高中数学题目与解题过程高中求解答

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-20 14:37 标签： 高中数学题目与解题过程

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高中数学中，有一个很重要的解题思想——以退为进。

华罗庚指出：“善于‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。”


“抽象”是透过事物现象，深入内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。

“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来，从而更具体的理解概念的一种认识方法，抽象与具体是对立的统一。

高度的抽象是数学的一个基本特点，有时问题较抽象，不易发现其内在的联系和规律。因而要从“抽象”后退到“具体”的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。

已知x，y是实数，求证：

要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。因此不妨退到所表示的几何图形上考察。（如图1）


由，当且仅当A点落在线段OB上时取等号。

对于，确定的所有可能值。

仔细观察上述代数式的结构，容易联想起两点的距离之差。事实上，

这表示x轴上的点P（a，0）到两定点A（）和B（）的距离之差（如图2）。


由于线段AB平行于y轴，不论P（a，0）在x轴什么位置，始终可构成△PAB，由“三角形任意两边之差小于第三边”，得。

即的值在（－1，1）内。

所谓“一般”是指人们追求普遍性认识的一种方式。而“特殊”是指人们深入个别认识的一种方式。

当解决一般问题，直接找出结论规律或方法受阻时，往往考虑由某种特殊的或有限的情形，归纳推导到一般情形。即以一般向“特殊”后退的思想方法去探求规律和寻找解题方法。

已知，其中是满足的常数，试问α，β为何值时，与θ无关。

根据题设条件可知，对于所有不同的θ， 恒为定值。为了探求α，β的值，所以我们考虑θ的几个特殊值，θ=0，－α，－β， ，使 的表达式变得较为简单。


从而。所以，经检验，即为所求。

对元素较多，呈现的情况较复杂的问题，我们可以先从元素较少的简单情况进行研究，然后以此为起点去解答较多元素的问题，它常能起到“退一步，进两步”的作用。

由于变元较多，难于下手，先退为二元考虑。

有些数学问题，如果从整体上不便解决，可先研究其局部，如果局部问题得以解决，常常能促使问题整体得以解决。

在锐角三角形ABC中，求证：。

因为为锐角三角形，所以A∈（0，），所以B+C∈（，π），，且B，－C∈（0，）。

又因为在（0，）为增函数，所以，即。同理。

此函数的定义域为R，要直接判断在R上的单调性有一定的难度，注意到为奇函数，它在和上的单调性相同，这就把判断在R上的单调性问题转化为判断在上的单调性问题。

所以在上单调递增，由奇函数的性质知在R上单调递增。

该题的特点是右边是积的形式，左边是和的形式且次数偏高。故对左边进行降次，用何种方法把高次降下来，容易看出采用因式分解为宜。


斜三棱柱的一个侧面的面积等于S，这个侧面与它所对的棱的距离等于a，求证：这个棱柱的体积等于。


类比联想平面几何中借助于四边形的面积推求三角面积的过程中，曾运用补形法。这里，把斜三棱柱补成平行六面体，且把它看成以为底面的四棱柱，它的高恰为a，故有

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2016年《中小学数学》(高中版)第1-2期目录

（本期样刊2月29日寄出）

数学模型——天球坐标系的建立和应用——从欧氏几何角度研究球面几何
是原地踏步，还是合理延伸——一节导数习题课的教学及反思
