一个零件得窗户的形状如图所示示，按规定角A应等于90°角B角C应分别是30°和20°

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-09-06 02:32 标签： 窗户的形状如图所示
已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直线l1按顺时针方向绕点C旋转α°（0＜α＜90），与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时的α的值．
（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的长，由此确定点C的坐标；知道A、B、C三点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．
（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：
①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；
②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；
③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l1的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．
（3）从题干的旋转条件来看，直线l1旋转的范围应该是l1、l2中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出点K的坐标、∠BCO的度数结合上述三种情况求解．
解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC==，则 C（0，-）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-，a=
∴抛物线的解析式：y=（x+1）（x-3）=x2-x-．
（2）易知OA=3、OB=1、OC=，则：S△ABC=ABoOC=×4×=2．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP=S△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为；
令y=x2-x-=，化简得：2x2-4x-9=0
∴P1（，）、P2（，）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于S△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP=ACoh=S△ABC=，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l1，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=、OE=OC+CE=，点E（0，-）
∴直线DE：y=x--，联立抛物线的解析式，有：
，解得：1=1
∴P3（1，-）、P4（2，-）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（，）、（，）、（1，-）、（2，-）．
（3）由（1）知：y=x2-x-=（x-1）2-，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-），所以 CN=2；
易知直线BC：y=-x-，则 K（1，-2），CK=2+(-2
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，此时M、N重合；
综上，只有一个符合条件的点M（即点N），此时直线l1的旋转角度α=∠ACN=90°-∠2=30°．教师讲解错误
错误详细描述：
“神舟七号”飞船上一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（　　）A．∠A符合要求B．∠BDC符合要求C．∠A和∠BDC都符合要求D．∠A和∠BDC都不符合要求
【思路分析】
利用勾股定理逆定理计算∠A和∠BDC 是否为直角，再与题目选项相对比即可得到答案
【解析过程】
，∴∠A不是直角，,∴∠BDC不是直角.所以选D.
本题考查勾股定理的逆定理的应用，已知各个边的长度，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
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＞＞＞一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°..
一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD=142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论．（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）不合规格．理由如下：连接AC并延长到点E，则∠BCD=∠BCE+∠ECD=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D=∠B+∠BAD+∠D=140°，故不合格．（2）根据第（1）小题的求解过程，不难发现：∠B+∠D+90°=∠BCD．
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据魔方格专家权威分析，试题“一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°..”主要考查你对&&三角形的外角性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的外角性质
三角形的外角：三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。∠1是三角形的外角。三角形的外角特征：①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。&性质：①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。④. 三角形的外角和等于360°。设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。定理：三角形的三个内角和为180度。
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解析质量好解析质量中解析质量差如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB&上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB&内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR1=6时，当R2为顶点，OR2=DR2时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．
解：（1）∵△PMN是等边三角形，
∴∠P1M1N1=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP1O=90°，
在Rt△AP1O中，AP1=AO=2$\sqrt{3}$，
$\sqrt{3}$
（2）∵△BPH∽△BAO，
4$\sqrt{3}$
8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t
8$\sqrt{3}$
∴PH=-$\sqrt{3}$t
∵cos30°=H
=-$\sqrt{3}$t
$\sqrt{3}$
（3）当0≤t≤1时，S1=S四边形EONF，
作GH⊥OB于H，如图3，
∵∠GNH=60°，GH=2，
∴HN=2，∵PN=NB=8-t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
∴OH=4+t-2=2+t，
S1=（2+t+4+t）×2
∴S随t增大而增大，
当t=1时，S最大=8，
当1＜t＜2时，如图4，S2=S五边形IFONG，
作GH⊥OB于H，
∴OF=4-2t，
∴EF=2-（4-2t）
∴EI=2t-2，
∴S2=S梯形EONG-S△EFI
=2t+6-（2t-2）×（2t-2）
=-2t2+6t+7，
∴当t=-=时
当t=2时，如图5，
N与D重合，
S3=S梯形IMNG，
=×33-×4，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(t=2)
（4）∵△ODH是等腰三角形，
①当D为顶点，OD=OR1=6时，
DR1=6-2＞2（不合题意舍去），
当D为顶点时，R1不存在，
此时R1不存在，使△ODR是等腰三角形，
②当R2为顶点，OR2=DR2时，
ER2=P2R2=3，CP2=3，
∴AP2=4-3=，
③当O为等腰△的顶点时，
CP3=××2=6-6，
AP3=4-（6-6），
∴t3==2-2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．

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