以下是2022年3月17日在外滩教育直播室分享交流的文字内容（不含观众互动问答部分），供错过直播的朋友们参考，文字内容与实际直播时有部分出入，特此说明。

首先感谢上海外滩教育的邀请，能有机会在直播室里与全国各地的家长朋友们一起来聊聊有关数学的学习问题，尤其是“双减”后的数学应该如何学习。这里也感谢广大的家长朋友，能在百忙之中抽出时间参加此次的直播节目，希望我的分享能让你们有所收获。

在正式分享之前，我要强调的一点是，今天要与大家分享的内容，即使没有当下的“双减”也是一样的，只是在“双减”下，很多事情显得尤为重要了。换句话说就是，今天的分享其实没有新的内容，毕竟“太阳底下没有新鲜事”嘛！

“双减”是一个系统工程，涉及到多个层面：国家、社会、学校、家庭、个体。我们只谈微观的层面，即家庭和个体这部分。也只有这部分，是我们可以掌控的。当然，时间有限，我们不可能面面俱到，所以只能挑一些重点来与大家分享。我个人是非常支持“双减”的，因为我们大部分孩子在学校和课外培训班里经历的无效学习太多了，事实上根本没有必要人人都去上培训班，很多东西完全可以自学的，为什么要花那么多冤枉钱呢？而且，人总归是要学会自己走路的，太依赖外部的培训，反而失去了学习的能力。

我不知道大家有么有发现，很多孩子三四岁了还在喂饭吃，反而是那些很小的时候就开始自己尝试学习吃饭的孩子很快学会了独立吃饭。尽管一开始的时候饭会掉得到处都是，但这个阶段很快就会过去。其实学习也是一样的道理。以前很多家长来问我，低龄的儿童应该如何启蒙数学？我通常的回答是：多做家务！有一些家长朋友以为我随口敷衍一下，没当回事，但也有一部分执行了我的建议的家长一些年后再联系我，表示感谢。

因此，今天我与大家分享的内容就是以“双减”为背景，再次老生常谈某些我认为十分重要的学习经验，供大家参考。

第一部分：“双减”对于数学学习提出了哪些新要求？

1、从“背诵”数学转为“理解”数学。

我见过很多的学生，是通过背诵或记忆来学数学的，背定义、背定理、背公式、背套路、背模型甚至背题目，唯独没有思考和理解。这就是很多人学不好数学的主要原因。模仿和熟练对于基础性的知识或者题目是可以的，但不能只是停留在这个层面上。我们要做的是充分理解数学课本中每一个定理的证明过程，理解每一个公式的推导过程，每一个模型背后的基本知识。只有理解了这些，才算是真正学透了相关知识。很多人在长时间不做题后会说自己忘记了，其实说白了还是不理解，真正理解的知识是不容易忘记的。就像你学会了游泳之后，即使很多年没有下水，你依旧不会忘记如何游泳。不少人会在毕业后说，曾经学过的知识都还给了老师。其实说白了，当年你并没有真正理解那些知识，所以才会学得快忘得也很快。

关于为什么不提倡靠“背诵”和“记忆”来学数学，我再举一个也许不是那么贴近的例子。例如，我们去五星级酒店或者米其林餐厅吃饭，吃到一道菜很美味，你很想自己回家后也能做出来。恰好酒店的厨师很慷慨，将那道菜的菜谱公布了出来，你觉得自己拿着这个菜谱能做出一样或者相近的菜吗？经验告诉我们，大概率是不可能的。为什么呢？因为菜谱是死的，做菜光靠食材和菜谱是不够的，很多时候需要的是厨师做菜时对火候的掌握，翻炒的技术，这是很难写在菜谱上的。因为火候还涉及做菜的工具，涉及厨师对油温的感知，等等。所以，哪怕你把菜谱或者食谱背得再熟，你要做好一道菜，或者复制出一道美味佳肴，还有很长的路要走。否则，我们大家都是美食大厨了。记住，考背诵和记忆是学不好数学的，因为出题的老师可以很轻松把一道题变出各种花样来，你背得完所有的可能性吗？