2015年高考北京卷文科数学导数试题的剖析与思考
提高学生运算能力的几条途径
关于三次曲线切线问题的研究
从概念出发分析概率问题的解答错误
知识能力并举，思想方法随行——以学生为主体的高三复习课方略
三角变换的“思维反应块”清单①——读傅学顺《中学数学思维方法》有感
巧用“错误” 抓住契机
凸显数学文化，彰显数学本质————椭圆及其标准方程教学的实践与思考
高中数学教师适应“学讲方式”的现状调查与建议
问卷调查  自主订正  交流共享 ——压轴填空题讲评的高效模式
一道新编题的多种求解思路
类比探究  给思维插上飞翔的翅膀
优化教学，提高一轮复习课的有效性
关注起点 着力思维 适度拓展——“数列的概念及简单表示”一轮复习课引发的思考
有限集还是无限集——兼谈字母参数的表述理解
对“不等式恒成立问题”一种解法的剖析
浅谈有效克服高中生数学思维障碍的方法和策略
基于“学生先行 交流呈现 教师断后”教学模式的教学实践尝试——记一节平面向量习题课
高三数学复习，请让学生真正学起来
HPM视角下的函数概念学习单设计
理不辩不清，道不辩不明——对人教A版函数定义“集合B”的争辩
论数学解题反思的基本教育价值
利用三角形面积的坐标公式巧解高考题
基于问题解决能力提升的习题课教学----波利亚解题理论教学实践及反思
伸缩变换下椭圆问题的“圆化”
关于探究和证明余弦定理的教学设想
用换元法使三角函数的学习“活”起来
不同的试题背景  相同的研究方法—— 一道以三角函数为背景的导数试题的教学运用
被人忽视的空间向量基底法
 “套课”教学模式下的“AB1B2”课——有关直线的一题多解与一题多变
一道高三模考试题错解的根源探析与对策研究
按通法寻思路  巧变式出新解——2015年全国高考数学(陕西卷，理科)第21题初考
让数学课堂充满真实的探究与交流——“圆的一般式方程”教学实录
三角函数在实际应用问题中的探究性教学设计

2016年《中小学数学》(高中版)第3期目录

（本期样刊4月18日寄出）

多一份反思  少一些偏颇

只有教得合理，才能学得明白

曲径通幽——“充分条件与必要条件”概念课的设计与反思

抛物线切弦的比例性质探究
“四种命题”教学实录与感悟
引导解题反思 优化思维品质
从突破教学难点中培养学生的思维能力——对一堂三角建模课一道难题的分析与思考
数学解题的视角切换与创新思维
高中数学单元教学目标设计策略--以《平面解析几何初步》单元为例
数学教学中对“错误”的处理策略
例谈高考试题取材于教材的意义、途径
注重数学思想的渗透，追求数学课堂的和谐－人教Ａ版“直线的点斜式方程”课例与说明
培养学生高层次数学思维的思考和教学实践
高中数学入门课教学的思考
对课堂教学“回归教材”的认识与实践——以选修1-1第三章“导数及其应用”为例
逐次逼近的前进型分析——在“导”字上大做文章的分析
必修3第二章《统计》的教学认识与处理
让学生有效思考是课堂教学的核心

2016年《中小学数学》(高中版)第4期目录

（本期样刊5月18日寄出）

高考二轮复习应该关注些什么 

精雕细琢 成就生本课堂——对两角和与差的正切（第一课时）教学设计的思考
平面向量“思维反应块”清单——傅学顺中学数学思想方法研究之“思维反应块理论”
让学生动起来  让课堂活起来——关于高三数学复习课中有效教学的几点思考 
解析几何中一类动态问题运算链的比较
平面解析几何研究的是几何问题
数学教学要重视教材例习题功能的挖掘
类比“解惑”，凸显“自然”——再谈“弧度制”教学
谈高考第二轮复习中“微专题”复习的几个抓手
深化教材习题教学的两个视角
 基于设而不求的导函数零点构设
极点与极线背景下高考圆锥曲线试题研究
 学函数，用图象
数学课堂：要得到已知，更要启迪未知
逐次逼近的前进型分析（续一）——暂降条件的波利亚、拉格朗日模式
挖掘几何特征对解决解析几何问题的重要性
抽象函数关系式的性质探求
奇思妙想速解几类典型的导数压轴题
由平面向量基本定理能得到“简证”吗
浅谈合情推理在数列教与学中的运用

