一个值得讨论的微积分问题--《数学教学研究》1995年01期
一个值得讨论的微积分问题
【摘要】：一个值得讨论的微积分问题莫海平（黑龙江绥化师专）问题若函数ｆ（ｘ）在（一。，＋ｃｏ）上连续，且／（Ｚ）。Ｊ玄，则／（。）一Ｏ．该问题出自刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》上册（高等教育出版社，１９８５年版）第３６０页第９题．关于这个问题，与之配套的学习...
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【分类号】：O172【正文快照】：
一个值得讨论的微积分问题莫海平（黑龙江绥化师专）问题若函数ｆ（ｘ）在（一。，＋ｃｏ）上连续，且／（Ｚ）。Ｊ玄，则／（。）一Ｏ．该问题出自刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》上册（高等教育出版社，１９８５年版）第３６０页第９题．关于这个问题，与之配套的学习指
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京公网安备74号适合高中数学基础看的calculus（微积分）教材有那些？
请问一下，有什么教材是给undergraduate的学生看的calculus教材？高中数学基础就是掌握了algebra和pre calculus。教材最好是一个公理化（axiomatic system）的编写，就好像Elucid的Elements那样，十分严谨，每一个公式都是严格证明，一层一层盖房子一样。我对数学了解很肤浅，说错什么希望大家谅解。PS 因为用的是英文学的数学。请谅解。
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很显然，你问这个问题的时候，没有意识到你对数学理解是有问题的。"十分严谨，每一个公式都是严格证明，一层一层盖房子一样"十分严禁，公理化的微积分是什么，是数学分析，是数学系最重要的基础课程之一。微积分严密理论体系的构建是非常不容易的，微积分中很多重要的结论、定理是很难证明的，大部分学微积分的学生只需要直观的理解就行了。所以回到最初的问题，对于高中基础的学生，最适合的是直观、浅易的微积分教材，让他能直观地看了知道个大概，能算出来一些东西，体会到计算出东西的成就感是最重要的。是否严格是可以不去管他的。所以我觉得一般大学的文科微积分就够了。至于楼上说的苏联的微积分学教程，或者托马斯微积分那样的书，那样的书的确是毫无疑问的经典，但是只有高中基础的学生是很难看下去这样的大部头的。
托马斯微积分。这本教材本来就是给美国大学生本科阶段准备的，经久不衰。我前两天刚看完，手头有一部中文的一部原版影印的。中文的这个翻译的还算不错。我觉得欧美的教材最大的好处就是不故弄玄虚，能用尽量易懂的语言把事情讲清楚。就我个人而言，明年考研，看完这个再看同济6版的教材，里面一些难以理解的东西马上明白了大部分。同济版的高等数学教材大概绝大多数大学生都在用吧，也很经典，但是但是照着托马斯微积分还是差距挺大。想着我们数学教研室主任亲自上高数课的时候说：“这本同济六版的教材非常经典，全国有95%的大学都在用。当然还有5%的大学不用这本教材，其中就包括同济大学的理工科专业。”
能满足你这个要求的恐怕只有陶哲轩的《实分析》和卓里奇的两卷《数学分析》，共同的特点是从集合论、ＺＦＣ公理体系和基本的数理逻辑开始讲起，从集合开始构造自然数，从自然数开始构造更大的数系，体系上绝对的严格，但不刷题你也收获不了什么，而一旦开始刷这两本书上的题么……呵呵～哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈～！！！！！！——————————————————————————————————————————推荐《微积分学教程》的是不负责任的！这哪里是给高中基础的人看的……陶哲轩吧！大神不用说了←_←《微积分和数学分析引论》也是很不错的，直观而不缺乏严格。如果你实在了得，非要追求公理化体系，那你就去看法国布尔巴基几个大神人的教材吧，有英文版的。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------你说的是菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》？作者明确说了是大学一年级的教材，真的是给高中基础的人看的啊……而且作者不厌其烦，写得很详细（有些地方都显得啰嗦了……）。------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试问国内有多少人是读完过的？世界上又有几个学校采用？作者自己都承认不太适合做教材，写了简明版。很多书都说高中基础就可以学了，比如《代数学教程》。我承认还是有牛人可以自学完成的，这有几个？