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设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，而X服从区间[a，b]上的均匀分布，则E()=______，D()=______，E(S2)=______
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设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，而X服从区间[a，b]上的均匀分布，则E()=______，D()=______，E(S2)=______
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求解一道概率题设总体X服从[0,2θ]上的均匀分布（θ>0）,x1,x2,…,xn是来自该总体的样本,x平均为样本均值,则θ的矩估计 =（　　　）_百度作业帮
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X[0,2θ]的期望是θ,取样本均值Xθ=X山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料7-山西省自考网
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第七章　参数估计
　　本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等.
　　 内容讲解
　　 引　言：　　本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数：　　①分布中含有的未知参数θ；　　②θ的函数；&　　③分布的各种特证数。§ 7.1　点估计　　1.点估计定义：设x1,x2,…xn是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x1,x2,…xn的统计量 的取值作为θ的估计值，称 为θ的点估计.&　　2.点估计的两种常用方法　　（1）替换原理和矩法估计　　① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.　　② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如：　　用样本均值 估计总体均值E（X），即 ；　　用样本二阶中心矩 估计总体方差，即 ；　　用事件A的频率估计事件A的概率等.　　例题1. P146 　　【例7－1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：　　29.8　27.6　28.3　27.9　30.1　28.7　29.9　28.0　27.9　28.7　　28.4　27.2　29.5　28.5　28.0　30.0　29.1　29.8　29.6　26.9　　【答疑编号】&　　（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计&　　设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk） 是未知参数或参数向量，x1,…,xn是样本，假定总体的k阶原点矩μk存在，则对所有的j（0&j&k），μj都存在。&　　（3）若假设θ1，…，θk能够表示成μ1，…，μk的函数θj=θj（μ1，…，μk），则可给出诸θj的矩法估计。　 &　　例题2. P146 　　【例7－2】设总体为指数分布，其密度函数为&&&　　【答疑编号】　　这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。　　例题3. P147 　　【例7－3】设x1,…,xn是来自服从区间（0，θ）上的均匀分布U（0，θ）的样本，θ&0为未知参数。求θ的矩估计 。　　【答疑编号】&　　矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。　　小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。　　（4）极大似然估计　　设总体的概率函数为p（x,θ）， ，其中θ是一个未知参数或未知参数向量， 是参数θ的取值范围，x1,x2,…xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为 ，简记为 ，　　 　　则称 为样本的似然函数. 如果存在统计量 使得　　 ，　　则称 为θ的极大似然估计.　　例题4. P147 　　【例7－4】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？　　【答疑编号】　　解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。　　例题5. P147 　　【例7－5】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。　　【答疑编号】&&&&&　　总结计算方法：
　　① 构造似然函数；② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数 是 的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值.&　　例题6. P148 　　【例7－6】设一个试验有三种可能结束，其发生的概率分别为　　p1=θ2，p2=2θ（1-θ），p3=（1-θ）θ2。　　现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3（n1+n2+n3=n），求似然函数。　　【答疑编号】&&　　例题7. P149 　　【例7－7】对正态总体N（μ，σ2），θ=（μ，σ2）是二维参数，设有样本x1,…xn,求似然函数。　　【答疑编号】&&　　例题8. P149 　　【例7－8】（1）设总体X服从泊松分布p（λ），求λ的极大似然估计；　　【答疑编号】　 &&　　（2）设总体X服从指数分布E（λ），求λ的极大似然估计。　　【答疑编号】&&　　例题9. P150 　　【例7－9】设x1,x2,…xn是总体的样本，已知总体的密度函数为　　 　　试分别求出θ的矩估计 和极大似然估计 .　　【答疑编号】&&&　　例题10. P150 　　【例7－10】设x1，…，xn是来自均匀总体U（0，θ）的样本，试求θ的极大似然估计。&&　　类似地，当总体X～U（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为
