（2007o随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-x-6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）
（1）根据E（6，0），F（2，4），利用待定系数法可求得EF所在直线的解析式；
（2）根据梯形OEFG的面积为（2+6）o4，A（a，-a+6，
由题意得，
若S的值为，则可得a2-6a+5=0，所以a1=1，a2=5，又a1=1不合题意，舍去，取a=5，
可求得当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的；
（3）满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有关角和线段可求得P1（0，）；
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上，可求2(0，-
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，点A与点F重合，即3(0，2
)，所以满足条件的点P坐标为．
解：（1）E（6，0），F（2，4），EF所在直线的解析式为y=-x+6．
（2）梯形OEFG的面积为（2+6）o4，
∵点A（a，b）在直线EF上，
∴A（a，-a+6，
由题意得，
若S的值为，则，
即a2-6a+5=0，∴a1=1，a2=5，
又a1=1不合题意，舍去，取a=5；
∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的．
（3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，
∵点A在直线y=-x+6上，∴AM=-x+6，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=AP=AM；
∴OP=OQ+QP=AM=（-x+6），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OMotan∠PMO=x；
∴（-x+6）=x，x=．
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上；
Rt△P2OM中，∠P2MO=120°-90°=30°，且OM仍为；
∴2=OMotan∠P2MO=
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，
设OM=x，在Rt△P3OM中，∠P3MO=90°-30°=60°，
∴3=OMotan∠P3MO=
此时点A的坐标为，即点A与点F重合，∴3=2
，即3(0，2
由①，②，③得，满足条件的点P坐标为．登录后可查看测评记录，现在去
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如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，&DAB=45&，AB=10，CD=4．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10，点A与点N重合，MN与AB在同一条直线上．等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，直到点N与点B重合为止．设运动的时间为x（s）（），等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y．（1）在整个运动过程中，当点D落在PN上时，运动的距离为(&&&&)
正确答案：B
知识点：&&&&&&
图形运动产生的面积问题，第一步需要研究基本图形，需要把运动图形跟运动背景结合起来进行对比研究，也就是需要把△PMN和等腰梯形ABCD研究清楚．如图，过点D作DE&AB于点E，过点C作CF&AB于点F，各线段长如图所示，容易发现，PN∥CB，PM∥AD．当点D落在PN上时，如图所示，四边形DNBC是平行四边形，∴BN=CD=4，∴AN=AB-BN=10-4=6，即运动的距离为6．已知了,,的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式,进而可得到其对称轴方程和顶点的坐标.在两条直线平移的过程中,梯形的上下底发生了改变,但是梯形的高没有变化,仍为,即,可根据抛物线的解析式,用,表示出,,然后联立,可得到第一个关于,的关系式;在两条直线平移过程中,抛物线的对称轴没有变化,可用,以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长,进而可得到梯形面积的表达式,这样可得到另外一个,的关系式,联立两个关系式,即可得到关于与的关系式,将代入的关系式中,即可列方程组求得,的值,进而可求出点的坐标.要解答此题,首先要弄清几个关键点:一,当时,设直线与抛物线对称轴的交点为,可得,可用表示出,的长,而点坐标易求得,根据相似三角形所得比例线段,即可得到此时的值即;二,当,都停止运动时,显然,所以此时;可分两种情况讨论:当时,设直线与直线的交点为,与轴的交点为;由题意知,得,由于轴,则,由此可证得,,的长已求得,可用表示出,的长,根据相似三角形所得比例线段,即可求得此时的值;当时,方法同;在求得的值后,还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去.
对称轴:直线,解析式:,顶点坐标:.由题意得,,得:,,得:,把代入并整理得:,当时,,解得:,把代入抛物线解析式得,点.存在易知直线的解析式为,可得直线与对称轴的交点的坐标为,,,,,当时,,,得,下面分两种情况讨论:设直线与直线,轴的交点分别为点,;当时,如图;,,;易得,,,得,(舍去);当时,如图;,,,,,易得,,,;当秒时,使直线,直线,轴围成的三角形与直线,直线,抛物线的对称轴围成的三角形相似.
本题是二次函数的综合类试题,涉及到:二次函数解析式的确定,等腰梯形的性质,图形面积的求法,相似三角形的判定和性质等重要知识;在题中能够正确的画出图形,并准确的找到所求的三角形是解答此题的关键.