太过严格啰嗦的专著还是留给专家吧。先学微积分（非严格），在学分析不失为个好方式。------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 那请问你读下来这部《微积分学教程》了吗（或者说读过吗）？知不知道在国内大学引入了苏联教材之后，这部书作为数学分析的标准教材用了很久，并且培养了国内几代的优秀科学工作者（并不限于数学专业）？他们的微积分就是靠这个（加上吉米多维奇）打下了扎实的基础。正是因为考虑到面向高中基础的初学者，作者才会如此不厌其烦，把一切都讲得非常透彻，力求让初学者能够看懂（与此形成鲜明对比的是卢丁的书）。一部严谨详实，久经考验的教材，不会因为作者的个人观点就“不适合做教材”了。就内容来看，把问题从方方面面都剖析得这么清楚，这样苦口婆心的态度我还没在任何一部书上再看见过。另外，这部书不是专著，不会有哪个做分析的数学专家来研究它的，都是基础内容，没必要。这是一部这样的书：一位非常爱学生的老教授，跟初学数学分析的学生絮絮叨叨，为了让你学好这门大学里最难的数学课之一，手把手带着你，给你铺平道路。如果就因为内容太多（还别说作者连简明版都出了）而摒弃，未免也太可惜，太对不起作者的一片苦心了。我只能说：书是死的，人是活的。如果教材短小精悍，就嫌惜墨如金，不照顾初学者的水平和资质；如果教材把内容都掰开揉碎讲了，又觉得太长没时间看；那没别的就一个字——“懒”，什么都学不好。
菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》（全三册），满足你所说的，俄国人的经典教材，严谨是当然，并且所有的公式都严格证明，最大的缺点是因为讲解太过详细而篇幅较大，如果你要看英文版的话，不知道这个有没有，英文版好像《托马斯微积分》不错，不过我没看过。
The Calculus Lifesaver 《普林斯顿微积分读本》语言轻松幽默 但逻辑严谨
推荐Apostol的calculus(两卷)和mathematical analysis.
Barron's AP
Introduction to Calculus and Analysis 作者：Richard Courant,Fritz John
高一开始留学，其实数学这个东西，在哪都一样～学数学就是要多！做！题！然后学了一整个本科的数学，到后面内容完全听不懂，但是题目一做，就是越来越懂的节奏～
可以瞧瞧项武义这两本基础分析学之一 单元微积分学 基础分析学之二 多元微积分学 另，龚昇这本也不错，比上面两本难一些简明微积分
大神说的非常好了。学数学要循序渐进，在没看到证明的时候，其实是时候不到。推荐入门看看 Stewart- calculus early transcendentals，足够浅显，足够清晰，该有的定义例题甚至答案都非常全 如果题主真的觉得自己ready了 可以尝试下面这本，M.Spivak的calculus，非常经典的教材，深度和难度对于大一学生来说都足够。感觉到困难了不要太沮丧，可以慢慢来。
我觉得这个问题的答案要看楼主学习的目的。如果楼主只是想简单的了解calculus，并学会简单的应用（比如在经济学领域或者工程学领域），那么楼主完全没有必要看太难的教材，虽然它们编写的很严谨，但是单纯为了应用的话，其实没有必要学的那么详细。国内随便一本教材，甚至如楼上所说的同济大学的《高等数学》，学明白就基本可以满足基本的应用要求了。如果楼主的目的是真正了解和学习数学，甚至把它当成将来学习的方向，那么事情就完全不同了。首先，微积分，或者更严谨的说应该叫数学分析，是整个分析领域的基础。其后的实分析，复分析，乃至调和分析的思想，在数学分析中都有基础和体现。想深入数学这个领域，数学分析是必须跨过的一道关卡。个人比较喜欢美式教材的风格，推荐《Principles of Mathematical Analysis》（Walter Rudin），内容精炼结构清晰，非常适合自学，而且能把内在的数学思想体现出来。在学完这本书后，就可以接触更深刻的实分析、复分析了，Rudin还有一本《Real and Complex Analysis》可以作为后续教材。希望能帮上楼主的忙。
推荐《微积分学教程》的是不负责任的！这哪里是给高中基础的人看的……陶哲轩吧！大神不用说了←_←《微积分和数学分析引论》也是很不错的，直观而不缺乏严格。如果你实在了得，非要追求公理化体系，那你就去看法国布尔巴基几个大神人的教材吧，有英文版的。
任何课本都可以吧，高中以后不就是本科了吗？反正我是极不推荐我当年的微积分课本的（反正是自编讲义应该买不到），第一个星期课后作业就是用实数系十个公理证明 1 & 0 之类的东西。
推荐Apostol的calculus(两卷)和mathematical analysis
微积分之倚天宝剑，微积分之屠龙宝刀，看这两本书吧。
同济的《 高等数学》不好吗？wikibook也不错