2016年《中小学数学》(高中版)第5期目录

（本期样刊预计6月18日寄出）

“不同主体平均效率计算的法则”及其应用
一堂课，一道题，一个“老师”，一场变革
透析本质、返璞归真 一道高三模拟题的解答

 构建“四有”高三数学复习课的实践与反思——以“等差数列”复习课为例

为什么会有两种不同的答案
对直线参数方程的认识及应用举例
领悟教材意图  提升教学品位——以数学归纳法为例

数学试题可以融一点文化味道——对比分析两道取材著名算法的高考试题及思考

双向动态生成教学模式中数学文化价值的渗透——以微积分教学为例

让学生有序建构知识  自然丰富经验——一堂探究性课例引发的教学思考
浅谈“等比数列的前n项和”的教学

公式教学“微探究”：从机械记忆走向理解建构——以“弧长及扇形的面积（1）”课堂教学为例

谈高三数学“微专题”设计的有效途径与思考
一种值得探讨的“设错”教学方法
基于教材心理化的数学课堂教学探讨  

形成性评价的螺旋模式：内涵、脉路及特征——以奇偶函数教学为例

让“问题”引领思维，在“探究”中生成

——以“导数在研究函数中的应用”的教学为例

逐次逼近前进型分析（续二）
发生教学法视角下的“等比数列求和公式推导”的教学设计

2016年《中小学数学》(高中版)第6期目录

（本期样刊预计7月18日寄出）

高考数学第二轮复习应该做的两件事
关注学科间的联系，突出数学的应用价值——例谈《生活中的优化问题举例》之光的折射
对解题过程中的思维定势和思维创新的认识
基于样例标准型的数学教学研究
高立意低实效之追因———以一节高三一轮复习课“圆锥曲线中的定性证明”为例
整体把握教材，问题引领探究──“正切函数图象与性质”的教学与思考
“高三函数复习收尾”课的教学实践与思考
创造性使用教材的实践与探索——数学教学设计的视角
高考中隐性的方程有解问题
启迪思维，得发现之钥---对一类含绝对值的函数的最值的求法的教学与思考
提高学生空间想象力的几点做法
“点到直线的距离公式”的教学分析与教学建议
高中课标教材函数模型及其应用部分的修订思考
也谈高中数学课堂结尾的教学*
笛卡尔多轨模式及其列方程绝招
引导下设疑 设疑中追问—一次习题课的教学经历与反思

2016年《中小学数学》(高中版)第7-8期目录

（本期样刊预计8月25日寄出）

向量教学中培养数学运算素养
高中微积分教学与学生思维品质的培养 
对解析几何二轮复习策略的实践和思考
关于随机事件独立性概念的辨析
融入计算思维的中小学数学教学理念初探
对应”思想下，探求2016中科大自主招生“元素和”问题
自然似乎很“近” 又似乎很“远”——2016年高考函数题的思考 
高三数学复习的现实背景和学生立场
让学生真正“动”起来—“学生变式”的实践与思考
寻找几何条件的“真相”
创设有效情境意义建构结论
大跨度的“一题多解”亦可成为训练“见微知著联想”能力的有效途径
“穷”则思“变”，转“知”成“能” 
2015年高考数学文化试题赏析及教学思考
“幂函数”教学实录与点评 

——“正弦定理”竞赛课的听后反思

珍惜问题资源，把握质疑契机
PISA数学测试对高考数学命题影响之我见
指导数学中等生顺利解题的有效策略
怎样引导学生开展创新思维活动——以近年来高考创新试题为例谈学生创新能力的培养
参加高考数学网上评卷心得体会

