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问答题设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤C． 参考答案当a=0时，f(0)=0，有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)；
当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别应用拉格朗日中值定理有
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利用拉格朗日中值定理证明不等式当X＞0时,(X／1＋X)＜ln(1＋X)＜X
利用拉格朗日中值定理证明不等式当X＞0时,(X／1＋X)＜ln(1＋X)＜X
证明：令f(y)=ln(y), （y>0), 当1<y0)有f(1+x)-f(1)=xf'(ξ)
(1<ξ<x+1) 即ln(1+x)=x/ξ由于 1<ξ<x+1,故x/(1＋x)＜ln(1＋x)＜x>>>>>正文 字体：小中大
浙江师范大学应用数学专业开题报告范文-《微分中值定理的证明、推广及其应用》
日期：作者：无忧论文网编辑：gufeng点击次数：4销售价格：免费论文论文编号：lw384166论文字数：2357&论文属性：开题报告论文地区：杭州论文语种：中文&
一、选题背景和意义函数是数学中的一种对应关系，是一种重要的。而函数单调性是函数的一个重要性质，了解函数单调性可以更准确、形象地了解函数及函数所代表的模型。导数使类似于求已知曲线上点的切线的问题得到了完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另外，可以知道，函数与其导数是两个不同的的函数，并且导数只是反映函数在一点的局部特征，而我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态。因此，为解决这个矛盾，就需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一。本将从微分中值定理出发，对其进行证明、推广，并在其应用方面进行举例说明。
二、国内外研究现状、发展动态&&& 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637年，著名数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。在教科书中，人们通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微分计算教程》，以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理―柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态，从而能把握住函数图象的各种几何特征。此外，在极值问题中有重要的实际应用。在用微分中值定理去证明一些问题时，通常采用的方法是直接套用这些定理或是经过简单地恒等变换以后而实现。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近3O0年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
三、研究内容及可行性分析【研究内容】&&& 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一。本文将从微分中值定理的证明入手，对其进行证明，讨论了微分中值定理的内在联系及推广，并给出其在解题中的应用，如：微分中值定理在一些定理中的证明，利用几何意义思考解题，讨论导函数零点的存在性，研究函数性态，证明不等式和求极限等。【基本设计思路】研读数学分析等相关数学知识总结、研究微分中值定理的证明对微分中值定理进行推广查找文献、近年高等数学竞赛试题等整理资料，撰修改论文，答辩结题【可行性分析】1、本人是数学系学生，有着良好的数学分析和高等代数等数学基础，已具备学习和研究其它更深层次数学知识的本领。2、导师王建飞老师是位年轻有为的副教授，中科大博士，具有非常广博的数学知识，对数学具有非常浓厚的热诚，能指导论文工作的顺利开展。3、高昂的工作热情，谨慎的工作态度，强烈的责任感，对微分中值定理的浓厚兴趣，敢于专研、敢于拼搏的精神，敢于挑战自我的勇气，相信在解题报告之时，我必能交出令人满意的答卷。4、图文信息中心丰富的馆藏，为论文的开展提供了大量的图书资料。因特网的高速发展，快捷、全面的网络资源，使我能了解最先进、最前沿的数学知识。
四、论文拟解决的关键问题及难点&&& 本论文拟解决的关键问题及难点是，虽然微分中值定理的使用越来越广泛，但是微分中值定理只肯定了中值点的存在性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决。此外，微分中值定理中的拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明都可利用罗尔定理作辅助函数得到，但如何作辅助线解决证明、解决实际问题等是应用中的难点,也是整个分析数学中的难点。
五、研究方法&& 本论文将主要采用文献法。通过在图书馆、网络搜索尽可能多的资料，对其进行归纳、整理，然后提出较好的证明方法及其应用，并撰。
六、论文的进度安排1、日前完成选题工作。2、日前完成毕业论文开题工作。3、日前完成毕业论文中期检查。4、2011年1月-2011年3月，对毕业论文进行撰写及修改加工，不断完善。5、2011年4月前提交规范的毕业论文，。
七、主要参考文献[1]刘玉琏，傅沛仁. 讲义[M].高等教育出版社,2006.4[2]华东师范大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社,2007.5[3]邓乐斌. 数学分析理论、方法与技巧.华中科技大学出版社[M],2006.5[4]徐兴亚，夏海峰.
数学分析选讲[M].同济大学出版社,2008.8 [5]裘兆泰，王承国. 数学分析学习指导[M].科学出版社,2004.4[6]杨传林.数学分析解题思想与方法.浙江大学出版社,2008.12[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社,2006.11
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用微分中值定理证明不等式
【摘要】：正 在高中数学“微积分初步”中导数的应用这一章,讲了拉格朗日中值定理,并给出如下形式: f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),aξb。由此又推出判别函数单调性定理。书上的例3(当x1时,证明不等式e~xex成立)就是应用中值定理上述形式证明的。当然,例3
【作者单位】：
【关键词】：
【正文快照】：
在高中数学“微积分初步”中导数的应用这一章,讲了拉格朗日中值定理,并给出如下形式: f(b)一f(a)=f,(首)(b一a),a(考b.由此又推出判别函数单调性定理.书上的例3(当忿1时,证明不等式ex。成立)就是应用中值定理上述形式证明的.当然,例3还可以用函数的单调性定理证明. 因此,
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