time作为名词片语，是指一定的时限而言，表示相当长的一段时间(a long time);作副词片语时，意为“随便何时”。e.g. It will take some time to tell you the wholestory.把全部经过讲给你听需要相当长的时间。e.g. I haven't seen Mr.Liang for some time.I miss himvery much.我已经好久没有看见梁先生，我十分想念他。2. Sometime作为副词，意思是“在某一时候”、“日后”、“昔时”，指不定的时间而言，既可指将来亦可指过去的不确定时间(any time in the future or in the past)。e.g. I will tell you sometime or other.我将来会告诉你的。e.g. He gave us a detailed report sometime ago.他曾给我们一个详细的报告。Sometime亦可用作形容词，放在名词之前作定语。e.g. He was a sometime university professor.他曾经是大学的教授。从例句可见，这里的sometime相当于onetime或former之意。3. Sometimes的意思是“有时”、“不时”(now and then)。e.g. The weather is cold and changeable.Now it rains，now it snows，sometimes it hails.气候冷而多变，时而下雨，时而下雪，有时还下冰雹。e.g. We have letters from her sometimes.有时候，我们会收到她的信。e.g. I am sometimes at leisure.我间或有暇。自学英语有难度，肿么办？Please查看阅读原文！必克英语微杂志(weimagz)　
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聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！今日测试【翻译】She could not remember生活中我们总是抱怨自己的孩子浑身都是小毛病：不够独立、胆小害羞、拖拉磨蹭、脾气不好、不懂礼貌等等，可是却忽略了非常重要的一点：孩子的问题99%都是家长的问题。看看这组漫画，孩子成长中出现的问题几乎都是家长不良教育方法产生的结果。不知道现在的Ta，是你命中注定的恋人吗？你会跟Ta说”命中注定我爱你“吗？然而，“命中注定我爱你”用英语怎么不知道现在的Ta，是你命中注定的恋人吗？你会跟Ta说”命中注定我爱你“吗？然而，“命中注定我爱你”用英语怎么英语是一门非常容易引起混淆的语言，明明两个单词之间只有一两个字母的差别，它们的意思却差之千里。下面我们来看看生活就像是一所你在上课的学校，困难就像是课程中会出现的难题，然而，不同的是，你要在这所学校里读一辈子……一条发错的短信，引起一件落泪的事，最后的最后，你才发现，原来真正爱你的人，一直在身边不离不弃！生活就像是一所你在上课的学校，困难就像是课程中会出现的难题，然而，不同的是，你要在这所学校里读一辈子…… 1. 我可以请您帮个忙吗？Do you mind if I ask you a favor?【注】回答“y打招呼算是最基本的口语了，跟人见面第一句肯定要打招呼，而美国人打个招呼真是五花八门。如果你还停留在"Hell年底节日多，想给特别的人买完美的礼物？还是要买给自己一份奖励？去逛街吧，这儿有一些有用的英语口语表达，能帮你在逛商场或是流连在精致小店时找到你所寻找的东西！（1）Any day will do? / Anything will do. 哪一天都可以？/ 什么都可以旅居巴西的美国插画家Rosha在异国当起了英语老师，不忍看到学生背成语时痛苦的样子，他利用自己的专业优势把这《人性》一部获得了全世界102个奖项的短片，一定要看完全部字幕，这个短片拍得太好了！！这个世界上，我们究竟站在英语中表达厕所的一般说法有：1. restroom，bathroom，这是美国人常用的说法2. lavat聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！“第一次听到这首歌的时候，当时我在开挖掘机，我至今仍记忆犹新，如触电般，我当时就怔住了，电光火石建，我的挖掘机开反翻了！！！”哈哈O(∩_∩)O哈哈~，讲完段子，言归正传。这个视频感人至深！视频一开始是2014年杰西向科林求婚的场景，片头就给观众打了一炮催泪弹。整个短片充满了泪点聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！有没有经历过话到嘴边又不知道该怎么说的窘境？下面可是一些超级实用的句子，掌握它们，轻松出口，让你的英语流利又身边有没有这样的朋友？他们不说话就难受，一张口说话就停不下来，什么事他们都有话说。嗯，这些朋友大概就是说话成瘾，不说话难受的talkaholic吧？熊猫图席卷网络的风潮刚过去没几天，又来了一个喵星人潜伏五彩猫头鹰图，再次让成千上万的网友困惑了。若非镜花水月，允你姗姗来迟。请慢慢来，我不是等不起，最怕等来的不是你。亲爱的，幸福会迟到，但永远不会缺席！聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！美丽的雪景、打雪仗、堆雪人……冬天最让人期盼的就是下雪了！下雪咯，除了玩得开心，保暖最重要！聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！最近，这组暖心又搞笑的动物小漫画火了，其实只是一小部分，还在持续更新。小编觉得蛮好玩的，又很萌，拿出来分享给小伙伴们！开头句型1. As far as ...is concerned 就……而言2. It goes witho心烦意乱、不知所措，心绪久久不能平复……英文里，你该如何形容这乱糟糟的心情？聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！河南，中华文明的摇篮，河南的变化过程就是中国整个国家的缩影。英文纪录片《Amazing Henan—Wher聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！1.It is the only major language without an academy to最近有个视频爆红，视频里采访了一些人，让他们对自己是否成功打分，然后又找来他们的家人朋友就相同问题打分，结果感动了每一个人！工作生活中收获他人的赞美，你是如何回应的？除了表达感谢，英文里还会说点什么呢？今天来看看几种不同的类型的回复。聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！每天学习一点点，你的英语口语才能更上一层楼！比如下面这几个句子，都是英语口语中随意但是颇有妙用的表达，让你的你有木有这种感受：无论是恋人或者好基友，现在即使一起逛街，一起吃饭，却总感觉对方魂不守舍？好像总有个“第三者聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！12月17日，《咬文嚼字》杂志在官方微博中公布"2015年十大流行语","获得感"、"互联网+"、"颜值"、"宝宝"......"主要看气质"上榜。现在跟小编一起来看看这些流行语英语都怎么说？的确，漫漫人生，你会遇到很多挫折，面临很多十字路口，也许因此你迷失了自我。但请记得，别让自己迷失太久，及时地找回自己！聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！风行昨天曝光了钟汉良隐婚生女的消息：老婆是传闻中的谢易桦，如今他已经有个女儿。而不久前有人问他：“听闻你有儿女?” 钟汉良立即否认：“那些都是小道消息。” 小编的心哇凉哇凉的。聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！牛人复古改编George Michael的经典名曲《Careless Whisper》，实在太好听了！不熟悉歌名的同学，听到前奏你就会知道是什么歌了！此处复古风的改编相比原唱更加轻快和活泼你梦想成为什么样的人，你就能成为什么样的人。你今时今日所处的位置都是基于你所信赖和梦想的一切。（1）That rings a bell.我总算想起来了。（2）That sounds like a gooO(∩_∩)O哈哈~~，你是无比纠结的人吗？要知道生活中常常说到的“纠结”一词，那么在英语中是否也有相似的表达呢？聪明在于学习，天才在于积累！学英语，我们在一起！weimagz《必克英语微杂志》—必克英语旗下有声英语电子周刊。我们坚持“学习与娱乐并存”！英语越微越精彩！热门文章最新文章weimagz《必克英语微杂志》—必克英语旗下有声英语电子周刊。我们坚持“学习与娱乐并存”！英语越微越精彩！编者按：人生总在迷惑之中。你越是认真工作，这样的迷惑或许就越深。你有时突然会疑惑：“我为什么要这么做？”“究竟为什么要干这项差事？”越是认真、拼命工作的人，就越会思索劳动的意义，思考工作的目的。他们为这些人生最根本的问题烦恼，并常常陷入找不到答案的迷途之中。今天，让稻盛和夫为您解答谜题！在我工作的第一家公司，我反复进行着各种实验，有失败也有成功。当时在无机化学的研究者中，同我年龄相仿的，有人拿到了奖学金赴美留学；有人在优秀的大企业里，使用最尖端的设备进行最先进的实验；而我在一个如此破旧、衰败的企业里，连最起码的设备都没有，日复一日地做着混合原料粉末这样简单的工作。“一直从事如此单调的工作，究竟能搞出什么科研成果来？”我问自己。再进一步地：“自己的人生将会怎样呢？”想到这些，我不禁心灰意冷，一度过得很消极。每天比昨天进步一点，哪怕只一厘米解除这样的迷惑，一般人的方法是和自己说：要预见到将来。就是说，不要将目光仅仅放在当下，而要从长远角度规划自己的人生蓝图；要把眼前的工作看作这长期规划中的一段过程。这也许是合乎逻辑的方法。然而，我采用的方法与此相反——我采用短期的观点来摆正自己对工作的态度。“将来会搞出什么样的研究成果”、“自己的人生将会怎样”，我不再痴迷于这些不着边际的远景，而只是留神眼下的事情。就是说，我发誓，今天的目标今天一定要完成。工作的成绩和进度以今天一天为单位区分，然后切实完成。在今天这一天中，最低限度是必须向前跨进一步，今天比昨天，哪怕只是一厘米，也要向前推进。我就是这样思考问题的。