证明一下下三角行列式式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-29 18:37 标签： 下三角行列式
求数学帝解此题：设A、B都为n阶矩阵,证明:|E-AB|=|E-BA|_线性代数吧_百度贴吧
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求数学帝解此题：设A、B都为n阶矩阵,证明:|E-AB|=|E-BA|收藏
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RT，盼数学帝来帮忙
考察det[E,A;B,E]即可
回复：2楼如果矩阵都是在诸如R或者Q之类的数域上，那么你的做法也是可以的，取极限就行了。
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det[E,A;B,E]怎么用？
回复：4楼这算是homotopy的观点吧？
任何矩阵都可对角化是不对的，估计你是把它和代数基本定理搞混了
回复：8楼7楼的证明不止这一处错，(6)-&(7)这步也错的，虽然(7)的结论是对的。当然这两个错误都是可弥补的，不过弥补的代价已经和题目本身的难度相当了。这个题目的背景主要有两个一种是按3楼的行列式做，推论是AB和BA所有非零特征值相同另一种是直接代 Shermann-Morrison-Woodbury 公式
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各位，以上漏洞百出，请你们写出详细过程，参考一下，别光会评论
回复：9楼（6）——&(7)第一眼看的时候没看出什么错来，又仔细看了一下，是因为Bv可能是零向量吗
还有剑哥你说的取极限的方法，是不是要建立在homotopy的基础上啊。让我想起了大一学线代的时候，教材上证明合同变换特征值保号性时也用了“取极限”的方法，一直觉得很耍赖。
利用块上三角阵或块下三角阵的行列式等于对角块行列式之积进行证明。 一方面，(I, 0; -B, I)(I, A; B, I)=(I, A; 0, I-BA)；两边取行列式，得det(I, A; B, I)=det(I, 0; -B, I)(I, A; B, I)=det(I, A; 0, I-BA)=det(I-BA)。 另一方面，(I, -A; 0, I)(I, A; B, I)=(I-AB, 0; B, I)；同理两边取行列式得det(I, A; B, I)=det（I-AB)。
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提问者采纳
解: D1=a+b, D2=a^2+ab+b^2.n&2时,将Dn按第一列展开得 Dn=(a+b)Dn-1 - abDn-2
(1)所以 Dn-aDn-1 = b(Dn-1-aDn-2)
= b^2(Dn-2-aDn-3)
= b^(n-2)(D2-aD1) = b^(n-2)b^2
(2)由(1)式同理可得
Dn-bDn-1 = a(Dn-1-bDn-2) = a^n
(3)若 a=b, 由(3)
Dn=aDn-1+a^n
= a(aDn-2+a^(n-1) +a^n = a^2Dn-2 + 2a^n
= a^(n-1)D1+(n-1)a^n
= (n+1)a^n.
(4)若 a≠b, 由 a(3)-b(2) 得
(a-b)Dn = a^(n+1) - b^(n+1)所以 Dn = [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
(5)(4)(5)合并为 ∑[k:0,n]a^kb^(n-k)
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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【求助】关于伴随矩阵的证明【已解决】
设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：
& &&&(1)若|A|=0,则|A*|=0
& && && &(2)|A*|=|A|^（n-1）
仅证第二个问题。AA*=|A|E，有|A|)|A*|=|A|^n，A可逆则得证。若A不可逆，则)|A|=0。若A=0，则A*=0,若A不等于0，由秩(A)+秩(A*)<=n,有秩(A*)<n,所以伴随的行列式为0。 我也来证一下，与2楼不同的是，我的证明不用到矩阵的秩。一般教材讲到伴随矩阵的时候，秩还没讲到。
第二道证明：
由AA*=|A|E知，|A||A*|=|A|^n.
(1) 当|A|不等于0时，显然上式两边同除以|A|即得
(2) 当|A|=0时，采用反证法。假设|A*|不等于0，则A*是可逆矩阵。在等式AA*=|A|E两边同右乘A*的逆矩阵即得A=零矩阵。零矩阵的伴随矩阵当然为零，即A*为零矩阵，与|A*|不等于0矛盾。
第一道证明中取第二道证明之后令|A|=0即可。
多谢bluesine 版主指出笔误部分，已改正。 呵呵，本人是初学者
，“在等式AA*=|A|E两边同右乘A*的逆举证即得A=零矩阵”
对这句话不懂，希望能解释一下
谢谢喽！ Originally posted by javeey at
我也来证一下，与2楼不同的是，我的证明不用到矩阵的秩。一般教材讲到伴随矩阵的时候，秩还没讲到。
第二道证明：
由AA*=|A|E知，|A||A*|=|A|^n.
(1) 当|A|不等于0时，显然上式两边同除以|A|即得
(2) 当|A|=0 ... “假设|A*|不等于0，则A是可逆矩阵。”这个要证明一下吧，呵呵 Originally posted by bluesine at
“假设|A*|不等于0，则A是可逆矩阵。”这个要证明一下吧，呵呵 写错了，应该是“假设|A*|不等于0，则A*是可逆矩阵。”
多谢指出。 Originally posted by 黑哟 at
呵呵，本人是初学者
，“在等式AA*=|A|E两边同右乘A*的逆举证即得A=零矩阵”
对这句话不懂，希望能解释一下
谢谢喽！ 应该是逆矩阵，已在原帖改正。
AA*(A*)^{-1}=|A|E(A*)^{-1}
因为假设是|A|=0，0乘以任何矩阵都为0矩阵，所以上述等式右边为0矩阵
左边AA*(A*)^{-1}，可将A*(A*)^{-1}结合即得左边为A
所以 A=0矩阵。 谢谢
var cpro_id = 'u1216994';
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这个是Cauchy-Binet公式, 一般的教材里都有注意-I BA 0和-I B0 AB的行列式相等, 对前者使用Laplace定理展开最后s行即可得Cauchy-Binet公式
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