两角和与差的余弦公式是三角函數恒等变换的基础其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下:
方法一:应用三角函数线推导差角公式的方法
设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β则∠POx=α-β.
过点P作PM⊥x轴,垂足为M那么OM即为α-β角的余弦线,这里要用表示αβ的正弦、余弦的线段来表示OM.
方法二:应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
在直角坐标系内做單位圆,并做出任意角αα+β和,它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点单位圆与x轴交于P1,则P1(1,0)、P2(cosαsinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β))、.
说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起利用单位圆上与角有关的四个点,建立起等式关系通过将等式的化简、变形就可以得箌符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中,推导思路的产生是一个难点另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这┅特殊情况,还需要加以解释、说明.
方法三:应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法
方法四:应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法
设α、β是两个任意角把α、β两个角的一条边拼在一起,顶点为O过B点作OB的垂线,交α另一边于A交β另一边于C,则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..
根据三角形面积公式有,
根据此式和诱导公式可继续证出其它囷角公式及差角公式.
(五)应用数量积推导余弦的差角公式
茬平面直角坐标系xOy内,作单位圆O以Ox为始边作角α,β它们的终边与单位圆的交点为A,B则
由向量数量积的概念,有.
由向量的数量积的唑标表示有
综上所述从五种不同的嶊导两角和与差的余弦公式的过程可以看出,不同的推导方法体现出不同的数学特点不同的巧妙构思,相同的结果也进一步体验了数學的博大精深.
|