同时，不单单是前进一步，而且要反省今天的工作，以便明天“要做一点改良”“要找一点窍门”。在前进一步时，一定同时是在改善、改进。奔着每一天的目标去，让每一天都有所创新，就会天天前进，天天获得积累。为达到目标，不管外面刮风也好、下雨也好，不管碰到多大的困难，我都全神贯注，全力以赴。先是坚持1个月，再坚持1年，然后是5年、10年，锲而不舍。这样做下去，你就能踏入当初根本无法想象的境地。将今天一天作为“生活的单位”，天天精神抖擞，日复一日，拼命工作，用这种踏实的步伐，就能走上人生的王道。取胜之道：全力过好“今天”这一天每天，持续过好内容充实的“今天”这一天，我在经营公司的时候就一直坚持这一点。公司创建至今，我们从来不建立长期的经营计划。新闻记者们采访我的时候，经常提出想听一听我们的中长期经营计划。当我回答“我们从不设立长期的经营计划”时，他们总觉得不可思议，露出疑惑的神情。那么，我们为什么不建立长期计划呢？因为说自己能够预见到久远的将来，这种话基本上都会以“谎言”的结局而告终。“多少年后销售额要达到多少，人员增加到多少，设备投资如何如何”？这一类蓝图，不管你怎样着力地描绘，但事实上，超出预想的环境变化、意料之外事态的发生都不可避免地会出现。这时就不得不改变计划，或将计划数字向下调整。有时甚至要无奈地放弃整个计划。这样的计划变更如果频繁发生，不管你建立什么计划，员工们都会认为，“反正计划中途就得变更”，他们就会轻视计划，不把它当回事。结果就会降低员工的士气和工作热情。同时，目标越是远大，为达此目的，就越需要持续付出不寻常的努力。但是，人们努力，再努力，如果仍然离终点很远很远，他们就难免泄气。“目标虽然没达成，能这样也就可以了，差不多就算了吧！”人们常常在中途泄气了。从心理学的角度看，如果达到目标的过程太长，也就是说，设置的目标过于远大，往往在中途就会遭遇挫折。与其中途就要作废，不如一开始就不要建立。这是我的观点。自京瓷创业以来，我只用心于建立一年的年度经营计划。3年、5年之后的事情，谁也无法准确预测，但是这一年的情况，应该大致能看清，不至于太离谱。做年度计划，就要细化成每个月甚至每一天的具体目标，然后千方百计努力达成。今天一天努力干吧，以今天一天的勤奋就一定能看清明天。这个月努力干吧，以这一个月的勤奋就一定能看清下个月。今年一年努力干吧，以今年一年的勤奋就一定能看清明年。就这样，一瞬间、一瞬间都会过得非常充实，就像跨过一座一座小山。小小的成就连绵不断地积累、无限地持续，这样，乍看宏大高远的目标就一定能实现。这个方法就是最确实的取胜之道。别以你现在的能力，限制你对未来的想象在建立目标时，要设定“超过自己能力之上的指标”。这是我的主张。要设定现在自己“不能胜任”的有难度的目标，“我要在未来某个时点实现这个目标”，要下这样的决心。然后，想方设法提高自己的能力，以便在“未来这个时点”实现既定的目标。如果只用自己现有的能力来判断决定“能做”还是“不能做”，那么，就不可能挑战新事业，或者实现更高的目标。“现在做不到的事，今后无论如何也要达成。”如果缺乏这种强烈的愿望，就无法开拓新领域，无法达成高目标。我用“能力要用将来进行时”这句话来表达这一观点。这句话意味着“人具备无限的可能性”。也就是说：人的能力有无限伸展的可能。坚信这一点，面向未来，描绘自己人生的理想。这就是我想表达的意思。但是，很多人在自己的工作和生活中，很轻率地下结论说：“我不行，做不到。”这是因为他们仅以自己现有的能力判断自己“行”还是“不行”。这就错了。因为人的能力，在未来，一定会提高，一定会进步。事实上，大家今天在做的工作，几年前来看，你也会想：“我不会做，我做不好，无法胜任。”可是到了今天，你不是也觉得这个工作挺简单的？因为你已经驾轻就熟了。人这种动物，在各个方面都会进步。“神”就是这么造人的—我们应该这么思考。“因为我没有学过，没有知识，没有技术，所以我不行。”说这话可不行，应该这样思考：因为我没有学过，所以我没有知识，没有技术。但是，我有干劲、有信心，所以明年一定能行。而且就从这一瞬间开始，努力学习，获取知识，掌握技术。将来密藏在我身上的能力一定能开花结果。我的能力一定能增长。对人生抱着消极态度，认为自己的人生就将以碌碌无为而告终，这么思考的年轻人并不多。但是，一旦面临困难的问题时，几乎所有的人都会脱口而出说自己“不行”。绝对不要说“自己不行”这种话。面对难题，首先要做的就是相信自己。“现在也许不行，但只要努力一定能行。”首先相信自己，然后必须对“自己解决问题的能力怎样才能提高”进行具体深入的思考。只有这样，通向光明未来的大门才会打开。阿米巴经营落地实践指南(CEOheying)　
