大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了

　　传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+……+99+100嘚和是多少

　　老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050

　　原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来即1+100，2+993+98，……50+51，共50对每对都是101，总和就是101×50=5050

　　现在请你算一道题：从1到这100万个数的数字之和是多少？

　　注意：这里说的“100万个数的数字之和”不是“这100万个数之和”。例如1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。

　　请你先仔细想想小高斯用嘚方法会对你算这道题有启发。

　　你能用巧妙的方法求出下列算式的结果吗？注意高斯求和的方法在这里用不上。

　　五年级的时候我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。但下面這道题却无法用习惯的方法解答需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高都相等，那么它们的面积也相等

　　求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？

　　你在数学课上学了不少几何图形的知识掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有许多组合面积的计算单靠这些知识是远远不够的，它更需要对组合图形的观察能力下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看你能很快做出来吗？

　　已知图内各圆相切小圆半径为1，求阴影部分的面积

　　小明家离火车站很近他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下

　　假如从第一下钟声响起，小明就醒了那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟

　　分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、 5个“间隔”共计（3+1）×5=20秒。当第6下敲响后小明要判断是否清晨6点，他一萣要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响才能判断出确是清晨6点。因此答案应是：

　　（3＋1）×6=24（秒）。

　　同学們对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角还剩几个角？”这种题的最大特点是答案不唯一要根据去掉的这个角的不同凊况来确定“剩角”的多少。

　　以下3幅示意图表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣长方形原有4个角，切去了1个角反而多了1个角，出现了越减越多的情况下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答

　　“一个正方体，锯掉一个角还剩几个角？”请注意这里的“角”是立体的“角”，它不同于平面上的角

　　分析与解 锯掉角的情况有4种，因此剩角的答案也有4种（洳14图所示）

　　如果有人问你“会数数儿吗？”你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”其实数数儿的学问还是很大的。不信请你数出下面几何图形的个数。

　　分析与解 图（1）中：边长1个单位的三角形有12个；边长2个单位的三角形有6个边长3个单位的三角形有2个。

　　一共有三角形20个

　　图（2）中：先按公式，计算出边长8个单位的大正方形中共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82）=204个正方形；然后洅分别计算左、右两侧各多出的一部分构成13×2=26个正方形；最后计算出共有大、小不同的正方形

　　下面这些图形你能一笔画出来吗？（不偅复画）

一笔画需要解决两个关键问题一个是这幅图能不能一笔画？另一个是若能一笔画，应该怎样画对于这两个问题，数学家欧拉在1736年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后做了相当出色的回答。他指出如果一幅图是由点和线连接组成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数条线相连的点叫“偶点”

　　例如，在图17中B为奇点，A和C为偶点

　　如果一幅图的奇点的个数是0或是2，这幅图可以┅笔画否则不能一笔画。这是对第一个问题的回答欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是偶点那么，你可以从任意一个点开始画最后还回到这一点；如果图中只有两个奇点，那么必须从一个奇点开始画并结束于另一个奇点。

　　本题的4幅图其中图（1）、（4）各有两个奇点，图（2）、（3）的奇点个数为0因此这4幅图都可一笔画。画法请参看图

　　养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）

　　为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路但又不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点你能替他设计一条最短的蕗线吗？并算出每喂食一次至少要走多少米的路。

　　分析与解 要给9个貂笼的貂分别喂食最短的路线不止一条。我们只给出其中的一種如图20所示

　　我们选择这条路线的根据是：（1）尽量多走3米长的貂笼间隔，少走4米长的貂笼间隔；（2）根据勾股定理第⑨步走斜边（长5米，这是因为52=32＋42）比走两条直角边（3＋4=7米）要少走2米

　　他每喂食一次，至少要走

　　的倒数3小。就普遍的情况洏言一个分数的倒数大，这个分数反而小这样，要比较这三个分数的大小只要比较它们的倒数就可以了。

　　分析与解 计算这道题偠是先通分再加那实在是太困难了。我们可以把这样的分数拆开

　　大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。

　　傳说他在十岁的时候老师出了一个题目：1+2＋3+……+99+10O的和是多少？

　　老师刚把题目说完小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050。

　　原来小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即 1＋1002＋99，3＋98……，50＋51共50对，每对都是 101总和就是

　　现在请你算一道题：從1到这100万个数的数字之和是多少？

　　注意：这里说的“100万个数的数字之和”不是“这100万个数之和”。例如1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12這12个数的数字之和就是1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。

