在我们平凡无奇的学生时代,是不是经常追着老师要知识点?知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。那么,都有哪些知识点呢?以下是小编为大家收集的数学必修一知识点,欢迎阅读与收藏。
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
(一)指数与指数幂的运算
1、根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数。此时,的次方根用符号表示。式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand)。
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数。此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号―表示。正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)。由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,当是偶数时,
正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
3、实数指数幂的运算性质
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R。
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1。
2、指数函数的图象和性质
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性,
(2) 元素的互异性,
(3) 元素的无序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系―子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
常用变换方法有三种
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(3)区间的数轴表示.
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f:A→B
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
1.函数的单调性(局部性质)
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=―f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2 利用图象求函数的最大(小)值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N_
.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);
2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)
注意:①?A,若A≠?,则?A;
③若且,则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。
4.有关子集的几个等价关系
5.交、并集运算的性质
6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
对于集合P:{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
=∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,
=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合,,则(B)
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
分析:确定集合A_子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A_={x|x∈A且xB},∴A_={1,7},有两个元素,故A_的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.
分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
①当时,ax-1=0无解,∴a=0②
综①②得:所求集合为{-1,0,}
【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若,在内有有解
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
一、选择题(每题4分,共40分)
1、下列四组对象,能构成集合的是
A某班所有高个子的学生B的艺术家
C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2、集合{a,b,c}的真子集共有个
3、若{1,2}A{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A的个数是
5、方程组的解集是
6、以下六个关系式:,,,,,是空集中,错误的个数是
A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集
C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
9、满足条件M=的集合M的个数是
10、集合,,,且,则有
CD不属于P、Q、R中的任意一个
二、填空题(每题3分,共18分)
11、若,,用列举法表示B
13、设全集U=,A=,CA=,则=,=。
15、已知集合A={x|},若A∩R=,则实数m的取值范围是
16、50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人.
三、解答题(每题10分,共40分)
18、已知二次函数=,A=,试求的解析式
19、已知集合,B=,若,且求实数a,b的值。
20、设,集合,,且A=B,求实数x,y的值。
数学必修一第一章学习方法
掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学习数学知识,不要忘记前面的学习。
数学必修一第一章学习技巧
重视改错错不重犯。
一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。”
高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药 。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。
有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学习开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练习。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练习的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。
“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和这个意思是一样的,只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集,其中每一个对象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同学就构成了一个集合,每一个同学就称为这个集合的元素。
通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素,如集合A={a,b,c}。a、b、c就是集合A中的元素,记作a∈A,相反,d不属于集合A,记作d?A。
有一些特殊的集合需要记忆:
非负整数集(即自然数集)N正整数集N_或N+
整数集Z有理数集Q实数集R
集合的表示方法:列举法与描述法。
①列举法:{a,b,c……}
③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
3、集合的三个特性
指集合中的元素排列没有顺序,如集合A={1,2},集合B={2,1},则集合A=B。
注意:该题有两组解。
指集合中的元素不能重复,A={2,2}只能表示为{2}
集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确,不允许有模棱两可、含混不清的情况。
1. 函数的奇偶性
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可用于求参数);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2. 复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:若已知 的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2
我从来不会把学生的成绩差归因于学生的智商和天资。
大家其实都是普通人, 智商其实相差不太多,人的共性远远大于个性.
如果把孩子成绩差归因于学生笨, 那成绩差这个问题基本是无解的。
从今天开始不要说自己的孩子笨 !我先从美国的一个心理学实验开始:
A,B两个小孩本来对数学的天赋差不多,但老师和家长经常表扬B,B的自尊心起来了并自认为自己是有天分的,他就会花很多时间在数学上,且经受挫折也不愿放弃,因为自尊心有了。
而A没有得到表扬,觉得自己一般,也不会投入大量精力,遇到问题也更容易放弃,毕竟归因于“我没有天分”是最省力的。1,2年后他们对于数学的“天分”就会出现真正的巨大的差别。
即使智商最开始差不多,A类小孩最容易欺骗自己,找借口,而B类更容易从自身出发,寻求解决方案。
因此我希望父母无论如何都不要说自己孩子笨,鼓励为主!