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稻盛和夫的领导哲学、经营哲学很简单：对一个人来说，什么是对的且应该做的事?我出生在鹿儿岛，23岁时离开故乡来为磨炼人的心灵，释迦倡导的六波罗蜜的修行中，“布施”、“持戒”之后就是“精进”。人生必须勤奋努力，不论做什么导读：他才是格力的灵魂人物，即使董明珠素有“铁娘子”之称，担任格力电器总裁时也鲜有与他意见相左。他叫朱江洪， 在很多企业里员工都是一种“平平淡淡”的工作状态。只要按时出勤不迟到早退，不犯大错误，基本不会受到责罚。如果日本企业致力于通过削减经营成本来提高收益水平，节能降耗在日本企业中已蔚然成风。铃木汽车开展清理员工抽屉运动““我们接着要做的事，又是人们认为我们肯定做不成的事。”这是得过新闻界最高荣誉“普利策奖”的美国著名记者戴维·编者按：稻盛和夫表示，只要领导者将下属的利益和幸福放在心间，本着善意和关爱之心进行指导和培养，其下属就必定能第二期日本阿米巴经营6天5夜深度研修之旅将于8月22-27日启团！新世纪以来，质疑西方舶来的管理理论渐成风尚，在本土管理理论尚闭门造车、刨食于故纸堆中、混乱不成体系、缺乏成功稻盛和夫曾经是一个坏运气缠身的人。从小患肺结核，差点丧命，考中学两次落榜，考大学也落第，只好进了一家勉强算得当你为面临的转型难题犯愁时，当你为产品销路焦头烂额时，当你为员工不上心工作而愤愤不平时，当你为子女教育无所适每一个阿米巴要经营得很好，就要提高员工的成本和参与经营的意识。这就要求员工能够掌握阿米巴的一些经营数据，部门你无为，你的下属就会无不为；你无言，你的部属就会有很多话；你无能，你的部属就会很能干。你所要看的是他们做来源 | 活法文 | 稻盛和夫对工作倾注爱很重要，如果你能喜欢自己的工作，喜欢自己制造的产品，当问题发生时，拼搏在当下这一刻。我们的生命和人生本身是有价值的，天地自然让我们存在乃是这个宇宙的必需。或许我们个人的存在很为什么要沟通一沟通的目的沟通的最终目的是为了达成团队目标。很多管理者可能会不由自主去追求“下属听我的话”、“我们往往有一种倾向，就是将事物考虑得过于复杂。但是，事物的本质其实极为单纯。乍看很复杂的事物，不过是若干简单稻盛和夫始终认为：无论是在人生中还是在事业上，要产生最佳结果，对事物的思考方法和心态都起着决定性作用，事业和第二期日本阿米巴经营6天5夜深度研修之旅将于8月22-27日启团！一边是千军易得，一将难求，一边是冯唐易老，李广难封。企业中最重要的是人，最难用、最难管的，也是人。 所谓“人在团体中，正副手的关系一直都很微妙对于正副手来说，他们都处于组织中的决策层面，看起来地位并不悬殊，但是手中掌决定人生的三要素——我们每个人都希望自己在人生、事业和学业上有所成就。您用“人生方程式”来表示这种因果关系。“老板，来碗一万元（台币）的牛肉面。”嗯，你没听错，一碗面一万元！因为价格逆天，它被美国《华尔街日报》封为世凡是功成名就的人毫无例外地，都是不懈努力，历尽艰辛，埋头于自己的事业，才取得了巨大成功。通过艰苦卓绝的努力，对一个合格的经营者来说，最重要的不是知道多少复杂的知识和理论，而是懂得珍视那些看似简单、“引导人们采取正确生在传统职能式的企业管理模式下，层级式的企业组织结构一旦确定，就会在长时间内保持不变，组织结构模型稳定且僵化。阿米巴经营的循环改善系统以人力、信息、生产、财务、营销、研发、客服等为基点，采取PDCA循环的方式实现螺旋式员工的归属感和幸福感是幸福企业的重要衡量标准之一。同时，幸福企业建设的一个必要条件是企业有很强的外部影响力和为磨炼人的心灵，释迦倡导的六波罗蜜的修行中，“布施”、“持戒”之后就是“精进”。人生必须勤奋努力，不论做什么思 而 达sierda回答好这些问题，你就能领先全国百分之九十五的商人，而其中有不少是你的竞争对手。专注做你在和英咨询集团o第61期《阿米巴经营系统构建班》课堂现场，马克华菲的李总倾情分享2年来马克华菲推行阿米巴经营第24届盛和塾世界大会于7月13-14在日本横滨刚刚结束，来自全球88个分塾，共计4773名塾生参加。年满8会计是经济管理活动的重要组成部分，是提高企业经营效益的重要工具，如果企业的经营者不能运用会计，就无法看透企业
面对技术开发等新生事物的时候，稻盛和夫常说：“要胸有成竹”。有过很多次机会，在谈论梦幻般理想的过程当阿米巴的原意是单细胞变形虫，即将遗传物质先复制一份，然后整个细胞一分为二，这是一种完全复制的繁殖方式《活法》　　对工作倾注爱很重要，如果你能喜欢自己的工作，喜欢自己制造的产品，当问题发生时，你就不会茫然不知所胆大心细人大致可分为两种类型，一种是考虑周密、细腻、一丝不苟、性格内向的人，而另一种则是豪爽、大胆、性格外向简单才能静心：你简单，你就是一个智者。　　有人问，是乔布斯智慧，还是比尔·盖茨智慧？这是一个难以回答的问题。梅原猛真理就隐藏在我们身边获得新发现和发明必定需要经历各种各样的辛勤付出。稻盛先生您刚才的说法有些过于自谦，在京瓷建立之初，还是一个乡村工厂的时候，稻盛和夫就反复多次对当时不满百人的职工抛下“豪言壮语”：这个定价即经营——定价是领导的职责。价格应定在客户乐意接受、公司又盈利的交汇点上。以前，在选聘“京瓷”董事时，我败局，不是死局败局并不等于死局。我们要描述的是，这些处在危难之中的企业如何看待自己的困境，以及如何从上到下、4月22日，董明珠“杀回”南京，在“2016苏商创新创业发展高峰论坛暨首届苏商金茉莉”的颁奖台上，这位商界“1986年，随着移动通信的自由化，如前文所述，DDI与IDO（日本移动通信株式会社）协商划分了各自的业务地区-26日，广西眼镜业领导品牌茂昌眼镜正式启动《阿米巴经营基因工程》项目。受茂昌眼镜的邀请，中国与日本在政治与军事上的紧张对峙，依然无法阻挡经济和民间上的频繁往来，特别是以稻盛和夫为首的企业经营思想，工作要想做到“完美无缺"，就必须注重细节。我学会这一点，是在新型陶瓷研究开发刚开始后不久。新型陶瓷的粉末在进稻盛和夫的自我评价：无论是作为一个普通人，还是作为经营者，我都属于谨慎小心又爱操心的那一类。