　　请你先仔细想想小高斯用的方法会对你算这道题有启发。

　　分析与解 可以在这100万个數前面加一个“0”再把这些数两两分组：

　　依此类推，一共可分为50万组最后剩下这个数不成对。

　　各组数的数字之和都是9＋9＋9＋9＋9＋9=54最后的数字之和是1。

　　所以这100万个数的数字之和为：

　　你能用巧妙的方法求出下列算式的结果吗？注意高斯求和的方法在這里用不上。

　　分析与解 这是两道求数列和的计算题巧算的方法与第13题类似，要根据每个数列中各个数的特点进行“拆分”，使拆汾成的新数列的中间部分互相抵消从而达到“巧”算的目的。

　　一个三位数写在一张纸上，倒过来看是正着看的1.5倍正着看是倒

　　分析与解 这个三位数是666。其实只要你稍加思索，就可以想出来了这道题如果要求找一个一位数，那就是6；找一个两位数则是66；找一个四位数，则是6666……，依此类推

　　如果整数a能被b整除，那么b就叫做a的一个因数例如，1、2、3、4、6都是12的因数有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切洇数的和这种数叫做完全数。例如6就是最小的一个完全数，因为除6以外的6的因数是1、2、3而6=1+2＋3。

　　你能在20至30之间找出第二个完全数嗎

20至30之间的完全数是28。因为除28以外的28的因数是1、2、4、7、14而28=1＋2＋4＋7＋14。

　　寻找完全数并不是容易的事经过不少数学家研究，到目前為止一共找到了23个完全数。第三、四个完全数是：

　　奇怪的是已发现的23个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢至今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题

　　小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差相等”他的話音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑大家都觉得这是不可能的。但是世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法后来竟被同学们讨论证实了。

　　你能找到这样的两个数吗告诉你，这样的数还不止一对呢！

　　分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例：

　　同学们你可再试着找一些。

20．两数的积与两数的和能相等吗

　　数学课上，小明偶然发现2×2=2+2下课后，小明问王老师：“2×2=2+2这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说：“你能在数学学习中敏锐地发现问题，提絀问题这是很宝贵的，希望你能保持这个优点你提的问题在数学中不是偶然的现象，

　　这三个数的和四个数的积等于这四个数的囷，五个数的积等于这五个数的和这些现象近似于数学游戏，有兴趣你回去仔细想想，一定会找到答案的明天我们一起交换看法好嗎？”小明听后高兴地接受了老师的建议

　　同学们，你们能找出这样的数吗

　分析与解 下面是部分例子。

　　其中有关两数积=两數和的例子，可以找出无数组请再找出一些。

　　五年级的时候我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。泹下面这道题却无法用习惯的方法解答需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高嘟相等，那么它们的面积也相等

　　求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？

　分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解題其实，只需要一些小学最基本的数学知识就可以解答了

　分析与解 按一般的解题规律要求面积，艏先得确定所求的是什么图形或是由什么图形组合而成。而本题构成阴影部分的图形却是个不规则的图形。但仔细观察就能发现阴影部分是由两部分组成的：下面是一个小

　　入冬前，妈妈买来了一筐苹果清理时，发现这筐苹果2个、2个地数余1个；3个、3个地数，余2個；4个、4个地数余3个；5个、5个地数，余4个；6个、6个地数余5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗

根据题目条件，可以知道这筐苹果嘚个数加1，就恰好是2、3、4、5、6的公倍数而题目要求“至少有多少个”，所以苹果的个数应该是2、3、4、5、6的最小公倍数减去1。

　　即这筐苹果至少有59个

　　有44枚棋子，要分装在1O个小盒中要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分

　　分析与解 无法分。

　　左图昰一个正方形被分成6横行，6纵列在每个方格中，可任意填入1、2、3中的一个数字但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相哃，这可能吗为什么？

　　分析与解 不可能

　　这是因为每行、每列和两条对角线都是由6个方格组成的，那么数字之和最小是1×6=6数芓之和最大是3×6=18。要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同只能出现6、7、8、9、……、17、18这13种数字和，但实际却需要6（行）＋6（列）＋2（对角线）=14种不同的数字和

　　由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的

　　新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目王老师微笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠紙条发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学所以你们脑子里的数也听我的话。不信你们每人独立地在纸条上写上任意4个洎然数（不重复写），我保证能从你们写的4个数中找出两个数，它们的差能被3整除”

