如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，F是AE的中点．（1）证明：DF ∥ 平面ABC；（2）求AB与平面BDF所成角的大小．
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如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，F是AE的中点．（1）证明：DF ∥ 平面ABC；（2）求AB与平面BDF所成角的大小．
如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，F是AE的中点．（1）证明：DF ∥ 平面ABC；（2）求AB与平面BDF所成角的大小．
证明：（1）取AB中点G，连CG，GF，则GF ∥ BE，且GF=
BE．∴GF ∥ CD且GF=CD∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF ∥ CG，∵CG?平面ABC又DF?平面ABC∴DF ∥ 平面ABC．（2）设A到平面BDF距离为h，由V A-BDF =V D-ABF 知 h=
又△BDF中，BF=
=1，CB=2 ，∴ h=
设AB与平面BDF所成角为θ，则 sinθ=立体几何 30-第10页
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立体几何 30-10
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立体几何 30等内容。
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出门在外也不愁分析：（1）证明1：由余弦定理得AC=3BC，所以AC⊥BC，由此能够证明AC⊥平面FBC．证明2：设∠BAC=α，∠ACB=120°-α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）结合已知条件推导出AC⊥FC．由平面CDEF为正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解法2：由题设条件推导出CA，CB，CF两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2-2×2BC?BC?cos60°，即AC=3BC．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）证明2：因为∠ABC=60°，设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°-α．在△ABC中，由正弦定理，得BCsinα=ABsin(120°-α)．…（1分）因为AB=2BC，所以sin（120°-α）=2sinα．整理得tanα=33，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中点M，连结MD，ME，因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…（8分）因为MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．&…（9分）所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角．&…（10分）因为NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因为MN=32AD，ME=MD2+DE2=2AD，…（12分）在Rt△MNE中，sin∠MEN=MNME=64．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为64．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系C-xyz．…（7分）因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），A(3，0，0)，D(32，-12，0)，E(32，-12，1)，所以BF=(0，-1，1)，DA=(32，12，0)，DE=(0，0，1)．…（9分）设平面ADE的法向量为n=（x，y，z），则有n?DA=0n?DE=0.即32x+y2=0z=0.取x=1，得n=(1，-3，0)是平面ADE的一个法向量．…（11分）设直线BF与平面ADE所成的角为θ，则sinθ=|cos?BF，n＞|=|BF?n|BF|?|n||=|(0，-1，1)?(1，-3，0)2?2|=64．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为64．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
19、如图在正方形AS1S2S3中，E、F分别是边S1S2、S2S3的中点，D是EF的中点，沿AE、EF、AF把这个正方形折成一个几何体，使三点S1、S2、S3重合于一点S，下面有5个结论：①AS⊥平面SEF；②AD⊥平&面SEF；&&&③SF⊥平面AEF；&&&④EF⊥平面SAD；⑤SD⊥平面AEF；&&&⑥AS⊥EF．其中正确的是
．（填上所有正确结论的序号）
科目：高中数学
（2013?上海）&在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π2+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．
科目：高中数学
来源：2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷解析版）
题型：填空题
在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________
科目：高中数学
如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点。
（1）证明：DF∥平面ABC；
（2）求AB与平BDF所成角的大小。
科目：高中数学
来源：2013年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）
题型：填空题
&在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为&&& ．