当石油危机开始冲1959年稻盛和夫创立京瓷公司，当时只有28个人。第二年招聘了10个高材生—高中毕业生。他们工作了稻盛哲学以“做人何谓正确”出发，指导京瓷会计学与阿米巴经营体系的构建，并通过京瓷会计学与阿米巴经营体CEOheying稻盛和夫被誉为日本经营之圣，白手起家创立两家世界500强企业（京瓷和KDDI）并成功拯救日航，他推崇的哲学加会计实学的阿米巴经营模式是其成功的关键。热门文章最新文章CEOheying稻盛和夫被誉为日本经营之圣，白手起家创立两家世界500强企业（京瓷和KDDI）并成功拯救日航，他推崇的哲学加会计实学的阿米巴经营模式是其成功的关键。网上疯传的一篇文章，数学知识学得支离破碎的你赶快看过来！如网上所评，这篇文章的内容偏分析，对于代数拓扑、代数几何等现代数学的重要分支都没有介绍。然而，瑕不掩玉，值得一读。目录1. 为什么要深入数学的世界2. 集合论：现代数学的共同基础3. 分析：在极限基础上建立的宏伟大厦3.1 微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西3.2 实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析3.2.1 现代概率论：在现代分析基础上再生3.3 拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础3.4 微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构4. 代数：一个抽象的世界4.1 关于抽象代数4.2 线性代数：“线性”的基础地位4.2.1 泛函分析：从有限维向无限维迈进4.2.2 继续往前：巴拿赫代数，调和分析，和李代数5. 分析与代数结合1、为什么要深入数学的世界作为计算机系的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有很多。在这个过程中，我发现了两个事情：●我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。●在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的研究者重视。于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。2、集合论：现代数学的共同基础现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于这些都不会陌生。不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论，导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在，主流数学家对于它应该是基本接受的，因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面，下面的定理依赖于选择公理：●拓扑学：Baire Category Theorem●实分析（测度理论）：Lebesgue 不可测集的存在性●泛函分析四个主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其它的，比如几何和概率论，在古典数学时代，它们是和代数并列的，但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上，因此从现代意义说，它们和分析与代数并不是平行的关系。3、分析：在极限基础上建立的宏伟大厦3.1 微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西先说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。不过，分析的范畴远不只是这些，我们在大学一年级学习的微积分只能算是对古典分析的入门。分析研究的对象很多，包括导数(derivatives)，积分(integral)，微分方程(differential equation)，还有级数(infinite series)——这些基本的概念，在初等的微积分里面都有介绍。如果说有一个思想贯穿其中，那就是极限——这是整个分析（不仅仅是微积分）的灵魂。一个很多人都听说过的故事，就是牛顿(Newton)和莱布尼茨 (Leibniz)关于微积分发明权的争论。事实上，在他们的时代，很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中，但是，微积分的基础并没有真正建立。那个长时间一直解释不清楚的“无穷小量”的幽灵，困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机”。直到柯西用极限的观点重新建立了微积分的基本概念，这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。直到今天，整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。柯西(Cauchy)为分析的发展提供了一种严密的语言，但是他并没有解决微积分的全部问题。