从我在几年来通过对学生的观察发现: 所谓非常努力但成绩差的同学在学习过程中容易出现以下问题, 如果找对了问题的根源, 解决问题才能有的放矢。正确归因也是解决问题之道;
我当年学数学的时候,没有这个毛病。
但随着我接触的孩子越来越多,我发现很多孩子很努力,但是根本不会学习,尤其是不会仔细体会和品味这些理科的概念。
他们很努力,拼命刷题,但仍然对这些概念一知半解。甚至还有同学质疑,说“不用掌握概念我也可以做题”。
是的,你的确可以做一部分题,但题目一变,你就完蛋。来看看下面例子:
很多同学这题做不出来。请看一下我的思路,再揣摩一下基础在解题过程中的重要性:
首先,解决数学问题,我们不喜欢中文,要“翻译”为数学语言,例如画张图(几何语言)
因此这道题的第一问一点都不难,如果你对于椭圆的定义不熟悉,你即使会数学思维“翻译”,知道要把中文翻译为数学语言,你也无从下手!
如果说数学思维就像是成为米其林三星大厨需要具备的手艺的话,那么基础知识就是备菜。
巧妇难为无米之炊,如果你的米没有洗好,肉没有切好,锅没有洗干净,你的技艺再高超,也不可能做好一道菜。
那基础概念应该如何学习呢?
其实数学也好,科学(物理,化学等)也罢和诗歌是非常相似的,都是在试图用最精炼的语言表达:数学/科学是刻画我们所处的外在环境-大自然的万千现象,诗歌是刻画我们的内心复杂的感情。
因此基础概念的描述没有一个字是多余的。一定要精读,一个词一个词的理解,不要像小说一样的去泛读。
例如,我们刚刚讲了什么叫做椭圆,那你别急着看下文,思考一下什么叫做双曲线?
很多人的回答是:“到两定点的距离之差等于定长的点的集合”,很遗憾这是错的。
正确的答案是:“到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的集合(两定点线段长>这个绝对值>0)”,没有了“绝对值”三个字,得出来的是双曲线的一个分支。
如果我是高考命题人,我可以轻松出一道题目,就考这个基本概念,我估计又会“死掉”一大片。
学习物理又何尝不是如此?例如什么叫摩擦力?
同学们要学会精读,并且理解这些定义和概念。你们高中课本的定义是这样写的:
阻碍物体相对运动(或相对运动趋势)的力叫做摩擦力。
我们来一点一点的理解:
一个力是向量,因此你必须说清楚其大小和方向
首先是方向,摩擦力既然是”阻碍”,因此其方向是和相对运动方向相反的,也就是说和速度(以接触的物体作为参照物)方向相反!那么什么叫做相对运动趋势?即,假如没有摩擦力,这个物体会如何动(以接触的物体作为参照物)?摩擦力的方向就和这个运动方向相反。
例如一个往前移动的传送带上的物体(物体跟着传送带运动),为什么摩擦力方向是向前的?
这里就要求你对“相对运动趋势”理解深刻。如果没有摩擦力(绝对光滑),传送带上的物体将保持静止。那么相对于传送带(以传送带作为参照物),其运动方向是向后的,这就是相对运动方向。因此摩擦力应该和这个方向相反。
那么大小呢?分为静摩擦和动摩擦两种,静摩擦用受力平衡来确定,而动摩擦力的大小= \mu N
这样不就十分清楚了?以后遇到任何关于摩擦力的问题,你都可以轻松的利用上面的定义“翻译”为物理中力的语言(物理模型),而后翻译为数学语言,解之,即可。
用自己的话,把这个概念或者定理复述一遍。然后利用微信录音,QQ录音等录下来,之后对比你讲的和教科书上的内容。
如果一致,那么就说明你懂了,如果不一致,或者说不清楚,说不出来,那么不好意思,你这个概念掌握得比较差。
我非常相信王阳明先生的“知行合一”四个字,知而不行就是未知。
在你运用这些概念之前,最起码的“行”就是能够说得出来,连说都说不出来,谈什么知呢?
这也是用来自我检验基础概念的极佳方法。
例如你自己问自己,高中阶段证明线面垂直至少可以有5个不同的定理,你能很快把他们说出来吗?如果不能,你就知道你的立体几何的基础不够扎实。
考试,无论你喜欢还是不喜欢,最大的特点就是有时间限制。
因此,一个能拿高分的人一定是简单的题目做得又快又对,这样他/她才有时间思考难题。
因此,平常练习就应该掐着时间做。例如选择填空题就尽量不要超5分钟。
如果超过了,就把它当做是错题 – 深入探寻: 还有更加简单的方法吗 (例如特殊化)?
我需要记忆什么快速解答的公式吗?
另外这样练习也让你十分熟悉考试的压力和紧张感。真正考试的时候就不容易发挥失常。
我先定义以下什么是错题:
1. 做错的题(包括3种:粗心,概念不清,以及逻辑问题,这三者一定要严格区分开来)
3. 做得慢,没有在规定时间做完的题
很多同学遇到错题,就扫一遍答案,看懂了,然后?然后就没有然后了。
这样的学习,恕我直言,是在浪费题目和时间!