《数学——它的内容，方法和意义》微积分部分， 作者是，据说是专写给没有机会接受高等教育的高中毕业生看的（未经考证，但确实适合入门）。
试试新浪/网易公开课吧。在首页视频的子目中可以找到。微积分数学题_百度文库
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iframe(src='///ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')大学数学教程：微积分1（第2版）(刘建亚，等)【电子书籍下载 epub txt pdf doc 】
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大学数学教程：微积分1（第2版）
作者：刘建亚，等
出版：高等教育出版社
大学数学教程：微积分1（第2版）《大学数学教程：微积分1（第2版）》主要内容包括：函数，极限和连续，导数与微分，中值定理和导数的应用，一元函数积分学及其应用，常微分方程及差分方程。为适应分层次教学的需要，每节配有难度适宜的课后习题，带“*”号的内容可供对数学要求较高的专业选学。书末附有习题参考答案。《大学数学教程：微积分1（第2版）》注重培养学生从实际问题建立数学模型的意识以及使用数学软件的能力，因此在每章的最后都配有解决本章问题的matlab程序和例题演示。附录中编入了与本册内容相应的数学建模应用实例，常用三角函数基本公式和微积分发展简史。《大学数学教程：微积分1（第2版）》可供高等学校非数学类专业学生使用，也可供科技工作者学习参考。第1章 函数、极限和连续1.1 函数1.函数的概念2.函数的几种特性3.反函数与复合函数4.初等函数5.极坐标习题1.11.2 极限1.极限的概念2.极限的运算法则习题1.21.3 极限存在准则及两个重要极限1.准则i夹逼准则2.准则ii单调有界原理3.无穷小的比较习题1.31.4 连续1.连续与间断2.连续函数的运算法则3.闭区间上连续函数的性质习题1.41.5 用matlab求极限第2章 导数与微分2.1 导数的概念1.两个例题2.导数的定义3.可导与连续习题2.12.2 导数的基本公式与运算法则1.导数的四则运算法则2.反函数的导数及复合函数的求导法则习题2.22.3 高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1.高阶导数2.隐函数的导数3.由参数方程所确定的函数的导数习题2.32.4 微分1.微分的概念2.微分的计算3.微分的应用习题2.42.5 用matlab求导数第3章 中值定理和导数的应用3.1 微分中值定理1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理3.柯西中值定理习题3.13.2 洛必达法则1“0/0型不定式2.“兰”型不定式3.其它类型不定式习题3.23.3 泰勒中值定理1.问题的提出--用多项式逼近函数2.泰勒中值定理3.麦克劳林公式4.泰勒公式的应用习题3.33.4 函数的单调性、极值和最大最小值1.函数的单调性2.函数的极值及其求法3.函数的最大值和最小值习题3.43.5 曲线的凹凸性和函数作图1.曲线弯曲的方向--凹凸性2.曲线的渐近线3.函数作图习题3.53.6 弧微分曲率1.弧微分2.曲率3.曲率圆与曲率半径习题3.63.7 用matlab求极值第4章 一元函数积分学及其应用4.1 不定积分1.不定积分的概念与性质2.换元积分法3.分部积分法4.有理函数和三角函数的有理式的积分习题4.14.2 定积分1.定积分及其基本性质2.微积分基本定理3.定积分的计算4.定积分的近似计算习题4.24.3 定积分的应用1.微元法的基本思想2.定积分在几何上的应用3.定积分在物理上的应用4.定积分在医学及生命科学方面的应用5.定积分在经济及社会科学方面的应用6.反常积分习题4.34.4 用matlab计算积分第5章 常微分方程及差分方程5.1 微分方程的基本概念习题5.15.2 几种常见的一阶微分方程1.可分离变量的微分方程2.齐次微分方程3.一阶线性微分方程习题5.25.3 高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程2.二阶线性微分方程解的结构3.二阶常系数齐次线性微分方程4.二阶常系数非齐次线性微分方程习题5.35.4 欧拉方程和常系数线性微分方程组1.欧拉方程2.常系数线性微分方程组习题5.45.5 微分方程的应用习题5.55.6 差分方程简介1.差分方程的基本概念2.一阶常系数线性差分方程习题5.65.7 用matlab解常微分方程习题参考答案附录a 常用三角函数基本公式附录b 微积分在数学建模中的应用实例--传染病模型附录c 微积分发展简史
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