在四棱锥p abcd-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为pc中点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-03-17 16:56 标签： 在四棱锥p abcd
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PBD．（Ⅱ）求出平面PBD的一个法向量，利用向量法能求出直线AP与平面PDB所成角的正弦值．（Ⅲ）设E（x0，y0，z0），由题设知（x0，y0，z0-1）=（0，2λ，-λ），求出平面EBD的法向量，由已知条件，利用向量法能确定确定λ的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为63．
（Ⅰ）证明：∵侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又∵∠ADC=90°，即AD⊥CD，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），∴DB=(1，1，0)，BC=(-1，1，0)．∴DB?BC=0，∴BC⊥BD．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩DB=D，∴BC⊥平面PBD．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面PBD的一个法向量为BC=(-1，1，0)，∵PA=(1，0，-1)，∴cos＜BC，PA＞=-12?2=-12，设直线AP与平面PDB所成角为θ，则sinθ=12，∴直线AP与平面PDB所成角的正弦值为12．…（7分）（Ⅲ）解：∵PC=(0，2，-1)，又PE=λPC，设E（x0，y0，z0）则（x0，y0，z0-1）=（0，2λ，-λ）∴E（0，2λ，1-λ），DE=(0，2λ，1-λ)．…（8分）设平面EBD的法向量为n=(a，b，c)，∵DB=(1，1，0)，由n?DB=0，n?DE=0，得a+b=02λb+(1-λ)c=0，…（9分）令a=-1，则可得平面EBD的一个法向量为n=(-1，1，2λλ-1)，…（10分）∵二面角E-BD-P的余弦值为63，∴63=|n?BC|n|?|BC||=22?1+1+(2λλ-1)2，…（11分）解得λ=13或λ=-1，…（12分）又由题意知λ∈（0，1），∴λ=13．…（13分）
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的证明，考查参数的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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科目：高中数学
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A、①③B、②④C、③④D、①④
科目：高中数学
复数（i-1）2等于（　　）
A、-2iB、2iC、2-2iD、2+2i
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6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
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已知2f（x）+f（-x）=3x+2，求函数f（x）的解析式．
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若m、n表示直线，α、β表示平面，则下列四个命题中：（1）若m∥α，则对任意的n?α，都有m∥n（2）若实数t1，t2满足t1?t2≠6，则t1≠2或t2≠3（3）若k＞3，则方程2k-3-2k+3=1表示双曲线（4）若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β正确命题是（请填正确的序号）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。
（Ⅰ）在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，
平面ABCD，故PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角，在
中，AB=PA，故∠APB=45°，所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，
平面ABCD，故CD⊥PA，由条件CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又
面PAC，∴AE⊥CD，由
，∠ABC=60°，可得AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C，综上得AE⊥平面PCD．
（Ⅲ）过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结AM，由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，由已知，可得∠CAD=30°，设AC=a，可得
中，sin∠AME=
，所以二面角A-PD-C的大小是如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；_百度知道
提问者采纳
解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD=CD，E是PC的中点，DE⊥PC，PC∩BC=C，∴DE⊥平面PCB．…（4分）（2）解：过点C作CM⊥BE于点M，由（1）知平面DEB⊥平面PCB，又平面DEB∩平面PCB=BE，∴CM⊥平面DEB，∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，∴PC=2，EC=，BC=2，∴BE=，∴CM=．…（8分）（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），∴，设平面BDE的法向量为，则，，∴，令z=1，得到y=-1，x=1，∴，又∵，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一个法向量为．设二面角E-BD-P的平面角为α，则cosα=|cos＜＞|=||=．∴二面角E-BD-P的余弦值为
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出门在外也不愁在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，若E为PC的中点，且BE与平面PDC所成的角的正弦值为，(1)..域名：学优高考网，每年帮助百万名学子考取名校！问题人评价，难度：0%在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，若 E为PC的中点，且BE与平面PDC所成的角的正弦值为， (1)求CD的长（2）求证平面PBD(3)设Q为侧棱PC上一点，＝λ，试确定λ的值，使得二面角Q－BD－P的大小为45°.马上分享给朋友：答案点击查看答案解释本题暂无同学作出解析，期待您来作答点击查看解释相关试题

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