这样日积月累,你表面上很努力,不过只是在重复做无用功罢了。
记住:错误是一个人最大的学习之源!
我的一生最重要的原则,方法都是从错误(自己的+别人的)中学来的。
那么如何从错误中学习呢?我总结了以下反馈环
遇到错误,首先的就是要找原因。
例如,我的答案错了,是为什么?粗心,概念不清,还是逻辑不清?
这不是粗心,而是逻辑不清。你没有意识到你的变换不是充要变换,因为你舍去了一个限制条件( x\neq1 ),因此会出现增根。
扩而广之,你要知道,天下间所有的题目只有两类,判断题(包括证明题)和求解题。而求解题是求满足某个条件的某未知数的取值范围。
必须是这个条件的充要变化才无增根,无失根,是完美的解。如果你转化为其必要条件,例如上面的变化,那就记得要检验。
这样,你对这个错误才真正学到东西了!
那么做不出来,做得慢呢?
记住,看懂答案为什么是对的远远不够,关键是你要弄清楚下一次你要如何想,才能把这道题又快又对地做出来 – 即解题思维是什么。
上面是我总结我在教学过程发现学生存在的问题及对应的解决方法, 即使我给了解决方案, 我发现还不够, 因为我统计了学生们对解决方案的执行情况,统计数据让人咋舌:
80%以上的同学没有付诸实践,依旧按照原来的错误模式继续。
中国的儒家非常强调诚实。诚实的第一条是不要骗自己。
这个观点,在RayDalio(世界最大对冲基金“桥水公司”创始人)先生的Principle(中文翻译为:原则)一书中记为“acceptance of reality(接受现实)”。
现实中,很多的人非常习惯于欺骗自己。现实往往是残酷的,他们选择的不是直面残酷的现实,而是逃避。
真的掐着时间做,这些孩子发现他们的正确率和做得出来的题目比率大幅下降。这一点让他们恐惧。于是他们虽然看过了我的文章,但仍然选择继续原来的模式:逃避。
我是“知行合一”的推崇者,请切记:判断你是否自欺欺人的标准不是你嘴上说什么,而是你实际做了什么。
首先不是只有那些说话狂妄的人才有高傲的毛病,很多看起来十分谦逊,甚至唯唯诺诺的人也同样犯这高傲的错误。
我先从我的一个亲身经历开始吧:
9年前我加入香港汇丰,成为一名股票衍生品交易员。我们这一期总共有十多个人,多数是销售,总共只有2名交易员。
要知道,投行可以说是收入最高的行业之一,进来的人都十分优秀,意气风发。
然而我比较谨慎,反复研究了交易员这个工作。事实上,这个工作虽然好玩(每天没有重复,因为金融市场天天变化),但要做好非常的不容易。50%的交易员在入职3年内会被开除!
因此我一点也不敢轻敌,入职初期,就做到“潜龙勿用”,每天竭尽全力地学习,提高自己。
然而我的那一位交易员同事,却听从人力资源的建议,到处与人social(社交),而不好好学习,做好准备。
我想强调的是,我的这位同事是一位非常好相处的人,向来彬彬有礼,说话也非常谦逊。
是的,我的这位同事犯的错误就是高傲(arrogance):
高傲的其中一种情况就是:不去了解你要应对的事物,低估了环境的恶劣程度。
如果说交易员这项工作的难度是100的话,我的同事轻敌了,他没有去真正了解他要应对的事物,即使有,也认为难度只有50,因此他得到了教训。
除了逃避现实外,还有一个部分学生不去掐着时间做题,从错误中学习就是高傲所致:
高考的难度只有在你掐着时间做题时候才真正体现出来,你平时能在4个小时把高考数学做到150分,但这有用吗?
不掐着时间做题,从一定程度上来说就是高傲 – 对“环境恶劣程度”的轻视。
天下古今之庸人,皆以一惰字致败;天下古今之才人,皆以一傲字致败。
我至今仍然用这句话警醒自己,但我惊奇的发现有很多孩子甚至拥有最糟糕的组合:能力差+高傲
看看下列对话,绝对不是个例:
某些孩子: “老师,你说的东西不适合我。”
我: “正确的学习方式是基于逻辑的。我不认同所谓‘适合你’的学习方法。我之前 教你的方法尝试了吗?”
某些孩子: “……没有。”
我: “那你怎么知道不适合你?”