很可惜，大部分学生做不到“理解”数学，因此，这是“双减”后大部分学生首先需要改变的地方。

2、从“机械式”的刷题转向“质”与“量”的平衡。

长期以来，对数学这门课而言，大部分人的印象就是需要不断地刷题，题海战术是不得不经历的。学习数学，刷题是必须的，但刷题是要讲究方法的。什么是“机械式”刷题呢？

我见过不少孩子，在日常做题的过程中，以答案对为第一目标，只要答案对了，不管是用什么方法都无所谓。这是非常错误的学习方法，也是大部分孩子学数学很辛苦，但效果并不好的重要原因。在我们的学生时代，除了高中阶段相对数学知识比较多以外，其实小学和初中的知识点是不算多的，考点也很集中。无论是中考还是以前的小学和初中数学竞赛，都是如此。对我们大部分人而言，每一次做题，要搞懂为什么这样，为什么那样。而不是答案对了，就万事大吉了。刷题是要把每个知识点搞透，把自己不会的补上，查漏补缺。如果以答案对为第一目标，那是舍本逐末了。

还有很多同学，解题时，不论三七二十一，先套公式、套模型。对于基础题而言，这样的做法也许会让你解出题目，得到分数。但稍微有些变化的题目就无能为力了。有些同学做几何题，一看就说是某某模型，但然后呢？没有然后。因为你只是背了一个模型，你试图套用模型，但其实你并不理解模型，所以除了你觉得这道题像某某模型外，就没有其他任何的结果了。相反，我自己从来不背什么模型，但因为我理解几何的每一个定理的证明，所以这些模型在我看来多此一举。

如果大家有以上两点做题习惯，建议大家改变你们的习惯。刷题是必须的，但不见得要极大的数量，把做过的题都搞懂，把错的题都搞明白，你可以少做很多题，节省大量的时间和精力。做题是学习数学的必经之路，但这条路可以走得完全不一样。解题可以提高熟练度，但缺乏思考的解题永远都是“只见树木不见森林”。因此，如何在做题的过程中平衡好“质”与“量”，是我们需要思考的问题。

3、从对解题技巧的推崇转向以数学思维为重。

有一些同学，对解题技巧情有独钟，认为特别酷炫，以为多学点解题技巧就能解决数学难题。对解题而言，特殊的技巧当然是重要的，因为可以帮助学生快速解决某些问题，但很多孩子只是生搬硬套技巧，而不问为什么这么做。事实上，很多技巧都是有其背景知识的，有数学思维为依托，只是追寻技巧而忽略本身的数学思维是要不得的。而且，经验告诉我们，大部分的数学难题，无论是中考和高考，还是数学竞赛，用的大都是基础知识，而不是那些特殊性的解题技巧。因此，孩子们要从这些原有的学习习惯的禁锢中解脱出来，转为更加重要的数学思维学习。

第二部分：转变学习方法时，孩子们常会遇到哪些困难？

在“双减”以前，无论是学习差的，还是学习好的，或者是中等水平的，几乎无一例外地在外面上培训班。现在“双减”了，大家课后没得补习培训了，很多同学不知道该怎么学习，确切地说是不知道如何自学。就像你一直被喂饭吃，突然有一天爸爸妈妈不给你喂饭了，你不知道自己该怎么吃饭。

2、不知道如何举一反三。

大部分数学不好的同学，有一个通病，就是一道题就是一道题，看到的永远都是单棵树木，而不是整片树林，说白了就是缺乏举一反三、触类旁通的能力。以前，很多培训班会教大家套路、模型，会给大家总结很多的解题思路，现在这些都没有了，所以很多人会迷惘，不知道如何是好。

3、不知道如何寻找教辅材料。

在双减之前，无论是学校还是外面的培训班，总有很多老师会推荐一些教辅材料，双减之后，无论是家长还是孩子，对于教辅材料的寻找会出现一些困难。其实优质的教辅材料不少，但如何寻找适合自己的就是最大的困难。

4、在学生生涯的不同阶段，不知道转变学习方法。

我不知道各位家长朋友和小朋友们，你们有么有发现一个现象：明明自己在小学时数学成绩很好，但到了初中就出现了大滑坡；或者明明初中数学成绩很好，中考分数也很高，但到了高中却成绩退步很快。出现这种现象，主要的原因在于，很多孩子在初中或者高中时，依旧用着以前的学习方法。不同的学习阶段，由于所学的数学知识不断抽象化，学习的要求不断提高，因此学习的方法是要不断改变的，否则上了一个台阶后出现成绩下滑就是大概率事件。当然，有些孩子从小学就找到了正确的学习方法，这种现象就没有发生，反而越学越轻松。

