像这种常见的「普通」计算器其实啥都能算(有了极限,啥玩意都能变成加减乘除)其中,自然对数尤其好算本文将提供一种方法,主要利用的是计算器的开平方功能
众所周知,自然对数有如下展开式:
但这玩意对于这种「普通」计算器来说太难算了所以,条条大路通罗马在这里我们换一种思路。
可以看出后面那一坨极限已经跟 \(x\) 没关系了,应该等于一个跟 \(a\) 有关的常数那么这个常数到底是多少呢?容易发现令 \( x=0 \) 可得
也就是說,这个极限就等于函数在 \(x=0\) 处的导数值根据指数函数的图像,我们「猜测」(这里就不是很严谨了不过这不是本文的重点)当 \(a\) 取到某個值时,\(x=0\)处的切线斜率等于 \(1\), 即这个极限等于 \(1\), 此时函数的导函数恒等于函数本身设这个值为 \(e\)(用 \(ln{x}\) 表示以 \(e\) 为底 \(x\) 的对数),可得
跟 (1) 式比较一下即得
那么,这个 \(e\) 到底等于多少呢取反函数,得:
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