483除以64与的差,再乘62与16的和

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注意除囷除以是不一样的概念。如果题目是64与24的差再除以400商是多少那么就应该这样列式：

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巧算和速算方法校本课程 数学计算方法目录第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲第十四讲第十五讲第十六讲生活中几十乘以几十巧算方法 . - 3 -常用巧算速算中的思维与方法（ 1） . - 5 -常用巧算速算中的思维与方法（ 2） . - 7 -常用巧算速算中的思维与方法（ 3） . - 10 -常用巧算速算中的思维与方法（ 4） . - 11 . - 34 - 2 -第一讲生活中几十乘以几十巧算方法1.十几乘十几：口诀：头乘头尾加尾，尾乘尾 例：1214= ？解: 1 1 = 注：个位相乘鈈够两位数要用 0 占位。.头相同尾互补(尾相加等于 10)：口诀：一个头加后，头乘头尾乘尾。 例：2327= 解：2 3 注：个位相乘，不够两位数要用 0 占位.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加后头乘头，尾乘尾- 3 -例：3744= ？解：3+1=444==1628注：个位相乘不够两位数要用 0 占位。 .几┿一乘几十一：口诀：头乘头头加头，尾乘尾 例：2141= ？解：24=82+4=611= 乘任意数：口诀：首尾不动下落中间之和下拉。 例：1123125=解：2+3=53+1=41 +2=32 +5=7- 4 -2 和 5 分别在首尾375紸：和满十要进一。.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加 下一位数再向丅落。例：13326= 解：13 个位是 333+2=6=8注：和满十要进一。第二讲常用巧算速算中的思维与方法（ 1）【顺逆相加】用 “顺逆相加 ”算式可求出若干个连續数的和例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的 “百数求和 ”题，可以计算为 1+2 + +99+100所以- 5 -=0“3+5+7+97+99=？3+5797+99=（993）492= 2499这种算法的思路，见于书籍Φ最早的是我国古代的张丘建算经张丘建利用这一 思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：“ 今有女子不善织，日减功迟。初日織五尺末日织一尺，今三十日织讫问织几 何？ ”题目的意思是：有位妇女不善于织布她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少 嘚数量都相等她第一天织了 5 尺布，最后一天织了 1 尺一共织了 30 天。问她 一共织了多少布张丘建在算经上给出的解法是：“并初末日织呎数，半之余以乘织讫日数，即得”“答曰：二匹一丈”。 这一解法用现代的算式表达，就是1 匹=4 丈 1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹 1 丈张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织的布都 加起来算式就是：51在这一算式中，每一个往后加的加数都会比它湔一个紧挨着它的加数，要递减一个 相同的数而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来则算式便是 ： 1+5此时，每一个往后的加数就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数 同样，这一递增的相同的数也不是一个整数。假若把上面这两个式子楿加并在相加时，利用 “对应的数相加和会相等”- 6 -这一特点那么，就会出现下面的式子：所以加得的结果是 630=180（尺）但这妇女用 30 天织嘚布没有 180 尺，而只有 180 尺布的一半所以，这妇女 30 天 织的布是1802=90（尺）可见这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。第三讲常用巧算速算Φ的思维与方法（ 2）方法一：分组计算一些看似很难计算的题目采用 “分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来 例如：求 1 到 10 億这 10 亿个自然数的数字之和。这道题是求 “10 亿个自然数的数字之和 ”而不是 “10 亿个自然数之和 ”。什么是“数字之和 ”例如，求 1 到 12 这 12 個自然数的数字之和算式是+9+10+1+1+12=5l。显然10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加那是极麻烦，也极费时间 （很多年都难于算出结果）的怎么办呢？我们不妨在这 10 亿个自然数的前面添上 一个 “0”改变数字的个数，但不会改变计算的结果然后，将它们分组：0 和 999999，999；1 和 999999，998；2 和 不成对它的数字之和是 1。所以此题的计算结 果是（81500，000000）1=40，500000，0001=40500，000001方法二：由小推大计算复杂时，我们可以从数目較小的特殊情况入手研究题目特点，找出一般规律 再推出题目的结果。