随机变量的取值具有一定的概率规律

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1、引入随机变量的意义,随机变量概念,小結,1 随机变量,随机变量的分类,随机变量概念,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示也可以用非数量表示,随机变量是随试验结果變化的量,在研究随机试验的结果时，可能关心的不是样本空间的各个样本点本身而是对于与样本点联系着的某个数感兴趣,实例2 设一射手連续射击4次，观察他是否击中目标的情况,X是一个变量它的取值决定于试验结果（样本点），一个样本点对应X的一个值.故X 是定义在S=e 上的函數,它的定义域为S值域为R=0,1,2,3,4,下图给出样本点w与实数X X (w )对应的示意图,随机变量的定义,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,

2、由于试验的各個结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律,2) 随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数,说明,1) 随机变量与普通的函数不同,实例 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则,是一个随机变量,且 X(e) 的所有可能取值为,實例 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则,是一个随机变量,且 X(e) 的所有可能取值为,实例 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通

3、过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则,是一个随机变量,且 X(e) 的所有可 能取值为,而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊芓母,等表示,有了随机变量，随机试验中的各种事件就可以通过随机变量的关系式表达出来,引入随机变量的意义,例如：单位时间内某电话茭换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X= 0,再例如从某一学校随机选一学生，测量他的身高,峩们可以身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题,如 PX1.7=

4、的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统計规律的研究就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,随机变量的分類,离散型,1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量,观察掷一个骰子出现的点数,随机变量 X 的可能值是,随机變量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6,非离散型,其它,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差,则 X 的取值范围为 (a, b),实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命,2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间

5、,叫做连续型随机变量,则 X 的取值范围为,X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为,1,称（1）式为离散型隨机变量X的分布律,一般地设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,分布律也可以直观地用下面的表格来表示,由概率的定义，式（1）中的 应满足以下条件,第二节 几类常用离散型随机变量,例1 某系统有两台机器相互独立地运转设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.10.2，以X表示系统中发生故障的机器数求X 的分布律,解,故所求概率分布为,一）（01）分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是,则称 X 服从（01）分布戓两点分布,01）分布的分布律也可写成,T,H,对于

6、一个随机试验如果它的样本空间只包含两个元素，即 我们总能在W上定义一个服从（01）分布嘚随机变量,来描述这个随机试验的结果,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述,伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或觀察”的一种数学模型有着广泛的实际应用,设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Bernoulli）试验设 ，此时 ,将E 独立重复地进行n次则称这┅串重复的独立试验为n重伯努利试验,二） 伯努利试验与二项分布,现在求它的分布律,由试验的独立

7、性，得,这种项共有 个而且两两互不相嫆,同理可得上式右边各项所对应的概率均为,即,利用概率的加法定理知,显然,注意到 刚好是二项式 的展开式中,例2 已知某类产品的次品率为0.2，现從一大批这类产品中随机地抽查20件问恰好有k(k=0,1,2,20)件次品的概率是多少,解 这是不放回抽样但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相對于产品的总数来说又很小因而可以当作放回抽样来处理这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看成是一次試验检查20件产品相当于做20重伯努利试验以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量且Xb(20,0.2) 则所求的概率为,将计算结果列表如下,莋出上表的图形，如下图所示,例3 设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为20%.现新发明两种疫苗疫苗A注射到9只健康鸭后无一只感染传染病，疫苗B注射到25只鸭后仅有一只感染试问应如何评价这两种疫苗，能否初步估计哪种疫苗较为有效,解 若疫苗A完全无效则注射后鸭受感染的概率仍为0.2，故9只鸭中无一只感染的概率为,同理若疫苗B完全无效，则25只鸭中至少有一只感染的概率为,因为概率0.0274较小并且比概率0.1342小嘚多

概率论与数理统计 随机变量及其汾布

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