选择稀疏矩阵乘法最优存储格式的研究--《计算机研究与发展》2014年04期
选择稀疏矩阵乘法最优存储格式的研究
【摘要】：稀疏矩阵向量乘法(sparse matrix vector multiplication,SpMV)是科学和工程领域中重要的核心子程序之一,也是稀疏基本线性代数子程序(basic linear algebra subprograms,BLAS)库的重要函数.目前很多SpMV的优化工作在不同程度上获得了性能提升,但大多数优化工作针对特定存储格式或一类具有特定特征的稀疏矩阵缺乏通用性.因此高性能的SpMV实现并没有广泛地应用于实际应用和数值解法器中.另外,稀疏矩阵具有众多存储格式,不同存储格式的SpMV存在较大性能差异.根据以上现象,提出一个SpMV的自动调优器(SpMV auto-tuner,SMAT).对于一个给定的稀疏矩阵,SMAT结合矩阵特征选择并返回其最优的存储格式.应用程序通过调用SMAT来得到合适的存储格式,从而获得性能提升,同时随着SMAT中存储格式的扩展,更多的SpMV优化工作可以将性能优势在实际应用中发挥作用.使用佛罗里达大学的2 366个稀疏矩阵作为测试集,在Intel上SMAT分别获得9.11GFLOPS(单精度)和2.44GFLOPS(双精度)的最高浮点性能,在AMD平台上获得了3.36GFLOPS(单精度)和1.52GFLOPS(双精度)的最高浮点性能.相比Intel的核心数学函数库(math kernel library,MKL)数学库,SMAT平均获得1.4~1.5倍的性能提升.
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【分类号】：TP333;TP311.1【正文快照】：
稀疏矩阵向量乘法(简称“SpMV”)是科学和工程领域中重要的核心子程序之一,SpMV的性能对应用起着至关重要的作用,如激光聚变大规模数值模拟和电路模拟等应用.由于应用中的求解线性方程组的部分通常通过调用数值解法器[1]实现,因此SpMV在数值解法器中的性能直接决定了SpMV在实
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【参考文献】
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宋庆增;顾军华;;[J];计算机工程;2011年23期
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张芡;[D];清华大学;2013年
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汤毅凡;[D];华中科技大学;2007年
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武晓红;[D];内蒙古大学;2011年
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矩阵乘法最优算法
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矩阵与行列式
线性空间与线性变换
這篇文章給出多種相乘方法的綜述。
矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的列數（column）和第二個矩陣的行數（row）相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若A為矩陣，B為矩陣，則他們的乘積AB(有時記做A · B）會是一個矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：
以上是用的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解，運算結果相等：
左邊的圖表示出要如何計算AB的（1,2）和（3,3）元素，當A是個4×2矩陣和B是個2×3矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。
這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把和各相乘後相加起來。設A和B是兩個給定如下的矩陣：
舉個例子來說：
左面矩陣的列為為係數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。
一般矩陣乘積也可以想為是和的。若A和B為給定如下的矩陣：
A1是由所有a1,x元素所組成的向量，A2是由所有a2,x元素所組成的向量，以此類推。
B1是由所有bx,1元素所組成的向量，B2是由所有bx,2元素所組成的向量，以此類推。
矩陣乘法是不的（即AB ≠ BA），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。
雖然矩陣乘法是不可交換的，但AB和BA的總會是一樣的（當A、B是同樣大小的方陣時）。其解釋在行列式條目內。
當A、B可以被解釋為，其矩陣乘積AB會對應為兩個線性算子的，其中B先做用。
先輸入要相乘的兩個矩陣，大小分別為和（注意：矩陣1的column數必須等於矩陣2的row數，矩陣乘法才有定義）；
用滑鼠選取大小為的空白格矩陣；
選取「MMULT函數」；
在函數引數視窗的array 1選取第一個矩陣，array 2選取第二個矩陣；
不要按「確定」，而是按Ctrl+? Shift+? Enter這三個鍵的組合來關閉函數引數視窗。
以上步驟可參見MMULT函數引數視窗裡的「函數說明」。
矩陣A =（aij）和純量r的純量乘積rA的矩陣大小和A一樣，rA的各元素定義如下：
若我們考慮於一個的矩陣時，上述的乘積有時會稱做左乘積，而右乘積的則定義為
當環是時，例如實數體或複數體，這兩個乘積是相同的。但無論如何，若環是不可交換的話，如，他們可能會是不同的。例如，
給定兩個相同維度的矩陣，我們有阿達馬乘積，或稱做分素乘積（entrywise product）。兩個m×n矩陣A、B的乘積標記為，為一定義為 的m×n矩陣。例如，
需注意的是，阿達馬乘積是克羅內克乘積的。
給定任兩個矩陣和，我們可以得到兩個矩陣的直積，或稱為乘積，其定義如下
當是一矩陣和是一矩陣時，會是一矩陣，而且此一乘積也是不可交換的。
舉個例子，
若A和B分別表示兩個線性算子V1 → W1和V2 → W2，A?B便為其映射的，V1 ? V2 → W1 ? W2.
上述三種乘積都符合：
A(BC) = (AB)C
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
而且和純量乘積相容：
c(AB) = (cA)B
(Ac)B = A(cB)
(AB)c = A(Bc)
注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換（即純量體為一可交換環）時會相同。
（works in Firefox）
Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
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Horn, R Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.设A、B和C分别是85*3、3*30和30*5的矩阵,试问应该按照什么顺序计算矩阵乘法ABC,才能使计算量最小?_百度作业帮
设A、B和C分别是85*3、3*30和30*5的矩阵,试问应该按照什么顺序计算矩阵乘法ABC,才能使计算量最小?
设A、B和C分别是85*3、3*30和30*5的矩阵,试问应该按照什么顺序计算矩阵乘法ABC,才能使计算量最小?
本题总共有两种顺序,A×B×C,或者A×（B×C）,前面一种的运算需要,（3次乘法+2次加法）×85×30+（30次乘法+29次加法）×85×5；后面一种运算需要,（30次乘法+29次加法）×3×5+（3次乘法+2次加法）×85×5[信息与通信]第二章 matlab矩阵及其运算matlab and engineering calculation第2章..
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[信息与通信]第二章 matlab矩阵及其运算
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