc低通滤波器截止频率，根据所需的截止頻率设计一阶滤波器然后将这两个一阶级串联起来。这确实导致滤波器具有类似的总频率响应最大滚降为40 dB / decade而不是20 dB / decade。但如果我们更仔细哋观察响应我们会发现-3 dB频率已经降低。二阶RC滤波器不能按预期工作因为两个阶段不是独立的，我们不能简单地将这两个阶段连接在一起并将电路分析为一阶低通滤波器，然后再分析为相同的一阶低通滤波器

此外，即使我们在两级之间插入缓冲器使得第一RC级和第二RC級可以用作独立滤波器，原始截止频率处的衰减将是6dB而不是3dB这是因为两个阶段独立工作。第一个滤波器在截止频率处具有3 dB的衰减而第②个滤波器增加了另外3 dB的衰减。

二二阶rc低通滤波器截止频率的基本限制是设计人员无法通过调整滤波器的Q因子来微调从通带到阻带的转换；此参数表示频率响应的阻尼程度如果级联两个相同的RC低通滤波器，则整体传递函数对应于二阶响应但Q因子始终为0.5。当Q = 0.5时滤波器处於过阻尼的边界，这导致频率响应在过渡区域中“下降”二阶有源滤波器和二阶共振滤波器没有这个限制；设计人员可以控制Q因子，从洏微调过渡区的频率响应

所有电信号都包含所需频率分量和不需要的频率分量的混合。不期望的频率分量通常由噪声和干扰引起并且茬某些情况下它们将对系统的性能产生负面影响；滤波器是以不同方式对信号频谱的不同部分作出反应的电路。

低通滤波器旨在通过低频汾量并阻塞高频分量；低通滤波器的截止频率表示滤波器从低衰减转变为显着衰减的频率区域；RC低通滤波器的输出电压可以通过将电路视為由（频率无关）电阻和（频率相关）电抗组成的分压器来计算；振幅（以dB为单位在纵轴上）与对数频率（以赫兹为单位，在横轴上）嘚关系图是检查滤波器理论行为的方便有效的方法

你还可以使用相位与对数频率的关系图来确定将应用于输入信号的相移量；二阶滤波器提供更陡的滚降；当信号不能在所需频率分量和不需要的频率分量之间提供宽带分离时，这种二阶响应是有用的；可以通过构建两个相哃的一二阶rc低通滤波器截止频率然后将一个输出连接到另一个的输入来创建二二阶rc低通滤波器截止频率，整体-3 dB频率将低于预期

怎么求理想低通滤波器的截止频率

如图所示是一个最简无源低通滤波电路,做如以下分析：
输入电压为Vi,输出电压Vo,
A是一个复数,对他取模可以得到
现在看出来了吧,这个f就是输入電压的频率,fH就是一个固定的频率；
这个低通电路的上限截止频率就是fH,取决于电路中RC元件参数的取值,fH = 1 / 2πRC
再复杂的无源低高通电路都是按此法汾析.
所谓截止频率实际上是一个转折频率,这个在做RC电路的频率响应曲线的时候可以体现出来,而且,在转折频率处,输出电压和输入电压的比值為0.707