（2013o平谷区一模）（1）如图（1），△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；______（2）如图（2），Rt△ABC中，_百度作业帮
（2013o平谷区一模）（1）如图（1），△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；______（2）如图（2），Rt△ABC中，
（2013o平谷区一模）（1）如图（1），△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；______（2）如图（2），Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC，BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=______°，并写出你的推理过程．
（1）∵△ABC是等边三角形，∴△B=∠ACE=60°，AC=BC，在△AEC和△CDB中，，∴△ACE≌△CDB（ASA），∴∠BCD=∠CAE，∴∠APD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，故答案为：60°．（2）过A作AK⊥AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，则∠KAM=∠MBC=90°，∵在△KAM和△MBC中∴△KAM≌△MBC（SAS），∴KM=CM，∠AMK=∠MCB，∵∠CMB+∠MCB=90°，∴∠CMB+∠AMK=90°∴∠KMC=90°，∴△KMC为等腰直角三角形，∴∠MCK=45°，又∵∠KAM=∠B=90°，AK=CN，∴AK∥CN，∴四边形ANCK是平行四边形，∴KC∥AN，∴∠APM=∠KCM=45°，故答案为：45．
本题考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
问题解析：
（1）根据等边三角形性质得出∠B=∠ACE=60°，AC=BC，证△ACE≌△CDB，推出∠BCD=∠CAE，根据三角形外角性质求出即可；（2）过A作AK⊥AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，证△KAM≌△MBC，推出KM=MC，求出∠KMC=90°，推出四边形AKCN是平行四边形，推出KC∥AN，根据平行线性质求出即可．在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点过D点作DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长连接BD,∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,∴BD⊥AC,BD=CD=AD,∠ABD=45°,∴∠C=45°,又DE丄DF,∴∠FDC=∠ED_百度作业帮
在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点过D点作DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长连接BD,∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,∴BD⊥AC,BD=CD=AD,∠ABD=45°,∴∠C=45°,又DE丄DF,∴∠FDC=∠ED
在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点过D点作DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长连接BD,∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,∴BD⊥AC,BD=CD=AD,∠ABD=45°,∴∠C=45°,又DE丄DF,∴∠FDC=∠EDB,∴△EDB≌△FDC,∴BE=FC=3,∴AB=7,则BC=7,∴BF=4,在直角三角形EBF中,EF^2=BE^2+BF^2=3^2+4^2,∴EF=5．答：EF的长为5．这里为什么BD=CD=AD
连接BD,∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,∴BD⊥AC,BD=CD=AD,∠ABD=45°,∴∠C=45°,又DE丄DF,∴∠FDC=∠EDB,∴△EDB≌△FDC,∴BE=FC=3,∴AB=7,则BC=7,∴BF=4,在直角三角形EBF中,EF^2=BE^2+BF^2=3^2+4^2,∴EF=5．答：EF的长为5．
因为“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”AC是直角三角形ABC的斜边，D为AC边上中点即BD是斜边上的中线。因此，BD=CD=AD如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②；③；④S△EFB=2S△ADE；⑤AE=．其中，正确结论的个数为____-乐乐课堂
& 翻折变换（折叠问题）知识点 & “如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，...”习题详情
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②；③；④S△EFB=2S△ADE；⑤AE=．其中，正确结论的个数为B&2个3个4个5个
本题难度：一般
题型：单选题&|&来源：2012-重庆市沙坪坝区中考数学模拟试卷（一）
分析与解答
习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②...”的分析与解答如下所示：
∵三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，∴∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90&，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠CBD=∠BDC，∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；设CE=x，则CB=x+1，在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，即（x+1）2=22+x2，解得x=，∴BC=1+x=，∴S梯形ABCD=（1+）&2=，所以②正确；在Rt△BCE中，cos∠C===，所以③错误；∵AF⊥BD，∴Rt△ABF∽Rt△DAF，∴S△ABF：S△DAF=AB2：AD2=4：1，而S△ABF=S△BEF，S△DAF=S△DEF，∴S△EFB=2S△ADE，所以④正确；∵S四边形ABED=BDoAE=2S△ABD，而BD==，∴&oAE=2&&2&1，∴AE=，所以⑤错误．故选B．
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰...