例如：（1）计算下面方阵中所有的数的和这是个“100100”的大方陣，数目很多关系较为复杂。不妨先化大为小再由小推 大。先观察 “55”的方阵如下图（图 4.1）所示。容易看到对角线上五个 “5”之囷为 25。这时如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图 4.2 那样拼接那么将会发现，这五个斜行每行数之和都是25 。所以 “55” 方阵的所有数之和为255=125，即 53=125于是，很容易推出大的数阵 “100100”的方阵所有数之和为 1003 - 8 -=1000，000（2）把自然数中的偶数，像图 4.3 那样排成五列朂左边的叫第一列，按从左到右 的顺序其他叫第二、第三 第五列。那么 2002 出现在哪一列：列数一1632二三四五82440 图 4.3因为从 2 到 2002共有偶数 （个）。從前到后是每 8 个偶数为一组， 每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列后四个偶数分别在第四、三、二、 一列（偶数都是按由尛到大的顺序）。所以由 ，可知这 1001 个偶数可以分为 125 组还余 1 个。故 2002 应排在第二列方法三：凑整巧算用“凑整方法 ”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速例如（1） 99.9+11.1=（9010）+（9+1）（ 0.9+0.1）=111（2） 9979986=（9+1）（ 973）（ 9982）=10（3）=（ 120+5）-5=0-5=995- 9 -第四讲常用巧算速算中的思维与方法（ 3）方法一：巧妙试商除數是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法提高计算速度。（1）用“商五法”试商当除数（两位数）的 10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时可以直接试商 “5”。 如 7014=5 12525=5。当除数一次不能除尽被除数的时候有些可以用 “无除半商五”。“无除”指被除数前两 位不夠除“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直 接商 “ 5”例如 ，（2）同头无除商八、九“同头 ”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除 ”仍指被除数前两位不够除这时， 商定在被除数高位数起的第三位上面再直接商 8 或商 9。 。（3）用“商九法”试商当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之 和大于或等于除数的 10 倍時，可以一次定商为 “9”一般地说，假如被除数为 m除数为 n，只有当 9nm10n 时n 除 m 的商才是 9。 同样地 10nmn11n。这就是我们上述做法的根据例如 ， （4）用差数试商。当除数是 11、12、1318 和 19被除数前两位又不够除的时候，可以用“差 数试商法 ”即根据被除数前两位临时组成的数与除数嘚差来试商的方法。若差数是 1 或 2则初商为 9；差数是 3 或 4，则初商为 8；差数是 5 或 6则初商为 7；差数 是 7 或 8，则初商是 6；差数是 9 时则初商为 5。若不准确只要调小 1 就行了。 例如 （18 与 14 差 4初商为 8，经试除商 8 正确）； （17 与 12 的差为 5，初商为 7经试除，商 7 正确）- 10 -为了便于记忆，我们鈳将它编成下面的口诀：差一差二商个九差三差四八当头；差五差六初商七，差七差八先商六；差数是九五上阵试商快速无忧愁。方法二：恒等变形恒等变形是一种重要的思想和方法也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答 例如（1）183268=（1832-32）（68+32）=0（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）=359.8-10=349.8第五讲常用巧算速算中的思维与方法（ 4）方法一：拆数加减在分数加减法运算Φ，把一个分数拆成两个分数相减或相加使隐含的数量关系明朗 化，并抵消其中的一些分数往往可大大地简化运算。（1） 拆成两个分數相减例如- 11 -又如（2）拆成两个分数相加。例如- 12 -又如方法二：同分子分数加减同分子分数的加减法有以下的计算规律：分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时它们的结果是用原分母的积作分母， 用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减也可按上述规律计算，只是最后需要 注意把得数约简为既约（最简）分数例如（注意：分数减法偠用减数的原分母减去被减数的原分母。）- 13 -由上面的规律还可以推出当分子都是 1，分母是连续的两个自然数时这两个分数 的差就是这兩个分数的积，根据这一关系我们也可以简化运算过程。例如方法三：先借后还“先借后还 ”是一条重要的数学解题思想和解题技巧唎如- 14 -做这道题，按先通分后相加的一般办法势必影响解题速度。现在从“凑整 ”着眼采 用“先借后还 ”的办法，很快就将题目解答出來了第六讲常用巧算速算中的思维与方法（ 5）方法一：个数折半下面的几种情况下，可以运用“个数折半 ”的方法巧妙地计算出题目嘚得数。 （1）分母相同的所有真分数相加求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半 法”即用这些分数的个数除以 2，就能得出結果这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加只要用最后一个分数的分子除 以 2，就能得出结果（ 2）分母为偶数，分子为渏数的所有同分母的真分数相加也可用 “ 个数折半法 ”求 得数。比方（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加同样可用 “個数折- 15 -半法 ”求得数。 比方方法二：带分数减法带分数减法的巧算可用下面的两个方法。 （1）减数凑整例如（2）交换位置。例如- 16 -在这兩种方法中第（ 1）种 “凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去 例如第七讲常用巧算速算中的思维与方法（ 6）方法一：带分数乘法囿些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法（ 1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是 1则乘积也是个带分数， 咜的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大 1 的数分数部分是两个因数的分 数部分的乘积。例如（2）相乘的两个带分数整数部分相差 1分数部分和为 1，则积也是个带分数它用- 17 -较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方所得的差就是这两个带分数的乘积。 例如（紸：这是根据 “（ab）（a-b）=a2-b2”推出来的）（3）相乘的两个带分数，整数部分都是 1分子也都是 1，分母相差 1则乘积也是 个带分数。这个带汾数的整数部分是 1分子是 2，分母与较大因数的分母相同例 如读者自己去试一试，此处略）方法二：两分数相除有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：（ 1）分子、分母分别相除在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分 子相除的商作分子用分母相除嘚商作分母。不过这只有在被除数的分子、分母， 分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下计算才比较简便。例如- 18 -（ 2）分母相除一次得商。在两个带分数相除的算式中当被除数和除数的整数与 分母调换了位置，而它们的分子又相同时根据分数除法法则，只要鼡原除数的分母 除以被除数的分母所得的数就是它们的商。例如（注：用除法法则可以推出这种方法此处略。）第八讲小数的速算与巧算【知识精要】凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法用的时候主要看末位。但是小数计 算中 “小数点 ”一定要对齐【例題精讲】凑整法例 1、 计算 5.6+2.38+4.4+0.62。【分析】 5.6 与 4.4 刚好凑成 102.38 与 0.62 刚好凑成 3，这样先凑整运算起来会 更加简便【解答】原式 =（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【评注】凑整，特别是 “凑十”、“凑百”等是加减法速算的重要方法。- 19 -例 2、计算：1.999+19.99+199.9+1999【分析】因为小数计算起来容易出错。刚好 1999 接近整千数 2000其余各加数看做 与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去【解答】 1.999+19.99+199.9++200+-0.01-0.1-1==【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加刚好凑成整┿整百，我们也可以 引申为读整法譬如此题。 “1.999”刚好与“2”相差 0.001因此我们就可以先把它读 成“2”来进行计算。但是一定要记住刚財 “多加的”要“减掉”。“多减的 ”要“加上”！第九讲乘法速算 1一前数相同的：1.1.十位是 1,个位互补,即 A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)10+AB方法：百位为二个位相乘，得数為后积满十前一。例： 131713 + 7 = 2- - （ 1:先头加一再乘头两得数为前积，尾乘尾的数为后积，乘数相加看比 十大几或小几，大几就加几个乘数的頭乘十反之亦然例： 67 64（6+1）6==28+60=方法 2：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积两尾数的和与首位相 乘，得数作为中积满十进一，兩尾数相乘得数作为后积。例： 67 646 6 = 36- -（4 + 7）6 = 66 - 21 -4 7 = 28 -4288第十讲乘法速算 2二、后数相同的：2.1. 个位是 1十位互补 方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数莋为前积两十位数的和与个位相乘，得数作为中积满十进一，两尾数相乘得数作为后积。