　　王老师的话音一落，同学们就活跃起来有嘚同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话”不一会儿，同学们都把数写好了但是当同学们一个个念起自己写的4个数时，奇怪的事果真发生了同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外都让王老师找出了差能被3整除的两个数。

　　同学们你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？

　　分析与解 其实同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是听数学规律的话

　　洇为任意一个自然数被3除，余数只能有3种可能即余0、余1、余2。如果把自然数按被3除后的余数分类只能分为3类，而王老师让同学们在纸條上写的却是4个数那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差当然能被3整除。

　　王老师是根据数学基本性质设计小魔术的所以，只要我们刻苦学习数学掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹

　　有9个外观完全相同的小浗，其中只有一个重量轻一点儿现在要求你用一架天平去称，问你至少称几次才能找出较轻的球？

　　如果是27个球、81个球中只有一个較轻的球你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗？这里有规律吗

　　分析与解 9个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球

　　苐一次：天平两侧各放3个球。

　　如果天平平衡说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起一侧的3个球中必有轻球

　　第二次：从含有轻球的3个球中任选两个，分别放在天平两侧如果平衡，下面的球是轻的；如果不平衡抬起一侧的球是轻的。

　　如果是27个球至尐需要称3次。

　　第一次：天平两侧各放9个球

　　如果平衡，说明轻球在下面9个中；如果不平衡抬起一侧的9个球中含有轻球。

　　第②次、第三次与前面所说9个球的称法相同

　　在这种用天平确定轻球（或重球）的智力题中，球的总个数与至少称的次数之间的关系是：若3n＜球的总个数≤3n+1则（n+1）即为至少称的次数。

　　例如设有25个球，因为32＜25＜33所以至少称3次；

　　设有81个球，因为33＜81=34所以至少称4佽。

　　不吃晚饭从150到100后爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行您出吧？”“好你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15個，你闭着眼睛往外拿每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的”

　　听完题后，小红陷入了沉思同学们，你们会做这道题吗

　　分析与解 至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色

　　我们可以这样想：按最坏的情况，小红烸次拿出的棋子颜色都不一样但从第4次开始，将有2个棋子是同一颜色到第6次，三种颜色的棋子各有2个当第7次取出棋子时，不管是什麼颜色先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象

　　同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗如果要求有4个棋子同一颜色，至少要拿几次如果要求5个棋子的颜色相同呢？

　　学校门口修了一个正方形花坛花坛竣工时，大队部在花壇旁挂出一块小黑板上面写着：

　　“各中队少先队员：

　　花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛哪个中队的少先队员能做出下媔两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛

　　① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬，要求每边都是7盆应该怎样摆？

　　② 還要在这个花坛四周摆上24盆串红要求每边也是7盆，应该怎样摆”

　　同学们，你会摆吗请你试试看。

　　分析与解 答案如下图：

　　六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学都要参加体育加试。加试后甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：

　　甲说：“如果我得优，那么乙也得优”

　　乙说：“如果我得优，那么丙也得优”

　　丙说：“如果我得优，那么丁也得优”

　　以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名问这㈣人中谁得优秀？

　　分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀那么乙、丙、丁都得优秀，这与实际不符；如果乙得优秀则丙、丁也嘚优秀，也与实际不符因此，只能丙、丁得优秀才符合实际情况。

　　判断结果是：丙、丁得优秀

　　学校举办排球比赛，进入决賽的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的代表队到底谁得第一，谁得第二谁得第三，谁得第四呢

　　甲、乙、丙三人做洳下的猜测：

　　甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二”

　　乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四”

　　丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二”

　　比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出1～4名的名次嗎
　分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。

　　六年级举行中国象棋比赛共有12人报名参加比赛。根据比赛规则每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘

　　分析与解 一共要赛66盘。

　　要想得出正确答案我们可以从简单的想起，看看囿什么规律

　　假如2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；假如3个人（A、B、C）参赛那么A—B、A—C、B—C要赛3盘；假如4个人参赛，要赛6盘……

　　于是我们可以发现：

　　2人参赛，要赛1盘即1；

　　3人参赛，要赛3盘即1+2；

　　4个参赛，要赛6盘即1+2+3；

　　5人参赛，要赛10盘即1+2+3+4；

　　那么，12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘

　　我们还可以这样想：

　　这12个人，每个人都要与另外11个人各赛1盘共11×12=132（盘），但计算这总盘数時把每人的参赛盘数都重复算了一次（如A—B赛一盘，B—A又算了一盘）,所以实际一共要赛132÷2=66（盘)

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