为什么数学难学？
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|个人分类:|系统分类:|关键词:数学 直觉 抽象 理解
长期以来，不管是数学系的学生，还是其他专业的学生，甚至是中学生，对于数学的反应普遍是难学，那么什么是难学呢？是什么原因导致数学难学呢？最近反复看庞加莱的书《科学与方法》（商务印书馆，李醒民译），其中第二编第二章谈到‘数学定义和教学’，其观点非常有意义，结合我的30多年学习数学的经验和理解，我觉得有必要对于数学的学习问题做个较为深入的探讨。
其实所谓难学，并不是书上的字不认识，无非都是汉字和字母构成，没有一个不认识的，但是连在一起就未必认识了，即便认识了，甚至可以做习题了，但是依然觉得不懂。这里说的是理解的问题。那么什么是理解呢？庞加莱说道：
“这个词对于所有世人具有相同的意义吗？相继审查组成定理证明的每一个演绎推理，弄清它的正确性、它与游戏规则的一致性，这就是理解一个定理的证明吗？同样的，为了理解一个定义，这仅仅是辨认人们已经知道的所使用的全部词的意义并弄清它不隐含矛盾吗？对于一些人来说，情况就是这样；当他们这样做了，他们将说：我理解了。对于大多数人来说，情况并非如此。几乎所有的人都更为苛求；他们希望了解的不仅是证明的所有演绎推理是否正确，而且是它们为什么以这种秩序而不以另外的秩序联系起来。对他们来说，它们似乎是由任性产生的，而不是有总是意识到所达目标的理智产生的，他们不认为他们理解了。”
庞加莱继续说：“无疑的，他们本身恰恰没有意识到他们渴望的东西，他们不能系统的阐述他们的欲望，但是，如果他们得不到满足，那么他们便模糊的感觉到缺乏某些东西。于是，会发生什么情况呢？一开始，他们还觉察到人们摆在他们面前的论证；他们不久便遗忘了；他们很快使一瞬间的亮光消失在永恒的暗夜中。”
“人们总是询问，这有什么用处；如果他们在实践中或自然界中找不到它们，他们将不能理解如此这般的数学概念的正当理由。在每一个词下，他们都希望提出明显的图像；定义必须唤起这个图像，以致在定理证明的每一个步骤中，他们可以看到它变换和发展。只有在这一条件下，他们才能理解和记住。这些常常欺骗他们自己；他们不听信推理，他们着眼于图形；他们自以为他们理解了，他们只是看见。”
这里强调的是人们对于理解的感觉，而不是对于文字的字面解释，即便是字面都明白，但是内心深处的感觉就是不大对劲，这就是说，感性和理性的分离矛盾，正好比一个转向的人尽管可以通过理性去辨认东南西北方位，但是主观的感觉总是觉得不对。这就是所谓的理解障碍。人们学习数学首先遇到的就是理解障碍。越是到了数学学习的高级阶段，这种理解障碍遇到的机会就越大。比如，我们学习极限的时候会遇到，这是因为我们还从来没有试图在生活中体验无限是什么。当我们第一次试图解释什么是无限的时候，拗口的语言所描述的那一套逻辑在生活中找不到原型，甚至找不到类似的可以比较。这就产生了理解障碍。当我们从数学分析过渡到泛函分析的时候，从平面几何、解析几何到拓扑的时候，我们一样会遇到理解障碍，这是从具体到抽象的跨越。在跨越这些理解障碍的时候，我们的思想深处对于抽象逻辑的熟练程度并不深，还没有真正的掌握抽象逻辑的好处。
我们从小学习数学总是从物理世界开始的，从直观开始的，但是数学具有天生的抽象性。比如，学习整数加法的时候，我们可以用类似手指头之类的实际物体在边上进行示意。学习乘法的时候，也是多个相同加法的另一种描述。更近一步，庞加莱举例说“在小学，要定义分数，人们切开苹果或者馅饼；当然这是在内心切开，实际上并没有切开，因为我没有假定初等教育的预算容许如此挥霍。另一个方面，到了大学，却说分数是用水平线分开的两个整数的组合；我们通过约定定义这些符号可以服从的运算，也可以严格地定义分数。。。。。但是如果有人试图把这种抽象的定义给予初学者，那岂不是使他呆若木鸡。”