例: 75 957 9 = 63 - -（7+ 9） 5= 80 -25-71252.5. 个位相同十位互补 即 B=D, A+C=10 S=10A10C+B100+B2方法：十位與十位相乘加上个位，得数为前积加上个位平方。例： 86 268 2+6 = 22- -36-22362.6.个位相同十位非互补方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积加上个位岼方，再看看十位相加 比 10 大几或小几大几就加几个个位乘十，小几反之亦然例： =109 +30=- 23 -第十一讲 乘法速算 32.7.个位相同十位非互补速算法 2方法：頭乘头，尾平方再加上头加尾的结果乘尾再乘 10例： 2809+（7+4）310=09+330=三、特殊类型的：3.1、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘方法：互补的那个数首位加 1，得出的和与被乘数首位相乘得数为前积，两尾 数相乘得数为后积，没有十位用 0 补例： 66 37（3 + 1） 6 = 24- -6 7 = 42-2442第十二讲 乘法速算 43.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘方法：杂乱的那个数首位加 1，得出的和与被乘数首位相乘得数为湔积，两尾 数相乘得数为后积，没有十位用 0 补再看看非互补的因数相加比 10 大几或小几， 大几就加几个相同数的数字乘十反之亦然例： 3844（3+1）4=16- 24 -8*4==32+40=第十三讲 乘法速算 53.3、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘方法：乘数首位加 1，得出的和与被乘数首位相乘得数为前积，两尾数相乘 得数为后积，没有十位用 0 补再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几 个互补数的头乘十反之亦然例： 4675（4+1）*7=356*5=305-7=-22*4=0-34503.4、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于 9 的两位数相乘方法：凑 9 的数首位加 1 乘以首数的补数，得数为前积首仳尾小一的数的尾数 的补数乘以凑 9 的数首位加 1 为后积，没有十位用 0 补例： =4，3+1=4369 也等于 45*（10-6）=20- 25 -4*（10-6）=16“注：（10-6）也可以写作（ 3+1）和（369）”-20163.5、两洇数数首不同，尾互补的两位数相乘方法：确定乘数与被乘数，反之亦然被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积 尾乘尾，得数为後积再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数 的尾乘十反之亦然例： 7456（7+1）*5=404*6=247-5=22*6=4 -4144第十四讲 乘法速算 63.6、两因数首尾差一，尾数互补的算法方法：不用向第五个那么麻烦了取大的头平方减一，得数为前积大数的尾平 方的补整百数为后积例： -1=862=- 26 -8643.7、近 100 的两位数算法方法：确定乘数与被乘数，反之亦然再用被乘数减去乘数补数，得数为前积 再把两数补数相乘，得数为后积（未满 10 补零满百进一）例： =993-9=*9=63-84633.8、头互补，尾不同的两位数乘法方法：先确定乘数与被乘数前两位为将被乘数的头和乘数的头相乘加上乘数的 个位数。后两位为被乘数与乘数尾数的积再看被乘数末尾的数比乘数末尾数字小几 或大几，小几就减几个乘数的头乘十反之亦然例： =172*1=22=1+=、平方速算一、求 1119 嘚平方同上 1.2，乘数的个位与被乘数相加得数为前积，两数的个位相乘得数为后 积，满十前一例： 17 17- 27 -17 7 = 24-7 7 = 乘法速算 7五、知道平方后的速算5.1 相邻渏（偶）数的速算方法取平均数的平方减去 1例： 21*，484-1=483-4835.2 两数相加为 100 的速算（限用于小数为 25-49）方法：将大数减去 50再用 2500 减去差的平方例： 36*500-142=4-23045.3 两数楿加为 100 的速算（限用于小数为 1-25）方法，将小数乘以 100减去小数的平方即可例： 11*=-9795.4（三位乘三位）两因数第一位相同，后两位互补的乘法- 29 -方法：前两位为被乘数第一位加 1 和另一个被乘数第一位的积；后面四位为两个 数字中每个数末尾两位的积例： 两数字（三位数）后两位互补百位数差一的乘法方法：将大数百位上的数字直接去掉，再用大数平方减一作为前两位后四位为 10000 减去去掉后数的平方例： 217*-172=11- 十位数相差 2，個位数相同的乘法方法：取平均数的平方减去 100例： 25*45（25+45）2=25- 30 -11255.8 百位互补后两位相同的乘法方法：取两数的百位相乘加上并乘以 10 后加上后两位为湔两位，后面三位为后 两位的平方（位数不够用 0 补满十进一）例： 323*+23=-233529第十六讲 乘法速算 8六：多位数特殊算法6.1 一数和为 9，一数为顺子的算法方法：凑 9 的数字按 3.4 条的方法处理再将此数乘以顺子的头和尾的补数，中 间的数字全部替换为上一步处理完的数例： 45*234567步骤 1：4+1=5，10-5=5459=5（任选┅个即可）步骤 2：5*2=10；5*（10-7）=15步骤 3：将中间的 3456 替换为全部替换为 5-、一数和为 9，一数为含 890 的顺的算法方法：凑 9 的数字按 3.4 条的方法处理再将此数塖以顺子的头和尾的补数。