求旋转体的体积公式面z =x+y与 z =9所围的立体体积

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-06-24 19:58 标签： 旋转体的体积公式
求由曲面z=2-x^2 , z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积_百度知道
求由曲面z=2-x^2 , z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积
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首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线。通过消去z，我们得到：2-x²=x²+2y²即x²+y²=1所以，此曲线位于半径为1的圆柱面上。那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1要找到z的积分限，就需要知道两个曲面哪个在上面，哪个在下面。因为所包的体积在圆柱内部，所以要求x²+y²&1。用这个条件，我们发现2-x²&x²+2y²，即z=2-x²在上面，z=x²+2y²在下面。根据上面的讨论，我们就可以写出体积分：V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限，^(2-x²)表达z积分的上限。(记住xy积分限是圆形x²+y²=1。)对z的积分很容易：∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²剩下的就是对xy的两重积分。V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy这个积分最容易在极坐标里做。变换为极坐标时，x²+y²=r²，dxdy=rdrdφ。积分限为r从0到1，φ从0到2π。V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ两个积分各为：∫_0^(2π)dφ=2π∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2V=(1/2)2π=π所以体积是π。
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请各位帮帮我解决一下，谢谢！
曲面1为锥面z?=x?+y?的上半平面曲面2为球面x?+y?+(z-1)?=1的上半平面两者相交曲线为x?+y?=1这个立体相当于冰淇淋的形状下半个是圆锥上半个是半球形用二重积分体积=∫∫{[1+√(1-x?-y?)]-√(x?+y?)}d∑(∑是该立体在XOY平面的投影，即∑为x?+y?=1包围的圆面）用极坐标代换x=rcost y=rsint 则0&=t&=2π 0&=r&=1 d∑=rdrdt代入体积表达式得体积V＝∫∫[1+√(1-r?)-r]rdrdt=∫dt∫[r+r√(1-r?)-r?]dr=2π*[r?/2 - (1-r?)/3 *√(1-r?) - r?/3]|1,0=π
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曲面z^2=x^2/4+y^2/9是椭圆锥面——红色——在上方曲面2z=x^2/4+y^2/9是椭圆抛物面——粉色——在下方如图两曲面所围的立体是锥面外、椭圆抛物面内的那部分——是外壳——体积值是,以椭圆锥面为顶的曲顶柱体的体积减去以椭圆抛物面为顶的曲顶柱体的体积.&把两曲面所围的立体投向xoy面所得的投影,就是两曲面的交线（绿色）在xoy面的投影所围成的平面区域.&所以,问题第一：xoy面上的投影是根据解出的两个曲面的交线：x^2/4+y^2/9=4确定的.解交线的方法是,联立方程z^2=x^2/4+y^2/9和2z=x^2/4+y^2/9,得到z^2=2z,得到z=0和z=2,在z=2,得到交线x^2/4+y^2/9=4.问题第二：求体积时是用根号下（x^2/4+y^2/9）-1/2*（x^2/4+y^2/9）,这是因为,椭圆锥面z^2=x^2/4+y^2/9——红色——在上方,而椭圆抛物面2z=x^2/4+y^2/9——粉色——在下方.求由柱面x^2+y^2=Rx和球面x^2+y^2+z^2=R^2所围成的立体的体积_百度知道
求由柱面x^2+y^2=Rx和球面x^2+y^2+z^2=R^2所围成的立体的体积
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由对称性，只需计算xy平面上方部分的体积然后乘以2即可。记D={（x，y）：x^2+y^2&=Rx}，于是V=2倍的二重积分（D）根号(R^2--x^2--y^2)dxdy
极坐标变换x=rcosa,y=rsina=2*积分（--pi/2到pi/2）da 积分（从0到Rcosa）根号(R^2--r^2)rdr=4/3*积分（从0到pi/2）da (R^2--r^2)^(3/2)|上限r=0下限r=Rcosa=4R^3/3*积分（从0到pi/2）(1--sin^3a)da=4R^3/3*(pi/2--2/3)
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在电脑上画这种图确很困难,就免了吧!此类二重积分最好用极坐标进行计算.积分域D:由x²+y²=2ax,得(x-a)²+y²=a²,这是一个园心在(a,0,0),以a为半径的园(取a＞0).基于积分域和被积函数的对称性,可取位于第一挂限内的半个园作积分域,此时θ由0积到π/2,r由0积到2a.由az=x²+y²,得被积函数z=x²/a+y²/a.于是所围体积V=2∫∫(D/2)[(x²+y²)/a]dxdy=2∫∫(D/2)[r²(cos²θ+sin²θ)/a]rdrdθ=2∫(0,π/2)dθ∫(0,2a)(r³/a)dr=2(π/2)·(2a)^4/4a=4πa³.

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