这深刻的表明，由于人类认知能力并不能天生的形成（也许有人会对此有不同意见），而是一个不断提高的过程。开始我们会依赖物理的或者等价的说，是经验的，来学习数学的基本知识，但是数学为了能够完成它的复杂任务，停留在直观的角度并不能带来好处。那就意味着，我们在教育的过程中，应该重点强调，我们的学习就是一个从直观的、经验的，到抽象的逻辑思辨的过程。对于学生来说，就是要尽早尽快的适应这些抽象的逻辑，而不是仅仅停留在直观的角度。
庞加莱又举了一个例子：“假定我们在一个班级里，老师讲到：圆是与称之为圆心的内部一点等距的点的轨迹（这个在解析几何中很显然的定义）。好学生在他的笔记本上写下这句话；差学生拉长了脸；但是，无无论谁都不理解其含义；于是，老师拿起粉笔，在黑板上画了一个圆。学生认为：啊！他为什么不同时说圆是环形物呢，否则我们早该理解了。毫无疑问，老师的定义更科学，学生的定义是无效的，因为它不能用于证明，而且不能培养学生分析概念的有益习惯。但是，人们应该向他们说明，他们并不理解他们自以为知道的东西，应该引导他们意识到他们的原始概念的粗糙性，意识到他们需要使概念变得纯粹、变得精确。”
尽管数学看似更精确，但是公理化系统的努力最后的结果表明，经验的、直觉的仍然是最基本的基础，不过这不妨碍建立在有限的几个直觉基础之上的数学命题本身的抽象性。与我们直觉上喜欢的形象相比，数学要抽象的多。我们总是试图用粗糙的概念去解读遇到的数学问题，这就造成了理解障碍。
我们直觉粗糙的另一个鲜明的例子是，我们心目当中的连续性，其实是很光滑的连续，和我们严格定义的连续并不完全吻合，事实上，我们可以构造出处处连续而处处不可导的例子。这和我们的直觉相差很大。实际上，在大多数情况下，我们都是粗糙的感觉。
粗糙的直觉依然有用。假如把我们直觉形成集合A，自然界形成的集合是B,数学的描述集合是C，那么真实的情况将是A属于B，B属于C。也就是说，虽然数学严格了，抽象了，但是似乎并没有创造出更多的东西，而仅仅是多了一些无用的垃圾。实际上，对于数学上描述的能量有限的（平方可积函数类）函数，几乎所有的这样函数都是没有实际价值的，有实际价值往往是有一定的光滑性，或者和光滑性类似的性质的东西。如果学生一上来就学习处处连续而处处不可导的函数，估计没有几个愿意学习下去。
数学的另一个难学的原因在于，数学的知识体系是有序的。所谓有序，那就是数学知识类似楼梯一样，不能做跨越式的学习（大多数如此）。如果用高等数学的名词来解释，那就是高阶马尔科夫链。每一个学习环节都要依赖之前学习过的很多个环节的数学知识。这就导致我们必须从金字塔的底端开始学习，一个台阶一个台阶上，假如在某一个台阶遇到了理解障碍，后续的学习不堪设想。而且学了之后，必须熟练，否则后续的学习一样遇到困难。基本可以肯定的说，一个能够把大学本科数学系的教材通达无碍的学习下来的同学未来基本上是个较为优秀的学者。因为作为搞学术研究的我们，在学习的路上似乎都遇到过理解障碍的情况。也许没有遇到理解障碍的人，才是真正的天才。
那么这种理解力从何而来呢？ 我们既然知道数学的学习有赖于这种理解力，我们自然希望我们能够及时的获得这样的理解力。但是，很遗憾，没有一个有效地办法去很快的提高人的理解力。正好相反，数学正是锻炼和提高理解力的有效工具。可是，我们的时间是有限的，我们在学习数学的过程中，一边被训练，一边被数学淘汰。事实就这么残酷。我们只能寄希望于我们在学习的过程中不要被更早的淘汰，仅此而已。