题归类揭示通性通法 慢教学感悟思想光芒

—一道“模考”压轴题的解题教学与启示 

利用向量解2016年高考立体几何题 
三角形不等式：一个与浙江高考有关的传奇
让椭圆“圆”起来——坐标代换，变椭圆为圆
对两道2016年浙江文理科填空题的探究 

追问驱动探究 互动彰显魅力

佳题共欣赏 解法相与析

—一道向量试题的解与思

于“理解”观点下的数学概念教学

——以“充要条件”一课为例

笛卡儿模式面面观（之一）
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
也谈含绝对值函数的最值问题

“思维导图+演绎思维”模式下的教学设计

--以高一函数单元的期末复习为例

“直线的点斜式方程”教学实录与点评
 让思维更加自由、合理和充满理性
 对高考中绝对值和型函数最值的研究

2016年《中小学数学》(高中版)第9期目录

（本期样刊10月19日寄出）

对“平面与平面平行的判断”教学设计的几点思考 
设计恰当的探究问题，促进有效的概念生成
文似看山不喜平，课因“意外”更精彩
例说注重思想方法的解题教学
高三数学复习教学目标的SMART原则应用
揭开“冷漠”面纱，还她“亲和”面目 
数学概念教学设计的实践创新
寻求促进能力生成的向量复习课
对“异面直线所成角”教学的新诠释
高中课堂也需要“数学游戏”
基于“发明”观点下数学概念教学 
实践“五化作业”  提升学生素养
上好高三数学的感悟、策略与建议
用好课本  致力培养数学应用意识和能力
立足基础考本质　殊途同归显能力 
追寻对数发展史 引领课堂自然生成 
让学生看得见解题的思维过程 

2016年《中小学数学》(高中版)第10期目录

（本期样刊11月11日寄出）

着眼于三个背景的三角函数概念教学
极值点偏移问题的求解策略与探究
一类数列求和问题的探究性学习报告
从“数”和“形”两角度探究知识本质
落实试卷讲评五环节  让学生的思维自由地徜徉
问题巧设，引领思维   文化渗透，汲取力量
绿色的解题策略：回归原点
一个试题不同解法中的化归
新课程标准下数学作业的主要功能与设计原则研
为学生创设有意义的学习经历
MPCK视角下的阿波罗尼斯圆及应用
如何在数学概念课教学中培养学生“思维连贯性”
要警惕物理背景的负迁移
一类面积差为定值的问题探究
作为数学教育研究数据处理的相关系数
对一道课本典型例题的深入研究
导数问题中运用零点存在定理的赋值策略探究
扩展问题视角  提升解题智慧

2016年《中小学数学》(高中版)第11期目录

（本期样刊12月14日寄出）

数学的方式与数学核心素养

将核心素养的培养植根于课堂教学的每个环节

为学生“提出问题”而设计

打造生机盎然的活力课堂

高中数学“平面向量”复习要点及典例剖析

操作中理性思辨 重构中素养提升

 代数问题的几何化思想及应用

解题教学因思维链条拉长而精彩

问题驱动探究  思想引领思维

 “基本不等式”教学札记
 例谈试题的几种编制方法
 高考函数问题中的作图、识图和用图
 基于元认知视角下的习题教学及其思考

基于“学习的条件和教学论”的

 题中有路探为径

 高中数学课题引入应重视的五种关系

2016年《中小学数学》(高中版)第12期目录

（注：本期样刊将于2017年2月10日寄出，请注意查收）

通过特殊值引路，寻找解题线索
“一题多解”是为了更好地体现“联系” 

   ——“函数的零点（复习课）”课堂实录及评析

例谈课本例题的解读角度
关于高中数学新旧教材“集合概念”编写方式的比较分析
在课堂教学中如何进行有效设问
嵌套函数零点问题的求解策略与探究

找准切入口  解法自然生

“当堂训练”需要教师的“主导”
透过“影响”表象  厘清“独立”本质
数学解题教学设计的创新实践

对“或”、“且”、“非”联结简单命题的研究

  ——从对一个错误的解答研究谈起

两道高考压轴题的命题猜想 

培养问题意识 发展创新思维

“三问题”引领学生数学自主学习 
一道试题引发的教学反思
“创造”问题,培养创造性思维 

高中数学课标修订对现行教学及高考备考的影响

  ——数学核心素养视角

解逻辑题应体现的几种意识

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