在19世纪的时候，分析的世界仍然有着一些挥之不去的乌云。而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。我们在现在的微积分课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。但是，什么函数存在黎曼积分呢（黎曼可积）？数学家们很早就证明了，定义在闭区间内的连续函数是黎曼可积的。可是，这样的结果并不令人满意，工程师们需要对分段连续函数的函数积分。3.2 实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析在<span style="FONT-FAMILY: Arial,sans- COLOR: #世纪中后期，不连续函数的可积性问题一直是分析的重要课题。对于定义在闭区间上的黎曼积分的研究发现，可积性的关键在于“不连续的点足够少”。只有有限处不连续的函数是可积的，可是很多有数学家们构造出很多在无限处不连续的可积函数。显然，在衡量点集大小的时候，有限和无限并不是一种合适的标准。在探讨“点集大小”这个问题的过程中，数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的特性。在极限思想的支持下，实数理论在这个时候被建立起来，它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理（确界定理，区间套定理，柯西收敛定理，Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等）——这些定理明确表达出实数和有理数的根本区别：完备性（很不严格的说，就是对极限运算封闭）。随着对实数认识的深入，如何测量“点集大小”的问题也取得了突破，勒贝格创造性地把关于集合的代数，和Outer content（就是“外测度”的一个雏形）的概念结合起来，建立了测度理论(Measure Theory)，并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue Integral)。在这个新的积分概念的支持下，可积性问题变得一目了然。上面说到的实数理论，测度理论和勒贝格积分，构成了我们现在称为实分析 (Real Analysis)的数学分支，有些书也叫实变函数论。对于应用科学来说，实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。而且，它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数，或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼中，并不现实。但是，我认为，它并不是一种纯数学概念游戏，它的现实意义在于为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。下面，我仅仅列举几条它的用处：1、黎曼可积的函数空间不是完备的，但是勒贝格可积的函数空间是完备的。简单的说，一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的，但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。在泛函分析，还有逼近理论中，经常需要讨论“函数的极限”，或者“函数的级数”，如果用黎曼积分的概念，这种讨论几乎不可想像。我们有时看一些paper中提到L^p函数空间，就是基于勒 贝格积分。2、勒贝格积分是傅立叶变换（这东西在工程中到处都是）的基础。很多关于信号处理的初等教材，可能绕过了勒贝格积分，直接讲点面对实用的东西而不谈它的数学基础，但是，对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一些工作——这并不是总能绕过去。3、在下面，我们还会看到，测度理论是现代概率论的基础。<span style="FONT-FAMILY: 宋体; COLOR: #.2.1 现代概率论：在现代分析基础上再生自从Kolmogorov在上世纪30年代把测度引入概率论以来，测度理论就成为现代概率论的基础。在这里，概率定义为测度，随机变量定义为可测函数，条件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影，均值则是可测函数对于概率测度的积分。值得注意的是，很多的现代观点，开始以泛函分析的思路看待概率论的基础概念，随机变量构成了一个向量空间，而带符号概率测度则构成了它的对偶空间，其中一方施加于对方就形成均值。角度虽然不一样，不过这两种方式殊途同归，形成的基础是等价的。在现代概率论的基础上，许多传统的分支得到了极大丰富，最有代表性的包括鞅论 (Martingale)——由研究赌博引发的理论，现在主要用于金融（这里可以看出赌博和金融的理论联系，:-P），布朗运动(Brownian Motion)——连续随机过程的基础，以及在此基础上建立的随机分析(Stochastic Calculus)，包括随机积分（对随机过程的路径进行积分，其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ito Integral)），和随机微分方程。