或者是这个版本的变形:
我: “我之前教你的方法尝试了吗?”
某些孩子: “尝试了。但我认为不适合我。”
我: “哦,你现在成绩在及格边缘,肯定有很多题目做错或者做不出来。这个星期你掐着时间做,记录了多少错题了?”
某些孩子: “……没记”
我: “你真的掐着时间做了吗?”
某些孩子: “做了,试了几题,觉得没用,就没继续了。”
我: “好的,我发一个讲解数学三招中第二招特殊化的视频给你。我的视频是教你如何思考的,因此看之前你先做做,这样你才能体会。”
某些孩子: “我看完了。觉得没什么用。”
我: “我的视频20分钟,你5分钟就看完了?然后你就得出结论了?你平常看教科书也是这样看的?看视频之前你做了题目吗?”
我专门抽出1个月的时间,在闲暇之余一一回答这些孩子的咨询,但是其中有一部分我发现他们的基本思维方式是错的:
他们自大,对毫不了解的事物盲目下结论,有的甚至还固执。
我当然不会和这些孩子计较,但是和他们的对话让我忧心忡忡。
因此我写下了这篇文章,并在我的课程中录制了更多的故事,希望能引导这一部分孩子。
无论如何,我至少把我作为老师能做的做到位吧。
我也会在后面针对家长写一些话,希望对那些孩子还小的家长能有所助益。
学习从来就不是一件时时刻刻让人愉悦的事情。有的人说这是“逆人性”,我虽然不赞同这个名称,但也觉得这是一个十分有趣的说法。
随着我见到类似的现象越来越多,我开始理解那些“秒杀”,“模板”即使误人子弟,却仍旧“经久不衰”的原因了:
他们不能辨别这种方式在逻辑上叫做“cherry picking(摘樱桃)”。
有些“老师”摘取1%题目,编出一种能够在数秒内解决他们的方法,看上去十分精彩。
但这个样本是有偏的,剩下的99%的题目用这些“模板”“秒杀”要么做不出来,要么是错误的。
今天的高考越来越灵活,这样的学法是学不好数学的,更不用说学生失去了思考问题的能力,只会死劲硬背,贻害终身。
我这一辈子从来没有见过这样的好事。
如果有这样的机会,那机会窗口也一定很短暂,因为竞争一定会非常激烈,于是乎这样的机会就会消失殆尽。(no arbitrage opportunity, 这是金融衍生品定价的基本原理)
这个套路在社会上早已屡见不鲜了,各种庞氏骗局,传销,包治百病的保健品不都是这个心理吗?
反而那些真正帮助学生提高基础,学习解决问题的思维的东西反而更难以让人接受。
尽管如此,我还是把这句话说清楚:天助自助者,你自己都不愿努力,没有人帮得了你。
这是十分糟糕的习惯。关于错误我有一个重要的原则:
同样的大错误犯两次是愚蠢的,3次是非常愚蠢的,4次是故意的。
我原来在投行,以及我自己的公司,这样的人我是直接开除的,因为没有学习能力。
这就要求一旦出现问题,一个人首先应该立诚 – 直面它,然后找出真正的原因。
至少对于学习而言,最重要的因素是你自己!
很遗憾,很多孩子养成了不良的习惯,一旦出现了问题,就胡乱归因,常见的有:
1)我的天分不好(父母的错,记住:永远不要归因到天分,这是无解的。大家都是两个眼睛,一个鼻子,一张嘴,人的共性远远大于个性!);
2)老师不好(老师的错,学校的错,对这一部分学生我特别想问:那我现在把课程/学习方法提供给你了,为何你还是不好好学?即使是自学也该学好了吧?);
3)没有时间(既然你的学校教育没能帮你提高,你为何不请假自学?好,你没这个胆量。那为何不辛苦些,少睡点?为何不利用好假期?)
错误都是别人的,自己一点问题都没有,难怪这些孩子翻来覆去犯同样的错误,跌入同一个坑中。
我接触到的有一部分家长是“外圆内圆”。
他们甚至会帮着自己的孩子找借口,例如高傲,他会说:“我的孩子很有个性”。这是个性吗?
孩子在同样的错误上反复犯,他们也不去纠正,好像害怕得罪孩子一般。
这类家长往往在该管的原则上的事情不管,不该管的鸡毛蒜皮的事情,例如一个星期用多少小时的手机/电脑却盯得十分紧,本末倒置,令人唏嘘。
出现原则性的问题,我的建议是火炉法则:
事先告知,不能触碰,碰则要有后果,不是说说就算的。企业管理如此,家长教育孩子也类似。