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经过分析，习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②...”主要考察你对“翻折变换（折叠问题）”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
与“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②...”相似的题目：
如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点CD分别落在C′D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=50°，那么∠BEG=（　　）50°60°70°80°
如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A1的位置．若OB=，，则点A1的坐标为&&&&．
如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线y=-x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．&&&&
“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，...”的最新评论
该知识点好题
1（2006o宿迁）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于（　　）
2如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为（　　）
3如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C′的位置时，BC′与AD交于E，若AB=6cm，BC=8cm，则重叠部分△BED的面积是（　　）
该知识点易错题
1如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有（　　）
2如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（　　）
3如图将六边形ABCDEF沿着直线GH折叠，使点A、B落在六边形CDEFGH的内部，则下列结论一定正确的是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②；③；④S△EFB=2S△ADE；⑤AE=．其中，正确结论的个数为____”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90&，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：①△BCD是等腰三角形；②；③；④S△EFB=2S△ADE；⑤AE=．其中，正确结论的个数为____”相似的习题。（1）见解析
（2）菱形【解析】试题分析：（1）根据条件证明可得；（2）画出较标准的图形，可猜想是菱形，通过证明△ABD≌△ABE，结合其他条件证明BD=BE=EF=FD即可.试题解析：证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AB=AC，∴∠BAE=∠CAD，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴BE=CD；（2）∵AD⊥BC，∴BD=CD，∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，∴∠BAE=∠BAD，在△ABD和△ABE中，，∴△ABD≌△ABE（SAS），∴∠EBF=∠DBF，∵EF∥BC，∴∠DBF=∠EFB，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴BD=BE=EF=FD，∴四边形BDFE为菱形．考点：1.图形的旋转；2.全等三角形的判定与性质；3. 菱形的判定.
考点分析：
考点1：三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．
考点2：四边形
四边形：四边形的初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。主要考察内容：①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。突破方法：①掌握多边形，四边形的性质和判定方法。熟记各项公式。②注意利用四边形的性质进行有关四边形的证明。③注意开放性题目的解答，多种情况分析。
考点3：图形的平移与旋转
将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。
平移基本性质：
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等
（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移
平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点
1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：
1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。
平移作图的步骤：
（1）找出能表示图形的关键点；
（2）确定平移的方向和距离；
（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；
（4）按原图的顺序，连结各对应点。
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
来源：学年辽宁省东港市九年级九校联考数学试卷（解析版）
题型：填空题
因式分解：a-4ax+4a=_________．
科目：初中数学
来源：学年江苏省盐城市盐都区西片九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）
题型：解答题
（本题满分10分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
科目：初中数学
来源：学年江苏省盐城市盐都区西片九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）
题型：选择题
已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为
科目：初中数学
来源：学年江苏省联盟九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）
题型：解答题
（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：学年江苏省联盟九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）
题型：填空题
某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tan α＝，则此圆锥的侧面积是__________平方米（结果保留π）．
科目：初中数学
来源：学年江苏省联盟九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）
题型：填空题
有一组数据如下：3，a,4,6,7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是
科目：初中数学
来源：学年江苏省无锡市九年级4月阶段检测数学试卷（解析版）
题型：解答题
（本题满分8分）（1）解方程
（2）解不等式组
科目：初中数学
如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A请尝试解决以下问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，且∠BAE=45°，DE=4，求BE的长．
（3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2=DE2始终成立，请说明理由．
解：（1）根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
故答案为：FAE；△EAF；GF；&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）过A作AG⊥BC，交CB延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C=∠D=90°，
又∠CGA=90°，AD=CD，
∴四边形AGCD为正方形．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴CG=AD=10．
已知∠BAE=45°，
根据（1）可知，BE=GB+DE．
设BE=x，则BG=x-4，
∴BC=14-x．
在Rt△BCE中，∵BE2=BC2+CE2，即x2=（14-x）2+62．&&&&&&&&&&
解这个方程，得：x=．
（3）证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，
则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2，
即BD2+CE2=DE2…（11分）
（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；
（3）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．