数学,立体几何
正四面体ABCD中,点M,N分别为棱BC及AD的中点,
则异面直线CN与DM所成角的余弦值为
B2/3 C 3/4 D 0
答案仅供参考:
作辅助三角形(作图比较麻烦,只好借用楼上的图形啦,谢谢楼上啦!)
解:1.在平面BCD内作BE//MD且BE=MD,连接DE交BE于点E;
2.连接E、N两点，构成三角形BEN，则 cos（角NBE） 即为所求
3.连接A、M两点，则构成三角形AMD，证明直线ED垂直于三角形AMD所在平面，只须证明BM垂直于该三角形所在平面即可（ED//BM）
4.在正三角形ABC中，M为中点，所以AM垂直于BC，即：BM垂直于AM；
5.同理，在三角形BCD中，容易证明：BM垂直于DM
6.AM与DM交于同一点M，所以BM垂直于AMD所在的平面，所以其平行线ED垂直于AMD所在的平面，所以ED垂直于面内直线AD
7.即得：等腰直角三角形EDN，角EDN为直角；
8.设正四面体边长为2，在三角形EDN中得EN=根号2
9.易得BN=BE=根号3;
10.在等腰三角形NBE中 余弦定理得2/3
不好意思,有十年没做过数学题了,如有不当之处,敬请改正.答案仅供参考!!
222.39.18.*
谢谢你.很详细.
回答数：13
222.39.18.*
我是学文的,没学向量.不好意思.
222.39.18.*
我学的是文科,不会用向量来解.谢谢!
222.39.18.*
您的举报已经提交成功，我们将尽快处理，谢谢！如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（　　）A．90°B．60°C．45°D．30°
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如图,已知正四面体ABCD的棱长为a,E为AD的中点,连结CE.(1)求证:顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;(2)求AD与底面BCD所成的角;(3)求CE与底面BCD所成的角.
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如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（　　）A．90°B．60°C．45°D．30°
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如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（ ）A．90&B．60&C．45&D．30&
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如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为
A.90° B.60° C.45° D.30°
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高考数学中的特殊四面体
&&&&&& 四面体是立体几何中最基本,也是最重要的几何体,它的地位相当于平面几何中的三角形所处的地位。因此对四面体的研究一方面可以作为平面三角形在空间的直接类比,可得出类似的性质(如勾股定理)或结论。另一方面又可以观察它的外接平行六面体来证明它的大批性质,很有实用价值。在这里,将高考复习中,较为常见的几种特殊四面体的性质进行梳理并配简单应用。
　　一、直角四面体
　　⒈定义:某顶点的三个面角都是直角的四面体称为直角四面体,或称对棱都互相垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体。
　　⒉性质:直角四面体相当于三角形中的直角三角形,它可由三条两两互相垂直的棱作为长方体的长、宽、高,补成长方体.。或可看作一个长方体切去一个角而形成的四面体。
　　设四面体ABCD中,&BAC=&CAD=&DAB=90&,AO&面BCD,那么直角四面体有如下性质:
　　⑴直角四面体中,不含直角的面是锐角三角形,即△BCD是锐角三角形(可以用三垂线定理或余弦定理进行推证)。
　　⑵直角四面体的外接球的半径为R=1/2(可以补成长方体后进行证明)。
　　⑶直角四面体的对棱中点连线长相等,且等于外接球的半径。
　　⑷勾股定理的推广:S2△BCD=S2 △ABC+S2△ACD+S2△ADB
　　注:此结论,可看作直角三角形中勾股定理在空间直角四面体中的推广。这一结论,在2003年的高考试题中,出现在填空题里,考查了学生类比能力。
　　现证明如下:
　　如图:由已知条件有AC&面ABD,AO&面BCD,得AC&BD,AO&BD。从而.BD.&面AOC。连CO交BD于E,连AE,则CE&BD,AE&BD,AC&AE。在Rt△ACE中:
　　AE2=EO&EC
　　从而(1/2AE&BD)2=(1/2EO&BD)(1/2EC&BD)
　　即S2△ABD=S△BOD&S△BCD
　　同理S2△ABC=S△BOC&S△BCD
　　S2△ACD=S△COD&S△BCD
　　三式相加S2△ABD+S2△ABC+S2 △ACD=S2△BCD
　　例1.(2006年高考题)如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,AM=MB=MN。
　　(Ⅰ)证明AB&NB;
　　(Ⅱ)若&ACB=60&,求NB与平面ABC所成角的余弦值。
　　解:(Ⅰ)由已知L2&MN,L2&L1,MN&L1=M,可得L2&平面ABN。由已知MN&L1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN&NB.又AN为AC在平面ABN内的射影。
　　∴AC&NB
　　(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知&ACB=60&,因此△ABC为正三角形。
　　∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,&NBH为NB与平面ABC所成的角。
　　在Rt△NHB中,cos&NBH=
　　二、正四面体:
　　⒈定义:四个面都是全等的正三角形的四面体叫做正四面体。
　　⒉性质:正四面体是四面体最为特殊的四面体,它相当于三角形中的等边三角形,正四面体内接于一个正方体,每一个正方体有两个内接正四面体。
　　设正四面体的棱长为a,则它有如下性质:
　　⑴正四面体的全面积是棱长平方的倍。体积是棱长立方的/12倍。
　　⑵正四面体的两侧面间的二面角为arcsin(2/3)。
　　⑶正四面体的内切球、外接球球心相同,半径分别为r=/12&a
　　R=/4&a
　　⑷正四面体各棱中点是正八面体的六个顶点。
　　⑸正四面体各棱中点的连线是对棱的公垂线,它的距离是d=/2&a
　　⑹正四面体ABCD中,过顶点D的高DE的中点O,那么四面体OABC是直角四面体。
　　以上一系列性质均可在正方体模型下证明.
