旋转体绕y轴的体积的体积题目高等数学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-11 17:44 标签： 旋转体的体积公式
旋转体体积计算的一般公式
旋转体体积计算的一般公式程曹宗（北京工业大学计算机学院１０００４４）关于旋转体体积的计算，这是一个熟知的问题，在高等数学教科书中均有这方面内容介绍，其结论是：若一连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的弧ＡＢ与直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周，产生了一个旋转体，其体积Ｖ等于对ｙ轴旋转亦有类似结果．图１但是，若平面曲线绕任一条直线旋转它所产生的旋转体的体积又如何计算呢？这个问题在数学计算本身以及它对实际问题的应用中都具有一定的意义．也许人们直观感觉只要作一个坐标变换就把这种情形转化为对Ｘ轴（或ｙ轴）旋转的情形而计算出结果．其实不然．在作坐标变换的同时，曲线方程ｙ＝ｆ（ｘ）也改变了．这样一来，有可能使一个简单的函数ｆ（。）变得复杂了，很难计算出有关它的积分．同时对于每个具体问题都必须作它相应的坐标变换．第二届北京市大学生数学竞赛（１９９０年）出过这样一道题：计算：由曲线９—二‘与直线ｐ一一卜＞…在第一象限内所围成的图形绕该直线旋...&
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关于计算旋转体体积的一般公式,有下列定理;设*一fk)在区间卜,u上连续且可导,y0一友X十户为直线Z的方程,则曲边梯形**B/绕直IV。线l旋转一周所成旋转体体积为(见图l):l\Ilw－厂二7了丁…】刁方兀1卜＋户一1()」‘IN\O＋大勺。’‘入“’一”””一“I。;xe\”\门十足尸b)旧xkxkx\丫。·h。。)\,、证明:任取xe{a,门,则点(x,f(x》到(!;ti\/人t直线l的距离广为:r一kx＋P—f(x)/h:－－－－\I”厂AI过点(X,八X》作7的垂线R,设(X,n为垂\【xlrl、】线R上任意一点,则R的方程为:一一一刁十二一一斗一一一卜一一一十一一一、1．．一、．、＿。＿。。、,、I*一f(X)一二\(*一X)(在二0时理解为*二)‘“”一”k”““一”‘“—”‘“’”””‘“一IF:X＋by一址b)一X一0if于是,从原点。到直线。的距离为:卜HX)十XO/人耳在,过点。作。的平行线交。于o。若...&
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0引言在高等数学和数学分析教材中,关于旋转体的体积和侧面积的计算都考虑特殊情况,即首先假定旋转体是由曲线绕X轴或Y轴旋转一周所形成的,然后利用分割、求和、取极限的方法求其体积和侧面积,这种方法已成了求体积和侧面积的既定程序,那么对于曲线绕任意轴L旋转一周所形成的旋转体的体积怎样计算?不少人认为利用坐标变换,以任意轴L(旋转轴)为X′轴建立新的坐标系,再利用常规法进行求解即可。从理论上讲,这种方法能得到最终的结果,但事实上,由于曲线y=f(x)经坐标变换后,有时会变得非常复杂,例如求曲线y=ex(0≤x≤2)绕直线y=x旋转所形成的体积,当选y=x为X′轴建立新的坐标系后,曲线y=ex经坐标变换化为22x′+22y′=e22x′-22y′,这是一个关于x,y的隐函数,由这个方程我们很难得到y′=f(x′),就更不用说对其积分了。显然,这不是解决问题的办法。为此提出将微元法和解析法相结合,对一般旋转体的体积进行研究,并给出侧面积的计...&
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许多高等数学教材里，都给出了如下的曲线弧绕X轴旋转时所生成的旋转体体积的计算公式：但都未见有提到曲线弧绕任一直线y—kx＋m旋转时所生成的旋转体体积的计算公式。本文试应用分割、求和、取极限及定积分的概念，导出这种一般情形的计算公式。定理设曲线弧y一f（x）在［a，b」上光滑，它与直线y一kx＋m满足关系：l＋kf’（x）＞0，则该曲线弧绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积为：易得曲线弧上任意点（X，f（X》的旋转半径为：在〔a，日上任取n一五个分点：a＝X。＜XI＜X2＜…＜Xi＜…wtXn＝b，对应得到曲线弧上的点：（Xi，f（X；》，（i＝0，l，2，…，）．设过点（x；，f（x卜）且与旋转轴垂直的平面为al，因为1＋kf‘（x）＞0，故可知al必夹在a；．；与al＋；之间，（i—l，2，…，n－l），这些平面把旋转体分割成n个小旋转体，点（X；，f（X；...&