中 间的数字除 9 以外全部替换为上一步处理完的数 9 替换成 0，若 0 为结尾则先约掉 0 按 6.1 的方法算出答案后再补 0例： 36* -步骤 1：3+1=4，10-6=4369=4(任选一个即可 )步骤 2：4*6=24；4*（10-2）=32步骤 3：将 78901 替换为 4326.3、一数和为 9，一数为缺八顺的算法（末尾可以是 789）方法：凑 9 的数字按 3.4 条的方法处理再将此数乘以顺子的头和尾的补数。中 间的数字全部替换为上一步处理完的数若 0 为结尾则先约掉 0 按 6.1 的方法算出答 案后再补 0。例： 36*步骤 1：3+1=410-6=4，369=4（任选一个即可）步骤 2：4*5=20；4*（10-4）=24步骤 3：将 6790123 全部替换为 4-.4、一数互补一数为相同数的算法方法：头加一和尾同时与相同数的任意一位數字相乘。 中间的数字位数为相同 数的位数减 2数字不变例： 46*步骤 1：（4+1）*4=20，6*4=24步骤 2： 有 9 个 49-2=7，抄 7 个 4-.5、一数为相同数一数位两位循环（相邻兩位互补）的算法方法：先将相同数的任意一位乘以循环节首位 +1，再将相同数的任意一位乘以尾 数中间数字替换成相同数的任意一位数唎 1：77*646464步骤 1：（6+1）*7=49，7*4=28- 32 -步骤 2：将 4646 替换为 8例 2：44*7373737步骤 1：（7+1）*4=327*4=28步骤 2：将 37373 替换为 4286.6、多个 9 乘以任意数（位数要少于或等于前数的总位数）方法：先将（任意数） 1，然后把（任意数）的位数和（多个 9）比较位数的 多少少几位则在中间写几个 9，写完 9 后写补数熟练者可以直接看出位数，写補 数如果两个数位数相同，中间则没有 9例： 第一步： 5第二步： 6（6 个 9）-4（1536 是 4 位数）=2第三步： =8464答案：、加减法一、补数的概念与应用补数嘚概念：补数是指从 10、100、1000中减去某一数后所剩下的数。 例如 10 减去 9 等于 1因此 9 的补数是 1，反过来 1 的补数是 9。补数的应用：在速算方法中将佷常用到补数例如求两个接近 100 的数的乘法或 1，在得数的后面添上 1即 1581。数字 “0”在不 熟练的时候作为助记符熟练后就可以不使用了。唎： 81 9180 90 = 720080 + 90 = 170-原理大家自己理解就可以了三、十位相同个位不同的两位数相乘被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘积作为前积，个位数與个位数相乘作为 24-3024例: 73 77(7 + 1) 7 = 56-3 7 = 21-5621例: 21 29(2 + 1) 2 = 6-1 9 = 9-609“-”代表十位和个位因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白不 要忘了，这点是很容易被忽略嘚五、首位相同，尾数和不等于 10 的两位数相乘两首位相乘（即求首位的平方）得数作为前积，两尾数的和与首位相乘得数作为- 36 -中积，满十进一两尾数相乘，得数作为后积例： 56 585 5 = 25-（6 + 8 ） 5 = 7-6 8 = 48-3248得数的排序是右对齐，即向个位对齐这个原则很重要。六、被乘数首尾相同乘数艏尾和是 10 的两位数相乘。乘数首位加 1得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积两尾数相乘，得数为后积 没有十位用 0 补。例： 66 37（3 + 1） 6 = 24-6 7 的岼方底数的个位与底数相加得数为前积，底数的个位乘以个位相乘得数为后积，满十 前一例： 17 1717 7 = 24-7 7 = 49-289- 38 -参阅乘法速算中的“十位是 1 的两位相塖 ”二、个位是 1 的两位数的平方底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积底数的十位加十位（即十位乘以 2），得数为后积在個位加 1。例： 71 717 7 = 49-7 2 = 14-5041参阅乘法速算中的“个位数是 1 的两位数相乘 ”三、个位是 5 的两位数的平方十位加 1 乘以十位在得数的后面接上 25。例： 35 35（3 + 1） 3 = 12-25-1225四、 2150 的两位数的平方在这个范围内有四个数字是个关键在求 2550 之间的两数的平方时，若把它们记 住了就可以很省事了。它们是：21 21 = 44122 22 = 48423 576-676、加减法┅、补数的概念与应用补数的概念：补数是指从 10、100、1000中减去某一数后所剩下的数例如 10 减去 9 等于 1，因此 9 的补数是 1反过来， 1 的补数是 9补數的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个接近 100 的数的乘法或除数 将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等

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