　　例2.正三棱椎S---ABC的侧棱于底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点则异面直线EF与SA所成的角等于()。
　　A90&B60&C45&D30&
　　分析:此正三棱椎即为正四面体,故可作正四面体的外接正方体,
　　则正方体的面对角线是正三棱椎的棱,E、F是上、下底面中心
　　的连线,平移E、F到棱上,可知其与SA的夹角为45&,故选C。
　　注:本例利用正四面体的外接正方体很快捷的判断出结论。
　　三、等腰四面体
　　1定义:对棱都相等的四面体叫做等腰四面体。
　　⒉性质:等腰四面体相当于三角形中的等腰三角形,它内接于一个长方体,或可以把它补成一个长方体,使等腰四面体对棱分别为长方体的面的对角线。则它有如下性质:
　　⑴等腰四面体各面的面积相等,且为全等的锐角三角形。
　　⑵等腰四面体对棱中点的连线共点,互相垂直平分,且为对棱的公垂线。
　　(以上一系列性质均可在长方体模型下证明)
　　例3.四面体S---ABC中,三组对棱分别相等,依次为2、、5,求四面体的体积。
　　分析:本题若通过计算底与高,再求体积会碰到很多计算。由题目的条件知,此四面体即为等腰四面体,若把它补成一个长方体,使四面体的对棱分别为长方体的面对角线,那么计算就简单多了。
　　解:设补成的长方体的三度分别为a、b、c,体积为V,那么有
　　∴a=4
　　解得b=2
　　V长=24而VS&ABG=VS--BCE=VS--CAF=VA--BCH=1/6abc=4
　　所以VS--ABC=24-4&4=8
　　注:本例利用等腰四面体的外接长方体较为简便的解决。
　　例4.在正四面体内任取一点P,记P点到四个面的距离为,作集合M={d│d= ｝。对一切P,集合M的元素有()个。
　　解:设正四面体A---BCD的体积为V,各侧面面积为S,连PA、PB、PC、PD.
　　则V=VP-ABC+VP-ACD+VP-ABD=1/3()S
　　得d1+d2+d3+d4=3V/S(定值)
　　故集合M只有一个元素.
　　注:在平面上,正三角形内一点到三边距离之和为定值2S/a,而在正四面体中,一点到三个面的面积之和为定值3V/a。而此即为平面向空间的推广
　　以上对三种特殊四面体的性质进行了梳理,由以上几例可知,凡涉及以上三种特殊四面体的有关问题,均可利用它的外接平行六面体(长方体或正方体)进行证明。同时,在例3中处理问题的方法&&割补法也充分体现了立体几何的重要数学思想。
浏览： 591&&评论：正四面体外接球的几个不变量--《数学通讯》2001年03期
正四面体外接球的几个不变量
【摘要】：
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O123.2【正文快照】：
本文给出了正四面体外接球面上点的三个性质，得到了三个不变量(定值)，并利用向量给予证明.在下面的讨论中，我们均假设讨论的正四面体A1A2A3A4的棱长为a，外接球球心为O，外接球半径为R.命题1 设P为正四面体A1A2A3A4外接球面上的任意一点，则∑4i=1PA2i=8R2.证 连接OP，OAi
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【引证文献】
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贾玉友;[J];数学通讯;2001年13期
【参考文献】
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陈传孟;[J];数学通讯;1999年11期
【共引文献】
中国期刊全文数据库
贾玉友;[J];数学通讯;2001年13期
【同被引文献】
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陈传孟;[J];数学通讯;1999年11期
贾玉友;[J];数学通讯;2001年13期
王亚辉;[J];数学通讯;2001年13期
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科目：高中数学
来源：学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练9练习卷（解析版）
题型：填空题
已知结论:“在三边长都相等的△ABC中,若D是BC的中点,G是△ABC外接圆的圆心,则=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相等的四面体ABCD中,若M是△BCD的三边中线的交点,O为四面体ABCD外接球的球心,则=　　　　　.” 
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科目：高中数学
来源：学年江苏省苏、锡、常、镇四市高三调研测试数学卷（一）
题型：填空题
已知结论：“在三边长都相等的中，若是的中点，是外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若是的三边中线的交点，为四面体外接球的球心，则&&&&&&&&&&&
”
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科目：高中数学
来源：镇江一模
题型：填空题
已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则AGGD=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则AOOM=______．
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科目：高中数学
来源：学年江苏省常州市溧阳市埭头中学高二（下）段考数学试卷（1）（解析版）
题型：填空题
已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=&&& ．
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