如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； （3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
试题及解析
学段：初中
学科：数学
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&& 如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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&&& 解：（1）设y=ax（x﹣4），
把A点坐标（3，3）代入得：
函数的解析式为y=﹣x2+4x，
答：二次函数的解析式是y=﹣x2+4x．
（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD，
=﹣m2+3m，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（，0）时，PCmax=，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．
（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，
当m≥3时，PC=CD﹣PD=m2﹣3m，
由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m﹣4）2，
①当OC=PC时，，
②当OC=OP时，，
解得：m1=5，m2=3（舍去），
∴P（5，﹣5）；
③当PC=OP时，m2（m﹣3）2=m2+m2（m﹣4）2，
解得：m=4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）&
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如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1）求B点坐标；
（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；
（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由。
题型：解答题难度：偏难来源：湖北省月考题
解：（1）作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；（3）成立，理由如下：在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF，∴AM﹣MF=AM-MN=AN，∴AM-MF=OF，即。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1）..”主要考查你对&&全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定，用坐标表示位置&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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全等三角形的性质等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形全等的判定用坐标表示位置
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。点的坐标的概念：点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 各象限内点的坐标的特征&：点P(x，y)在第一象限；点P(x，y)在第二象限点P(x，y)在第三象限；点P(x，y)在第四象限坐标轴上的点的特征：点P(x，y)在x轴上y=0，x为任意实数 点P(x，y)在y轴上x=0，y为任意实数 点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）。 点P(x，y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x，y)到x轴的距离等于|y|； （2）点P(x，y)到y轴的距离等于|x|； （3）点P(x，y)到原点的距离等于。 坐标表示位置步骤：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图的过程如下:(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定X轴、y轴的正方向;(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
发现相似题
与“如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1）..”考查相似的试题有：
203385922276114460904940143766203088已知,如图二次函数y=ax^2+bx+3的图象与X轴交于点A.C,与Y轴交于点B.A(-9/4,0),且三角形AOB全等于三角形BOC.(1)求C点坐标,三角形ABC的度数及二次函数y=ax^2+bx+3的关系式.(2)在线段AC上是否存在M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与_百度作业帮
已知,如图二次函数y=ax^2+bx+3的图象与X轴交于点A.C,与Y轴交于点B.A(-9/4,0),且三角形AOB全等于三角形BOC.(1)求C点坐标,三角形ABC的度数及二次函数y=ax^2+bx+3的关系式.(2)在线段AC上是否存在M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P,C,O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由
(1):由题y=ax^2+bx+3 令x=0即可得y=3 则B的坐标为（0,3）又因为三角形AOB全等于三角形BOC 所以OB=OC 即OC=3,则可以得到C坐标为（3,0）又有A(-9/4,0) 即 ax^2+bx+3=0有两个根分别为-9/4和3代入可解的a=-4/9 b=1/3 (2):存在M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P,C,O为顶点的三角形是等腰三角形,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P,C,O为顶点的三角形是等腰三角形因为三角形BOC是直角三角形,且P为BC上的点,三角形POC为等腰三角形,故OP=PC根据直角三角形,P是BC的中点 可求的P(3/2,3/2)|OM|=|OP|=3√2/2 因为3√2/2＞9/4即可得到M的坐标（3√2/2,o）（2010o徐州）如图，已知二次函数y=2+
x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：2+
即：x2-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）．
（2）易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
∴y=-x+4；
①当DE=DC时，
∵OA=4，OD=3，
∴E1（0，4）；
②过E点作EG⊥x轴于G点，
当DE=EC时，由DG==，
把x=OD+DG=3+=代入到y=-x+4，求出y=，
可得E2（，）；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5，
∴EG=，CG=2，
∴E3（8-2，）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8-2，）．
（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC与点Q；
设P（m，-m2+m+4），则Q（m，-m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，
S=S△APQ+S△CPQ=×8×（-m2+2m）=-（m-4）2+16，
∴0＜S≤16；
②当-2≤m＜0时，
PQ=（-m+4）-（-m2+m+4）=m2-2m，
S=S△CPQ-S△APQ=×8×（m2-2m）=（m-4）2-16，
∴0＜S≤20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2≤m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4这两个．
故当S=16时，相应的点P有且只有两个．
（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：
①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；
②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；
③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．
（3）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论：
①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围；
②当P在第二象限时，即-2＜m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
（3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD2+CE2=DE2．
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（1）根据∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得到∠BAE=∠CDA，再根据∠B=∠C=45°得到△ABE∽△DCA；
（2）根据△ABE∽△DCA得到，然后代入AC和AB即可得到两个变量之间的关系；
（3）当BE=CD，即m=n时，由m=，得到m、n的值，然后表示出DE、BD和CE，平方后即可证得结论；
（4）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，利用旋转不变性得到CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．然后连接HD，证得△EAD≌△HAD，从而得到DH=DE，再根据
∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，利用勾股定理得到BD2+HB2=DH2，从而证得BD2+CE2=DE2；
解：（1）△ABE与△DCA会相似，
理由是∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA&& …（2分）
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA；
（2）∵△ABE∽△DCA，
由题意可知CA=BA=√2
∴m√2&=√2n&&，
∴m=（1＜n＜2）；
（3）当BE=CD，即m=n时，
由m=，得m=n=√2
∴DE=BE+CD-BC=2√2-2，
∴BD=BE-DE=2-√2=CE，
∵BD2+CE2=2BD2=2（2-√2）2=12-8√2，DE2=（2√2-2）2=12-8√2
∴BD2+CE2=DE2 ；
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD&&
又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD2+HB2=DH2，
即BD2+CE2=DE2．