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0引言本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数 ,平面曲线 (图形 )绕一共面直线旋转所得旋转体的体积函数 ,给出了它们的积分表示式 ,进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。关于旋转体体积的计算问题 ,一般标准分析教材 [1,2 ] 中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积的积分公式 ,为了应用上的便利本文将其推广 ,给出平面图形绕任一共面直线旋转所得旋转体体积计算的一般积分公式。一般认为平面曲线是 (开 )直线段到平面内的一一的 ,双方连续的 ,在上映射的象[3] .在直线段a≤ t≤ b上引入坐标 t,在平面上引入笛卡尔直角坐标 ( x,y) ,则平面曲线的参数表示 (方程 )是x =x( t)y =y( t) ( a≤ t≤ b)或 r =r ( t) ( a≤ t≤ b)　　设曲线 ( C) x =x( t)y =y( t) ( a≤ t≤ y)为平面简单光滑曲线段 ,l:Ax +By +C =0为曲线 ( C)...&
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有时为了需要,在表示角度时要把度、分、秒化为度.先看一例: 把32。9’36”化为用度表示. 解 先将36”化为分 36”一磊1×36一o.6’,9’+o.6‘一9.6’, UU再将9.6’化为度 1 0 9·6’一蒜×9·6—0.16。,32。+0.16。一32.16。,所以 32。9’36”一32.16。. 可以看出,将度、分、秒化为度的方法是: 先将秒数除以60化为分,与原有分数相加,再将所得的分数除以60化为度,与原有的度相加,即为所 f . 2]...&
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5R设系统S的输入为u,输出为y,y又经过调节器R馈送△u于系统S,于是△u=Ry(R为表示调节功能的算子)y~S(u+△。)(S为表示系统功能的算子)所以y=S(u+Ry)=Su+SRy。用工I表示单位算子,芳(I一SR)一‘存在,则 y二(I一SR)一‘Su算子I一SR的逆算子(I一SR)一‘表示反馈调节功能,称一为反馈因子。 若11 SR 11o,则y:单调变化,称为正反馈。对于初值,有 (l)了。0,则了,一J。二SR了。0,y,了。,一般地,y.了,一:,即y‘单调增加,称为正向正反馈。 (2)y。1,则势发散,称为发散正反馈。 (2)oyt一,时,y:,,y,,y、作振荡性变化,称为负反馈。 (1)当11 SRll1,yt振荡的振幅愈来愈大,yt发散,称为发散负反馈; (2)当”SR”=1,y。的振幅保持不变,y:作等幅振荡,称为等幅负反馈, (3)当l{SR}1O,得SR0,又y。O,故激励过程为正向正...&
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高等数学题－求此旋转体体积由曲线y＝1/x 和直线x＝1 ，x＝2及y＝0围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积V＝_____？求大神画图详细讲解一下，本人做题生疏基础薄弱，谢谢了。
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答：y=1/x和x=1、x=2交点为：(1,1)和(2,1/2)V=(1→2) ∫ π(y-0)² dx=(1→2) ∫ π/x² dx=(1→2) [ -π/x ]=-π/2 +π=π/2体积为π/2
为什么会有（y－0）^2？
y-0是旋转半径....
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大学高等数学PDF课件第四章2平面图形的面积 旋转体的体积计算
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官方公共微信应用题，旋转体的。高等数学 1
应用题，旋转体的。高等数学 1
求圆（x-5）^2 + y^2 = 16 绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积。。
怎么把（x-5）^2 + y^2 = 16变成f（x）或者f（y）啊？ 然后套用π∫[f（x）]^2 dx 这个公式来求？
详细解答如下：
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这个，这几天都忙，有点不顺手，不论我对不对，你最好请位大师来看看，因为圆我也慌……
公式你的那个不好用，要把y拆两部分，用我上次给的。
y=4sint,x=5 4sint
v=2∫2Πx*f(x) dx,注意下积分上下限，是从pai到0的，第一次算成了负数8结果是32(π)^2
不知道对不对？您的位置： &
& &&&自考《高等数学（一）》真题练习：旋转体的体积（2.10）
自考《高等数学（一）》真题练习：旋转体的体积（2.10）
10:24&&自考365 【
　　单选题
　　设平面图形由曲线及直线x=0，y=e所围成，求：该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积（ ）。
　　正确答案：B
　　答案解析：旋转体的体积为
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