如图所示.在△ABC中.分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD.等边△ACE.等边△BCF．(1)求证:四边形DAEF是平行四边形,(2)探究下列问题:(只填满足的条件.不需要证明)①当∠A= 时.四边形DAEF是矩形,②当△ABC满足 条件时.四边形DAEF是菱形． 题目和参考答案——精英家教网——
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如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF．（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）①当∠A=时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形．
考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,矩形的判定
分析：（1）根据等边三角形的性质得出AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△FCE，推出EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，即可推出答案；（2）①求出∠DAE的度数，根据矩形的判定推出即可；②求出AD=AE，根据菱形的判定推出即可．
解答：（1）证明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等边三角形，∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，在△BCA和△FCE中，BC=CF∠BCA=∠FCEAC=CE，∴△BCA≌△FCE（SAS），∴EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，∴四边形DAEF是平行四边形；（2）解：①当∠A=150°时，四边形DAEF是矩形，理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，∵四边形DAEF是平行四边形，∴四边形DAEF是矩形，故答案为：=150°；②当△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形DAEF是菱形，理由是：由（1）知：EF=BA=AD，DF=AC=AE，∵AB=AC，∴AD=AE，∵四边形DAEF是平行四边形，∴四边形DAEF是菱形，故答案为：AB=AC≠BC．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定的应用，解此题的关键是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了学生的推理能力．
科目：初中数学
一个不透明的袋中有形状和大小完全一样的8个小球，其中4个红色，2个黄色，2个白色，从袋中任意地同时摸出3个球，能摸到红球、黄球、蓝球的这件事件（　　）
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科目：初中数学
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科目：初中数学
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科目：初中数学
在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（2，1），C（4，3），（1）在平面直角坐标系内找一点D，使A，B，C，D&四点构成一个平行四边形，请直接写出点D的坐标．答：点D的坐标为；（2）在x轴上找一点E、在y轴上找一点F，使A、B、E、F四点构成一个平行四边形，请画出符合题意的平行四边形，并写出E、F两点的坐标．
科目：初中数学
化简计算（-）×（-）×÷（-）
科目：初中数学
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于O点，DH垂直且平分AB，BD=8cm，求：DH，AC的长和菱形的面积．
科目：初中数学
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求证：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形为平行四边形,其周长等于原四边形的对角线之和
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连接原来四边形的一条对角线根据三角形中位线定理,可以得到新得到的四边形的一组对边和这条对角线平行,且等于它的一半,所以这组对边平行且相等,从而得到这是平行四边形.再连接另一条对角线,同样得到另一组对边是这条对角线的一半所以顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形为平行四边形,其周长等于原四边形的对角线之和
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证明：四边形 ABCD中，EFGH分别为AB BC CD DA 中点 联结EFGH，在三角形ABC中，EF是AC边的中位线，EF平行AB且等于1/2 AB,同理，GH平行AB且等于1/2 AB,所以EF平行GH且等于GH，EFGH为平行四边形
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在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
由题意先证∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．
∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，
∠BAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（...
考点分析：
考点1：全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
考点2：等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
考点3：平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
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难度：中等
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(2013镇江)如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．(1)求证：△ABE≌△DCF；(2)试证明：以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
主讲：王文芳
【思路分析】
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．
【解析过程】
证明：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵在△ABE与△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
证明：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵在△ABE与△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．在证明（2）题时，利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理．
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