第三部分：“双减”后，如何提高孩子的数学能力？

1、重视课本，重视基础。

我曾经遇到过很多家长和孩子，都告诉我学校课本太简单，没什么可学的。这是一个很大的误区。尽管我们现在的课本与以前相比删掉了不少内容，初中和高中的课本也不像以前那样分为代数、平面几何、解析几何、立体几何等专题，而是采用了所谓的“螺旋式上升”的编排模式。（这一点我是很反对的，因为破坏了知识的整体性，但我们目前个人是无法改变这一点的。）但无论怎样，教材永远都是基础，该讲清楚的问题，教材中大致上都交代清楚了。并不是像很多人说的那些，课本上没什么可学的。

以前，我遇到过一些学得很超前的孩子。超前到什么程度呢？小学六年级学到了高中二三年级。厉不厉害？真的很厉害。但我让他们证几个定理给我看看，都说不会。高中课本上的那些定理如何都不会证明，我们怎么能说自己学透了呢？还有很多同学，初中平面几何的那些定理背得滚瓜烂熟，张口就来，看上去也是学得很不错的样子。但一问他们平面几何中的那些定理如何证明，又不会了。很多人不知道，初中平面几何最重要的不是那些定理叫做什么，该如何用，而是平面几何是绝佳的演绎逻辑的训练手段。每一个平面几何的定理，其实都是一道非常好的证明题，很多同学放着面前的武功秘籍不看，反而做一堆的课外补习题，这叫舍本逐末。我不否认应试很重要，这是我们大部分人绕不开的槛。但通过解题，我们学到更加重要的知识，这才是我们的最终目的。我们知道，古希腊数学家欧几里得写了著名的《几何原本》，这本书曾经在西方世界里充当了两千年的教科书，但很多人不知道的是，比起欧几里德几何学中的几何知识而言，这本书所蕴含的方法论意义更重大。欧几里得本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。这本书曾经影响了伦理学家斯宾诺莎，也影响了众多的物理学家牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦等人。

另外，在历年的中考和高考题中，不止一次出现过改编自课本的考题，你们说课本重要不重要呢？把课本学透，构建起完整的知识架构，会对你们将来的学习有很大的帮助。

2、重视计算，重视阅读。

在我们周围，一直有一种声音：计算不等于数学。因为很多人发现，在国外，不少数学系的教授在上课时，涉及到某些计算，经常会拿出计算器。这个现象很有趣，也因此误导了很多人对待计算的态度。他们认为，反正计算不好都可以称为数学教授，我又何必花时间训练计算呢？假如你计算不好，你将来能否成为数学教授或者数学家，我不敢保证，但假如你计算不好，我敢说你将来中考和高考一定是会吃大亏的。在双减下，难题怪题一定会减少，那如何区分呢？总不至于人人都是150分吧。所以，难度上不去的情况下，计算一定是重要的。前两年，浙江高考数学，考完后哀嚎一片，都说太难。我亲自去做了那年的卷子（其实我年年都做），发现事实上根本不是难，而是有一道解析几何的大题计算量很大，导致很多人算不下去，以至于后面的大题没时间做了。

我们经常会听到一种声音：平时都是会的，多给点时间我也是做得出来的，但考试的时候时间太紧张，所以没算完。这个声音很普遍，我是从小听到大。为什么考试的时候算不完呢？说到底，还是你的计算能力弱导致的。不是说计算对你学数学有多么大的决定性作用，而是我们要考试升学，这是绕不开的一道槛。

既然有人说国外很多数学家的计算不行，那我这里也给大家举一个例子。瑞士数学家欧拉是人类历史上一位非常有影响力的数学家，我个人对其评价高于其他任何一位数学家，当然这只是我的个人评价，也许有人会不同意，但我们都不能否认欧拉的伟大。在欧拉的数学生涯中，他的视力一直在恶化，他于1766年被查出有白内障的几个星期后，导致了他的近乎完全失明。即便如此，病痛似乎并未影响到欧拉的学术生产力，这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力。在人生的最后7年里，欧拉的双目完全失明，在助手的帮助下，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作（他一生写有近80本著作）。因此，欧拉被誉为“独眼巨人”。

我们很多同学做不出数学题，很大一部分原因不是不懂数学，而是读不懂题目意思。一旦读懂题目意思，解题大都不是问题。现在的中考和高考，经常出现一堆文字材料，让你归纳总结，不少同学这方面就很弱。也有一些同学说，我读懂了题目意思，但我还是不知道怎么做。真的读懂了吗？未必！表面上看，你认识每一个字，每一句话。但不见得真的明白题目意思。真正意义上的读懂，除了字面上的意思外，还要会转化为数学语言，从而找到相应的解题思路。现在双减后，这方面的能力只会要求越来越高，所以也请大家重视。那么，具体如何做呢？