　　【答疑编号】　　极大似然估计的一个简单而有用的性质：若 是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数g（θ）, 它的极大似然估计为 ，这就是极大似然估计的不变性。&　　例题11 P151 　　【例7－11】设x1,x2,…xn是来正态总体N（μ，σ2）的样本，求标准差σ和概率P{X≤3}的最大似然估计。　　【答疑编号】&&§ 7. 2　点估计的评价标准 　　　　1.相合性　　（1）定义：设 为未知参数， 是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何ε&0，有　　& ，　　则称 为参数θ的相合估计.&　　解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n→∞的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。&　　例题1. P152 　　【例7－12】设x1,x2,…是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，则由大数定律及相合性定义知：　　 是μ的相合估计；　　 是σ2的相合估计；　　 也是σ2的相合估计。　　证明： 是μ的相合估计。　　【答疑编号】&　　（2）相合性判定定理：设 是θ的一个估计量，若
　　& ， ，
　　 则称 为参数θ的相合估计.&　　例题2. P152 　　【例7－13】设x1, …，xn是来自均匀总体u（0,θ）的样本，证明θ的极大似然估计是相合估计。　　【答疑编号】&　　为了使用定理判断，我们下面求它的数学期望和方差。&　　2.无偏性　　 对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。　　（1）定义：设 是θ的一个估计，θ的参数空间为 ，若对任意 ，有　　 ，　　则称 为θ的无偏估计；否则称为有偏估计.　　解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.&　　例题3. P153 　　【例7－14】对任一总体而方，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩μk的无偏估计。但对k阶中心矩则不一样，例如，二阶样本中心矩 就不是部体方差σ2的无偏估计。　　证明： ，& 　　【答疑编号】&　　（2）几个有用的结论
　　① 是 的无偏估计；　　② ，即 是σ2的渐进无偏估计；　　③s2是σ2的无偏估计；　　④ 若 为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外， 不是gθ的无偏估计.　　所以，无偏性没有不变性。　　3.有效性　　（1）定义：设 ， 是θ的两个无偏估计，如果对任意的 有　　 ，　　且至少有一个 使上式的不等号严格成立，则称 比 有效.　　（2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。　　例题15. P154 　　【例7－15】设x1,…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为σ2，则 ， 都是μ的无偏估计，　　【答疑编号】　　　　&　　　　而 ，所以 比 有效。§ 7. 3 参数的区间估计
　　点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计。　　1.置信区间的概念　　（1）引例　　【例7－17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（μ，σ2），其中未知，σ2已知（σ＝45公斤•米），试对总体均值μ作区间估计.　　分析：首先，通过抽样来估计μ，所以，从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，xn，可得样本均值 ，已知 是μ的无偏估计，且 ～ ，可以在 的基础上对μ作区间估计.　　【答疑编号】&　　其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计，要求估计函数应该：① 含有待估计参数μ，② 无论μ为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值.　　再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1－α（0&α&1），称为置信度，依此概率进行估计.&　　解：从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，xn，可得样本均值 ～ ，从而得到合适的估计函数为　　 ～ ；&　　因为 是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1－α（0&α&1），所以，查表求满足　　 　　或　　 　　的 ，即标准正态分布的上 分位点.&　　将不等式 转化为 ，即为　　 ，　　因此有 　　 .　　所得区间 即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1－α变化而变换，所以称之为置信区间. &　　小结：步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上 分位点；③ 根据样本及相应的置信区间公式，求出置信区间.　　（2）置信区间的定义：设θ为总体的未知参数， ， 是由样本x1，x2，…，xn给出的两个统计量，若对于给定的概率1－α（0&α&1），有　　 ，　　则随机区间[ ]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间， 称为置信下限， 称为置信上限.　　（3）解释：参数θ落入区间[ ]的概率为1－α. &　　（4）置信度与精度的关系　　① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高；　　② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低.　　2.单正态总体参数的置信区间　　设总体X～N（μ，σ2），x1，x2，…，xn为其样本.　　（1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计　　 由引例得此置信区间为　　& .