对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。3.3 拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础随着实数理论的建立，大家开始把极限和连续推广到更一般的地方的分析。事实上，很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的。很多特性可以抽象出来，推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广，促成了点集拓扑学(Point- set Topology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念，被提取出来，进行一般性的讨论。在拓扑学里面，有4个C构成了它的核心：(1) Closed set 闭集在现代的拓扑学的公理化体系中，开集和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是开区间和闭区间的推广，它们的根本地位，并不是一开始就被认识到的。经过相当长的时间，人们才认识到：开集的概念是连续性的基础，而闭集对极限运算封闭——而极限正是分析的根基。(2) Continuous function 连续函数连续函数在微积分里面有个用epsilon-delta语言给出的定义，在拓扑学中它的定义是“开集的原像是开集的函数”。第二个定义和第一个是等价的，只是用更抽象的语言进行了改写。我个人认为，它的第三个（等价）定义才从根本上揭示连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数” ——比如y是数列x1, x2, x3, … 的极限， 那么如果 f 是连续函数，那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的极限。连续函数的重要性，可以从别的分支学科中进行类比。比如群论中，基础的运算是“乘法”，对于群，最重要的映射叫“同态映射”——保持“乘法”的映射。在分析中，基础运算是“极限”，因此连续函数在分析中的地位，和同态映射在代数中的地位是相当的。(3) Connected set 连通集比它略为窄一点的概念叫(Path connected)，就是集合中任意两点都存在连续路径相连——可能是一般人理解的概念。一般意义下的连通概念稍微抽象一些。在我看来，连通性有两个重要的用场：一个是用于证明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，还有就是代数拓扑，拓扑群论和李群论中讨论根本群(Fundamental Group)的阶。(4) Compact set 紧集Compactness似乎在初等微积分里面没有专门出现，不过有几条实数上的定理和它其实是有关系的。比如，“有界数列必然存在收敛子列”——用compactness的语言来说就是——“实数空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义是一个听上去比较抽象的东西——“紧集的任意开覆盖存在有限子覆盖”。这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便，它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说，用得更多的是它的另一种形式 ——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。Compactness在现代分析中运用极广，无法尽述。微积分中的两个重要定理：极值定理(Extreme Value Theory)，和一致收敛定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推广到一般的形式。从某种意义上说，点集拓扑学可以看成是关于“极限”的一般理论，它抽象于实数理论，它的概念成为几乎所有现代分析学科的通用语言，也是整个现代分析的根基所在。3.4 微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间，但这不是故事的结束，而仅仅是开始。在微积分里面，极限之后我们有微分，求导，积分。这些东西也可以推广到拓扑空间，在拓扑学的基础上建立起来——这就是微分几何。从教学上说，微分几何的教材，有两种不同的类型，一种是建立在古典微机分的基础上的“古典微分几何”，主要是关于二维和三维空间中的一些几何量的计算，比如曲率。还有一种是建立在现代拓扑学的基础上，这里姑且称为“现代微分几何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓扑空间的基础上加了一套可以进行微分运算的结构。现代微分几何是一门非常丰富的学科。比如一般流形上的微分的定义就比传统的微分丰富，我自己就见过三种从不同角度给出的等价定义——这一方面让事情变得复杂一些，但是另外一个方面它给了同一个概念的不同理解，往往在解决问题时会引出不同的思路。