第4讲 定积分的概念与微积分基本定理_百度文库
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【考点分类】热点1定积分的基本计算1．【2014江西高考理第8题】若则（）A．B．C．D．12．【2014陕西高考理第3题】定积分的值为（）3．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】若，则s1，s2，s3的大小关系为（）A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s14．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若．5．【2013福建理15】当时，有如下表达式：两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：【方法规律】计算简单定积分的步骤：（1）把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；（3）分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；（4）利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算所求定积分的值．热点2定积分几何意义的应用1．【2014山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）B．C．D．42．【2013年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理】直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）[来源:学+科+网]A．B．2C．D．【方法规律】1．定积分的几何意义：定积分表示在区间上的曲线与直线、以及轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即．（在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号）．2．求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的下、下限；（2）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置；（3）写出平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．【易错点睛】概念理解错误例．【2014北京西城】求曲线f(x)＝sinx，x∈[0，π]与x轴围成的图形的面积．热点3定积分物理意义的应用1．【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理7】一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）B．C．D．【易错点睛】如2013湖北卷理7试题可能出现以下错误：（1）未形成应用定积分解题的意识，造成思维受阻．（2）不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间，从而不能正确确定积分区间．（3）求错被积函数的原函数致误．防范措施：（1）学习数学，要知道知识方法形成的背景以及应用的方面，不能孤立地看待一个知识方法，要用联系的观点去认识；（2）分析刹车的过程，可以发现，由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间．由此可见，分析过程可以发现规律．【考点剖析】1．最新考试说明：（1）考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．（2）利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．考点考纲要求考查角度[来源:学科网ZXXK]定积分了解定积分的基本思想；了解定积分的概念求由曲线围成的平面图形的面积微积分基本定理了解微积分基本定理的含义；会用牛顿－莱布尼茨公式求被积函数是简单的幂函数，正、余弦函数，指数函数的定积分定积分的计算2．命题方向预测：从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与几何概型概率的计算相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下．预测2015年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向，一般以客观题形式出现．3．课本结论总结：（1）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a，b]；②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；③求和：f(ξi)?；④取极值：f(x)dx＝f(ξi)?．（2）定积分的性质性质1：；性质2：（为常数）（定积分的线性性质）；性质3：（定积分的线性性质）；推广：性质4：（其中）（定积分对积分区间的可加性）推广：说明：定积分的定义中，限定下限小于上限，即a＜b，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：．（3）微积分基本定理一般地，如果f(x)在区间[a，b]上连续，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．（4）常用定积分公式：①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．4．名师二级结论：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．三条性质（1）常数可提到积分号外；（2）和差的积分等于积分的和差；（3）积分可分段进行．四种求定积分的方法①利用定义求定积分；②利用微积分基本定理求定积分；③利用定积分的几何意义求定积分．如：定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx＝；④利用积分的性质．两类典型的计算曲边梯形面积的方法（1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；③由一条曲线，当时，；当时，与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；④由两条曲线（与直线所围成的曲边梯形的面积：（如图（4））（2）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，然后利用求出（如图（5））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（6））；③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（7））；5．课本经典习题：（1）【人教新课标A版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值．【经典理由】典型的应用定义计算定积分（2）【人教新课标A版2-2第56页，例1】计算由曲线所围成图形的面积．【变式】由曲线所围成图形的面积为____________．6．考点交汇展示：（1）定积分计算与几何概型交汇例1【广东省梅州市2014届高三3月质检】．如图，设D是图中边长为2的正方形区域．，E是函数的图像与x轴及围成的阴影区域，项D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A．B．C．D．[来源:学科网]（2）定积分的计算与函数的性质交汇例2【2014年高考原创预测卷（浙江理科）】．若，则等于．（3）定积分的计算与二项式定理的应用交汇例3【2014届安徽六校教育研究会高三2月联考数学理】．已知则二项式的展开式中的系数为．【考点特训】1．【河南省安阳一中2015届高三第一次月考8】如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．2．【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）13】直线与抛物线所围图形的面积等于_____________3．【2014届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】设，则下列关系式成立的是（）A．B．C．D．4．【学科网高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为________．5．【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试12】图中阴影部分的面积等于．6．【2014年哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】()A．0B．C．D．7．【唐山一中2014下学期调研考试试卷】直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为()A．B．C．D．[来源:学.科.网Z.X.X.K]8．【稳派2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2B．eC．2eD．9．【2014黑龙江哈尔滨】下列值等于的定积分是（）10．【2014辽宁】如图，阴影部分的面积是( )A．2B．2－C．D．11．【2014山西山大附中高三5月月考理科】( )A．B．C．D．12．【2014湖南雅礼中学模拟】曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．13．【2014江西师大附中高三三模理科】已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（）A．33B．46C．48D．5014．【2014南京调研】给出如下命题：①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a＜b)；②；③曲线y＝sinx，x∈[0，2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2．其中正确命题的个数为( )A．0B．1C．2D．315．【2014浙江五校联考】已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则( )A．2B．1C．3D．416．【2014广州综合测试】函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1，5]上( )A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－C．有最大值－，无最大值D．既无最大值也无最小值17．【2014福建莆田高三质检】如图，由函数f(x)＝ex－e的图象，直线x＝2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )A．e2－2e－1B．e2－2eC．D．e2－2e＋118．【2014山东淄博模拟】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为( )A．15B．20C．25D．3019．【2014湖北孝感高中高三5月摸底理科】若在R上可导，，则____________．20．【2014中山一模】设f(x)＝若f[f（1）]＝1，则a＝________．21．【2014上海模拟】已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0，0)、B(，5)、C(1，0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．22．【2014湖北孝感高中高三5月摸底理科】如图，甲、乙、丙中的四边形ABCD都是边长为2的正方形，其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB的中点、B点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D点)下方的部分，丙图中阴影部分是以C为圆心、半径为2的圆弧下方的部分．三只麻雀分别落在这三块正方形木板上休息，且它们落在所在木板的任何地方是等可能的，若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是，则的大小关系是．23．【海淀区高三年纪第二学期其中练习理】函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_______．24．【河北省邯郸市2014届高三上学期第二次模拟考试】=_______．[来源:学科网ZXXK]25．【2014年辽宁省大连市高三双基考试】_______．26．【2014江西鹰潭】设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则．27．【2014吉林一中】设，则二项式展开式中的项的系数为【考点预测】1．【热点1预测】若则等于（）A．B．C．D．2．【热点2预测】曲线与直线y=围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．3．【热点3预测】一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+4，（t）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是______km．
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