&　　【例7－18】某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）：　　14.6，　15.1，　14.9，　14.8，　15.2，　15.1.　　若总体方差σ2=0.06，求总体均值μ的置信区间（σ=0.05，σ=0.01）　　【答疑编号】&&　　【例7－19】用天平称量某物体的质量9次，得平均值为 ，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g。试求该物体质量的0.95置信区间。　　【答疑编号】&　　解：此外1-α=0.95，α=0.05，查表知u0.025=1.96，于是该物体的体质量μ的0.95置信区间为　　 =15.4±0.0653，　　从而该物体质量的0.95置信区间为[15.3]。　　【例7－20】设总体为正态分布N（μ，1），为得到μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？　　【答疑编号】&　　（2）σ未知时，μ的置信度为1－α的区间估计　　选择统计量 ～ ，得到μ的置信度为1－α的置信区间为　　 ，　　其中 ，是σ2的无偏估计.&&　　【例7－21】假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万千米）如下：　　4.68　4.85　4.32　4.85　4.61　5.02　5.20　4.60　4.58　4.72　4.38　4.70　　试求平均寿命的0.95置信区间。　　【答疑编号】&　　3.μ未知，σ2的置信区间　　根据样本方差s2的无偏估计及定理6－4（2）的结论，有估计函数　　 ～ .&　　又根据给定的置信度1－α、 分布密度函数的特点以及置信区间为等尾区间的要求，查 分布表求出 分布的两个分位点 和 ，满足　　 ，　　由此得σ2的置信度为1－α的置信区间为　　 .&&　　【例7－22】某厂生产的零件质量服从正态分布N（μ，σ2），现从该有利于生产的零件中抽取9个，测得其质量为（单位：g）　　45.3　45.4　45.1　45.3　45.5　45.7　45.4　45.3　45.6　　试求总体标准差σ的0.95置信区间。　　【答疑编号】　　解：由数据可算得s2=0.0325，（n-1）s2=8×0.，这里α=0.05，查表知 （8）=2.1797， （8）=17.5345，代入（7.3.1）可得σ2的0.95置信区间为 　　
　　本章小结：
　　一、内容　　 　　&
　　二、试题选讲　　1. 设总体X～N（1，σ2），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本， ，则 ＝_____________.　　【答疑编号】　　答案：1&　　2.设总体X具有区间[0，θ]上的均匀分布（θ&0），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，则 的矩估计 ＝____________.　　【答疑编号】　　答案： &　　3.设总体X的概率密度为 　 ，x1，x2，…，xn是总体X的一个样本，则未知 的矩估计 ＝_____________.　　【答疑编号】　　答案： &&　　4.设总体X服从参数λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，则参数λ的矩估计量为_________________.　　【答疑编号】　　答案： 　　&　　5.设总体X服从[0，2θ]上的均匀分布（θ&0），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本， 为样本均值，则θ的矩估计 ＝（　）.　　A.2 　B. 　C. /2　D.1/2& 　　【答疑编号】　　答案：B&　　6.设总体X～N（μ，σ2），x1，x2，x3为来自总体X的样本，则当α＝______时， 是未知参数μ的无偏估计.　　【答疑编号】　　答案：1/4&　　7.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设X～N（μ，σ2），其中μ，σ2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求μ的置信度95%的置信区间.　　（附： ， ）　　【答疑编号】　　答案： &　　8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（μ, σ2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差s2＝ ，试求：总体方差σ2的置信度为95%的置信区间.　　（附： ， ， ， ）　　【答疑编号】　　答案： ＝[0.8]&
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设总体X服从[0,θ](θ>0)上的均匀分布,X1,X2,X3...Xn是取自总体X的一个简单随机样本,求(1),未知参数θ的矩估计量 (2)未知参数θ的最大似然估计量_百度作业帮
设总体X服从[0,θ](θ>0)上的均匀分布,X1,X2,X3...Xn是取自总体X的一个简单随机样本,求(1),未知参数θ的矩估计量 (2)未知参数θ的最大似然估计量
设总体X服从[0,θ](θ>0)上的均匀分布,X1,X2,X3...Xn是取自总体X的一个简单随机样本,求(1),未知参数θ的矩估计量 (2)未知参数θ的最大似然估计量关于独立同分布随机变量密度函数的求解假设总体X在区间（0,a）上服从均匀分布（a&0）,X1,X2…Xn是来自总体的简单随即样本,记X(n)=max(X1,X2…Xn),求X（n）的分布函数和密度函数我的理解是：_百度作业帮
关于独立同分布随机变量密度函数的求解假设总体X在区间（0,a）上服从均匀分布（a&0）,X1,X2…Xn是来自总体的简单随即样本,记X(n)=max(X1,X2…Xn),求X（n）的分布函数和密度函数我的理解是：
关于独立同分布随机变量密度函数的求解假设总体X在区间（0,a）上服从均匀分布（a&0）,X1,X2…Xn是来自总体的简单随即样本,记X(n)=max(X1,X2…Xn),求X（n）的分布函数和密度函数我的理解是：分布函数直接用各样本的分布相乘,密度函数也用各样本的密度函数相乘参考答案是：分布函数解法相同,密度函数用分布函数求导Q：密度函数直接相乘有什么问题啊?为什么和求导的结果不同
密度函数就是分布函数直接求导来的,你直接相乘没有任何道理,因为这是连续型随即变量不是离散型 查看原帖>>