经验内容仅供参考如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)，建议您详细咨询相关领域专业人士

说说为什么给这篇经验投票吧！

只有签约作者及以上等级才可发有得 你还可以输入1000字

如对這篇经验有疑问可反馈给作者，经验作者会尽力为您解决！

用正交变换将二次型化为标准形

鼡正交变换将二次型化为标准形是数学三考研中的重要题型它综合考察了学生对二次型理论、相似对角化理论、欧式空间理论掌握的熟練程度。解题过程要用到写二次型的矩阵、求矩阵的特征值和特征向量、施密特正交化、单位化等等计算技能对学生的线性代数知识要求比较高。这类问题往往含有参数第一问确定参数，第二问求二次型的 标准形

下面用例子说明这种问题的解法。

这个等式既可以解释為将二次型化为标准形又可以解释为用相似变换将矩阵$$Λ. 合同变换过程可以用相似对角化过程代替，这种求二次型的标准形的方法就是特征值方法.

1. 求出矩阵的特征值和特征向量；
2. 将特征向量组作施密特正交化和单位化；

例1 用正交变换将二次型${}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}$∣λE?A∣=∣∣∣∣∣∣?λ?1?12??1λ?50?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& & \end{array}$∣∣∣∣∣∣?λ?1?10??1λ?52(λ?5)?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& 0& \end{array}$∣∣∣∣∣∣?λ?1?10??5λ?50?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

A的特征值为05，6.

0

$\begin{array}{ccc}& & \\ & 0& 0\\ & 0& 0\end{array}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & \\ 0& 0& 0\end{array}$???4?12??100?200????→???100?010?0?20????

${}_{}{\begin{array}{ccc}0& & \end{array}}^{}$

0

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}\begin{array}{ccc}& 0& \frac{}{}\\ 0& & \frac{}{}\\ 0& 0& 0\end{array}$???5?12??110?201????→???100?010?21?21?0????

0 0 0

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}\begin{array}{ccc}& 0& \frac{}{}\\ 0& & \frac{}{}\\ 0& 0& 0\end{array}$????1?12??1?50?20?5????→???100?010??25?21?0????

0

由于实对称矩阵特征值不同时特征向量已经正交，故只需单位化有

${}_{}\frac{\sqrt{}}{}\begin{array}{c}0\\ \\ \end{array}{}_{}\frac{\sqrt{}}{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}{}_{}\frac{\sqrt{}0}{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$?1????021????,γ2?=6?1????11?2????,γ3?=3?01????5?12????.

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}{}_{}\end{array}\begin{array}{ccc}0& \frac{\sqrt{}}{}& \frac{\sqrt{}0}{}\\ \frac{\sqrt{}}{}& \frac{\sqrt{}}{}& \frac{\sqrt{}0}{}\\ \frac{\sqrt{}}{}& \frac{\sqrt{}}{}& \frac{\sqrt{}0}{}\end{array}$

x=Py, 二次型化为标准形

例2 用正交变换将二次型${}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

解：计算特征值和特征向量的过程同例１，故省略这部分的步骤．

${}_{}{\begin{array}{ccc}& & 0\end{array}}^{}{}_{}{\begin{array}{ccc}& 0& \end{array}}^{}{}_{}{\begin{array}{ccc}& & \end{array}}^{}$

${}_{}{}_{}\begin{array}{c}\\ \\ 0\end{array}$β1?=α1?=???110????,

$\begin{array}{c}\\ 0\\ \end{array}\frac{}{}\begin{array}{c}\\ \\ 0\end{array}\frac{}{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$=???101?????21????110????=21????1?12????.

${}_{}\frac{\sqrt{}}{}\begin{array}{c}\\ \\ 0\end{array}{}_{}\frac{\sqrt{}}{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}{}_{}\frac{\sqrt{}}{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$?1????110????,γ2?=6?1????1?12????,γ3?=3?1?????111????.