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求解答 学习搜索引擎 | 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0),A(2,0),B(6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴,解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA,CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点{{O}_{1}},{{A}_{1}},{{C}_{1}},{{B}_{1}},得到如图2的梯形{{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}.设梯形{{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}的面积为S,{{A}_{1}},{{B}_{1}}的坐标分别为({{x}_{1}},{{y}_{1}}),({{x}_{2}},{{y}_{2}}).用含S的代数式表示{{x}_{2}}-{{x}_{1}},并求出当S=36时点{{A}_{1}}的坐标;(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P,Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P,Q两点同时停止运动.设P,Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ,直线AB,x轴围成的三角形与直线PQ,直线AB,抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.因为抛物线经过点和点,所以把点和点的坐标代入抛物线的解析式中得到关于和的方程,联立解出和,即可得到抛物线的解析式,又因为点是抛物线与轴的另一交点,令即可求出点的坐标.根据中求出的抛物线的解析式求出顶点的坐标,根据与相等且互相垂直得到三角形为等腰直角三角形,得到角为,根据勾股定理分别求出和的长,求出与的比值及与的比值,发现两比值相等,且由角与角都等于,推出角为,而角也为,根据两边对应成比例且夹角相等,得到两三角形相似,得证;考虑两种情况,当在轴上(的右边),且角为直角时,三角形与三角形,相似比为比,所以比也等于相似比即可求出的长,进而求出的坐标;当在轴的负半轴上时,角为直角,比为相似比,斜边与之比等于相似比即可求出的长,进而求出的坐标;写出的两种情况的坐标即可;若四边形为菱形,根据菱形对角线的性质得到垂直平分,得到点在线段的垂直平分线上,由等于得到直线平分角,即可求出的解析式为,将与抛物线的解析式联立即可求出的坐标.
把,代入得:,解得:,抛物线的解析式为:,令,即,解得:,(舍去),点的坐标是;证明:可求得顶点;,,,由勾股定理求得:,.,易知:,故,.存在符合条件的点有两个:或;若四边形为菱形,则垂直平分,点在线段的垂直平分线上,,直线平分,即:直线的解析式为,点在抛物线上,,解得,或.
此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式,掌握两三角形相似的证明方法,考查了数形结合的数学思想,是一道综合题.也是中考中的压轴题.
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第三大题，第7小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,已知抛物线y=-{{x}^{2}}+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C(0,3).(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标;(2)设抛物线的顶点为D,连接CD,DB,CB,AC.\textcircled{1}求证:\Delta AOC相似于三角形DCB;\textcircled{2}在坐标轴上 ___是否存在与原点O不重合的点P,使以P,A,C为顶点的三角形与\Delta DCB相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设Q是抛物线上一点,连接QB,QC,把\Delta QBC沿直线BC翻折得到\Delta {Q}'BC,若四边形QB{Q}'C为菱形,求此时点Q的坐标.当前位置：
＞＞＞如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0..
如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若S梯形OBCD=，求点C的坐标；（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：偏难来源：四川省期中题
解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，把A，B的坐标代入得：k=﹣，b=，所以直线AB的解析为：y=x+； （2）设点C坐标为（x，x+），那么OD=x，CD=x+．∴S梯形OBCD==．由题意得：=，解得：x1=2，x2=4（舍去），∴C（2，）； （3）当∠OBP=90°时，如图：①，若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，∴P1（3，）；②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．∴P2（1，）；当∠OPB=90°时，③过点P作OP⊥AB于点P（如图），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA于点M．在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=．∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，∴OM=OP=；PM=OM=．∴P3（，）；④若△POB∽△OBA（如图），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．∴PM=OM=．∴P4（，）（由对称性也可得到点P4的坐标）．当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．综上所述得，符合条件的点有四个，分别是：P1（3，），P2（1，），P3（，），P4（，）．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0..”主要考查你对&&求一次函数的解析式及一次函数的应用，一次函数的图像，梯形，梯形的中位线，相似三角形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求一次函数的解析式及一次函数的应用一次函数的图像梯形，梯形的中位线相似三角形的判定
待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系一次函数的图象：一条直线，过（0，b），（，0）两点。 性质：（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。k，b决定函数图像的位置：y=kx时，y与x成正比例：当k&0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k&0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。y=kx+b时：当 k&0，b&0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。当b&0时，直线必通过第一、二象限；当b&0时，直线必通过第三、四象限。特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。这时，当k&0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k&0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的画法：（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。 梯形的中位线：连结梯形两腰的中点的线段。& 梯形性质：①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等。
梯形判定：1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中位线长度=（上底+下底）梯形的周长与面积：梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。梯形的分类：等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。 （2）等腰梯形的对角线相等。 （3）等腰梯形是轴对称图形。 等腰梯形的判定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
发现相似题
与“如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0..”考查相似的试题有：
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