总的来说，数学是人类理解自然的产物，也一定脱离不了自然。但是我们学习数学的方法，或者老师教学的方法却有很大的改善空间。针对不同的人制定不同的理解力提高训练是非常有必要的。但是由于资源有限，我们今天的教育还只能是大面积的普及式的教育，并不能让所有的人都能体验到人类这个发明的魅力。
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　　认识一个朋友的小孩，从小各科成绩优异，更是多次参加“奥数”等竞赛，几乎每次都能拿到不菲的成绩，中考的时候，更是取得了132的高分。这也是朋友一直以来引以为傲的一件事。可奇怪的是，那小孩自从上高中之后，数学成绩就老跟不上，还扯总成绩的后腿，排名也不能靠前。
　　更惨的是，孩子在数学学习上越来越吃力，慢慢的连简单的题都做不好，导致每次考试及格都难，更别说拿高分了。他也是百思不得其解，自己花在数学上的时间并不少，可为什么成绩越来越不理想呢？
　　第一，学习自觉性不强，又急于求成：
　　很多高中生学习数学是不自主的，老师教什么他们就学什么，不会主动去研究它，这也和兴趣有关。在校期间，学生失去了学习的自主性，被老师牵着鼻子走，忙着完成各种作业，根本就没有更多的时间去自己主动学习，疲于奔命。
　　久而久之，落下的知识就会越来越多，最后就重疾难返。一旦学生发现自己不会的东西越来越多，就会出现焦急、不知所措的状态。原本是想学好，补起遗漏的知识，可是自己又抓不准重点，找不到方向，越学越疲惫，这时就会在心理上就会有一种怎么努力也不会有起色的感觉，就会产生放弃的念头。
　　解决这个问题最好的办法那就是主动学习，即使是数学也要提前预习，课后复习，把每天的知识都消化掌握好，不要欠账。最重要的还是要上课听讲，跟上老师的进度。认真完成作业，对于欠缺的知识要利用好课下、自习以及周末的时间来补一补。
　　第二，粗心大意，不够仔细：
　　粗心大意是属于学习习惯、考试习惯的范畴，常常表现为会做的题目做不对、马虎、浮躁等症状。很多学生和家长都不把马虎当成一回事，觉得只要考试的时候不出错就行，但如果学生养成了粗心大意的习惯，在考试的时候也会很难改正过来。
　　所以，明明该得分的题却因为自己的马虎大意丢了分。表面看起来，马虎的确不是什么大问题，该掌握的知识掌握了，等到大考的时候认真一点，不就行了吗？
　　因此不要把马虎当成无所谓，在平时作业和考试的时候，都要随时注意，认真做题，仔细检查，能做的题要百分百的得分，不要因为一个不下心丢了分数。
　　粗心大意是习惯，习惯要改需要一个很长期的过程，学生学数学应该一开始就养成认真仔细的习惯，学数学本来就要比学习其他科目更加上心，一点也马虎不得。
　　第三，严重偏科，成绩不均衡:
　　有的学生初中的时候不偏科，但是一到了高中偏科现象就开始出现了，而且是偏科偏得非常严重。其实，造成偏科的原因有很多，比如不喜欢或特别喜欢某科，或者是对老师的评价都有可能造成偏科。
　　大多数学生都有偏科的迹象，一旦偏科会给综合成绩造成很大的影响。一般女学生都是语文好，数学差。对于偏科，千万不要感情化，把对学科的兴趣和对老师的喜好厌恶牵扯到自己的学习中来。
　　明白自己为什么学习，要知道自己的目标。不要厚此薄彼，应该着手补习自己的薄弱环节。如果确实某科偏得特别厉害，那就尽可能把擅长的科目学到最好，这样才不会拉低分数。
　　要想学数学不偏科，那就得先培养对数学的兴趣，要爱学数学，要找到学习数学的乐趣，而不是排斥它，甚至放弃。
　　第四，容易紧张、考试失常：
　　有的学生平时小测验不错，但一到大的考试，就容易紧张，因为考试最在意的就是分数，因为太过在意，反而发挥失常。在考试的时候，一紧张就容易出错，审错题，甚至看错数字，条件，要求等等。这样考出来，自然不会有好成绩。
　　而很多学生又不会调整这种心理，一到考试的时候，就会被以前的经历所困扰，久而久之，很容易形成考试综合征，到了考场就紧张、头脑空白、知识点暂时忘记等现象。