一方面，我们可以把纯汉字的题目转为数学语言，有很多的平面几何题都是可以用纯文字表示的，所以如何转为数学语言就是一门学问。另一方面，我们可以多做一些具有历史背景知识的数学题，通过阅读理解，不仅学到了数学，而且还学到了历史知识和传统文化知识。

3、拒绝“机械式”的刷题。

这里谈谈应该如何刷题。

第一，对于做不出的题目，要敢于花时间钻研。一道花了几个小时才搞定的题，价值远胜于你一小时刷几十道轻松解决的问题。也许你花了几个小时还没做出来，但你经过长时间思考后再去看答案，比你没经过深入思考直接看答案会学到更多。

第二，做完一道题后，尝试着改变条件，你还能否解出来。这个改变条件不仅包括改变数字，也包括改变可能出现的情况，还包括从具体数字改为代数字母。这样的做法长期坚持，你的解题能力会突飞猛进。

第三，经典的例题和考题要反复做，做个三遍以上，同时尝试用不同的方法去解同一道题。做题得到答案不是第一目的，如何得到准确的思路，更好的思路，甚至多角度看同一个问题，才是做题最重要的。至于答案，永远是正确思路和解题过程水到渠成的结果。

第四，多总结题目的考点，尤其是历年真题的考点，你会对重要的考试有一个更加全面的认识。

4、多尝试给别人说题。

经常有孩子说：我知道这道题怎么做，但我说不清楚。或者还有人说：我上课都能听懂，但就是做相应的练习题不知道怎么做。类似的说法还有不少。很遗憾，我想告诉大家的是，其实你们不懂，而不是你们所说的“我知道”或者“我懂”。很多人上课时，看上去听懂了老师的解题思路和解题过程，事实上是很被动的接受，因为你不知道老师为什么要这么思考问题，为什么从这个地方去突破，为什么要如此解……等等。事实上，很少有同学会问这些问题，大部分人都只是在被动接受或者被动灌输知识。因此，当你尝试着去讲给别人听的时候，你会发现自己是真的懂还是一知半解。这会迫使你重新思考这个问题，从而真正搞懂一道题或者一个知识点。其实写作也有类似的功效，你在写的时候，会梳理自己的思路，你要让别人看得懂你想表达的东西，这个时候，你会真正深入思考问题，从而学透相关的知识。

5、适当挑战难题，提高自我上限。

平时做题，如果你觉得比较轻松，这个时候，你要尝试做一些稍微难一点的题目，挑战一下自己的能力，这样会不断提高你的能力上限。这里推荐大家做一下竞赛题里的基础题和中等难度的题，适合大部分程度比较好的孩子，不建议大部分孩子去挑战竞赛题中特别难的，也不建议大家做那些很偏很怪的题目。你可以不用去参加竞赛，但做一些自己能力范围的题，从而提高自己的解题能力，是应该尝试的。

6、学数学要重视演绎逻辑和推理能力。

前面说到平面几何时，我讲过欧几里得本人很重视他的《几何原本》中的逻辑严密性和系统性。这也是为什么我一直建议每一个初中生，要把初中平面几何所涉及的定理都要学会证明。不仅是平面几何，其他的数学定理也是如此。我们学数学，不仅要知其然，更要知其所以然。大家要记住，考试只是一个手段，而最终的目的是要掌握知识背后的逻辑，从而提高自己的数学思维和解决问题的能力。因此，我们平时学数学，要多问为什么，不要放过任何一个疑问。现在互联网很发达，人类所知的大部分知识，在互联网上都能找到答案。

7、多读数学及相关的科普读物。

我们除了平时做作业和考试外，应该多读一些科普作品。这里我比较推荐人民邮电出版社图灵新知品牌所推出的科普作品，总体而言，作品比较优秀。当然，国内有很多其他的出版社也有不少优秀的作品推出。多读科普作品，不敢说会对你们的考试有多大的帮助，但一定会扩大你们的视野，从而提高你们的阅读品味。人生毕竟不只有考试，还有诗和远方。

8、重视历年真题，科学训练应试能力。

我看到很多同学会买很多的模拟题，但我更加推荐那些面临中考和高考的同学们多做历年真题，通常是近十年的真题。因为从命题的科学性而言，真题是远胜于那些模拟题的。通过历年真题，你可以知道考试的重点、要点、难点都是什么，从而可以查漏补缺。

另外，临近考试的时候，建议大家掐表练速度，这可以让你相对合理地分配考试时间，而不是盲目应试。