　　解决这个问题的办法很简单，一是加强复习、总结归纳、查漏补缺，把掌握的知识掌握得更牢固，这样就会增加考试的信心，二是调整自己的心态，考前不想考后事，考后不想考时的事，一定要保持放松的转态，别让自己过于紧张。
　　编者的话：
　　看了这几条，现在知道自己为什么成绩老上不去了吧？老生常叹的一句话：不能只低头拉车，还得抬头看路。要看到问题的所在，及时的纠正，方能取得预想的成果。
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　　众所周知，数学的学习除了通过教材进行概念的习得，还需要进行一定的深入的练习，以对知识点进行强化和理解。在每一个章节完之后还要进行小结复习，对不同知识点能够融会贯通的理解，若干同专题的章节学完之后，还需要对统一专题的知识点进行总结梳理，以彻底掌握该专题。
　　教材做的比较好的是概念的诠释，也有一定的练习和章节复习，但是这些练习和章节复习远远不能保证学生掌握该章节，所以学生需要进行额外的练习。另外，教材是为了保证绝对部分学生能够很好的掌握该专题，所以难度相对较低，种瓜得瓜，种豆得豆，学生如果想成为成绩优秀的那一拨，必然需要在课外进行额外的练习，即所谓的教辅。
　　【常见的参考书的类别有几类】
　　教辅书的存在都是为了配合教材让学生更好的学到知识而存在的。教辅书根据其定位一般分为以下几种：
　　1、作业习题类：这类教辅书主要以大量的习题为主，几乎没有知识讲解。但是知识点分解的比较细，作业训练的也比较全面，注意了基础性、系统性、综合性，所以深得学校老师的信赖，成为了很多学校老师首推的材料。代表的参考书有《启东作业本》、《轻巧夺冠.银版》、《学习.探究.诊断》
　　2、知识点晴与习题兼顾类：这类教辅书，会有一定的核心的知识点的提炼，同时有一定的练习，练习没有《启东作业本》等专门习题类的全面系统，但是一般难度相对较高，而且能较好的进行题型的总结，覆盖到了绝大部分考试的重点与难点，这类参考书的的代表有《轻巧夺冠.金版》、好未来出版的（学而思和海边同属好未来）《培优辅导.初一数学跟踪练习》。其中轻巧夺冠金版的知识点总结的更为全面点，而培优辅导相对的练习分层会更为科学一点，总结的题型也更为全面。但是知识点总结的相对较少。
　　3、专题类：这类参考书，主要是对初中数学的每一个专题进行总结，方便学生熟练掌握每个专题的知识体系。代表的作品有龙门专题《数与式》、《几何初步》以及学而思出版的《几何辅助线秘籍》。其中龙门专题总结的较为全面，涉及到了专题的每一个细节，但是有些过于简单，完全没有必要总结成专题，这里仅推荐其《函数及其图像》专题，不过大家要到初二才能用到。学而思出版的《几何辅助线秘籍》是学而思出版书籍上史上最热销的书籍，也是学而思初中数学出版的唯一一本专题类书籍。初中数学最难的部分就是几何辅助线的添加以及其和代几综合题目，该书比较全面的的总结了模型与思路，建议同学们在初二的时候购买练习。
　　4、竞赛培优类：这部分学生定位于学生层次较高，学习课内数学有一定余力，希望对数学掌握到更深，更为全面的学习初等数学，同时不满足于中考，还希望在竞赛中取得一定的成绩。代表的书籍有《从课堂到奥数》、《数学探究新思维》、《培优竞赛新方法》、《奥数教程》、《数学奥林匹克小丛书》。
　　《从课堂到奥数》在目录里就分成了培优篇和竞赛篇，培优篇主要是和课堂同步章节的竞赛知识的总结讲解与练习，竞赛篇主要是思想方法的总结以及一些竞赛独有知识的讲解。该书的例题和练习题大都从希望杯、华杯赛以及全国各大初中竞赛题而来，题目比较经典，缺点是题目比较老，而且A4的版面设计以及紧凑的字等让人感觉不好，部分孩子拿起来做觉得不舒服。