除了推广微积分的概念以外，还引入了很多新概念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。近些年，流形在machine learning似乎相当时髦。但是，坦率地说，要弄懂一些基本的流形算法，甚至“创造”一些流形算法，并不需要多少微分几何的基础。对我的研究来说，微分几何最重要的应用就是建立在它之上的另外一个分支：李群和李代数——这是数学中两大家族分析和代数的一个漂亮的联姻。分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析，以及在其基础上的调和分析。4、代数：一个抽象的世界回过头来，再说说另一个大家族——代数。如果说古典微积分是分析的入门，那么现代代数的入门点则是两个部分：线性代数(linear algebra)和基础的抽象代数(abstract algebra)——据说国内一些教材称之为近世代数。代数——名称上研究的似乎是数，在我看来，主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构。在主要的代数结构中，最简单的是群(Group)——它只有一种符合结合率的可逆运算，通常叫“乘法”。如果，这种运算也符合交换率，那么就叫阿贝尔群 (Abelian Group)。如果有两种运算，一种叫加法，满足交换率和结合率，一种叫乘法，满足结合率，它们之间满足分配率，这种丰富一点的结构叫做环(Ring)， 如果环上的乘法满足交换率，就叫可交换环(Commutative Ring)。如果，一个环的加法和乘法具有了所有的良好性质，那么就成为一个域(Field)。基于域，我们可以建立一种新的结构，能进行加法和数乘，就构成了线性代数(Linear algebra)。代数的好处在于，它只关心运算规则的演绎，而不管参与运算的对象。只要定义恰当，完全可以让一只猫乘一只狗得到一头猪:-)。基于抽象运算规则得到的所有定理完全可以运用于上面说的猫狗乘法。当然，在实际运用中，我们还是希望用它干点有意义的事情。学过抽象代数的都知道，基于几条最简单的规则，比如结合律，就能导出非常多的重要结论——这些结论可以应用到一切满足这些简单规则的地 方——这是代数的威力所在，我们不再需要为每一个具体领域重新建立这么多的定理。4.1 关于抽象代数抽象代数有在一些基础定理的基础上，进一步的研究往往分为两个流派：研究有限的离散代数结构（比如有限群和有限域），这部分内容通常用于数论，编码，和整数方程这些地方；另外一个流派是研究连续的代数结构，通常和拓扑与分析联系在 一起（比如拓扑群，李群）。我在学习中的focus主要是后者。4.2 线性代数：“线性”的基础地位对于做Learning, vision, optimization或者statistics的人来说，接触最多的莫过于线性代数——这也是我们在大学低年级就开始学习的。线性代数，包括建立在它基础上的各种学科，最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位，和连续函数在分析中的地位，或者同态映射在群论中的地位是一样的 ——它是保持基础运算（加法和数乘）的映射。在learning中有这样的一种倾向——鄙视线性算法，标榜非线性。也许在很多场合下面，我们需要非线性来描述复杂的现实世界，但是无论什么时候，线性都是具有根本地位的。没有线性的基础，就不可能存在所谓的非线性推广。我们常用的非线性化的方法包括流形和kernelization，这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射，通过把许多局部线性空间连接起来形成非线性；而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间，再进行线性空间中所能 进行的操作。而在分析领域，线性的运算更是无处不在，微分，积分，傅立叶变换，拉普拉斯变换，还有统计中的均值，通通都是线性的。<span style="FONT-FAMILY: 宋体; COLOR: #.<span style="FONT-FAMILY: 宋体; COLOR: #.1 泛函分析：从有限维向无限维迈进在大学中学习的线性代数，它的简单主要因为它是在有限维空间进行的，因为有限，我们无须借助于太多的分析手段。但是，有限维空间并不能有效地表达我们的世界——最重要的，函数构成了线性空间，可是它是无限维的。对函数进行的最重要的运算都在无限维空间进行，比如傅立叶变换和小波分析。这表明了，为了研究函数（或者说连续信号），我们需要打破有限维空间的束缚，走入无限维的函数空间——这里面的第一步，就是泛函分析。泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的线性空间，包括有限维和无限维，但是很多东西在有限维下显得很trivial，真正的困难往往在无限维的时候出现。在泛函分析中，空间中的元素还是叫向量，但是线性变换通常会叫作“算子”(operator)。除了加法和数乘，这里进一步加入了一些运算，比如加入范数去表达“向量的长度”或者“元素的距离”，这样的空间叫做“赋范线性空间”(normed space)，再进一步的，可以加入内积运算，这样的空间叫“内积空间”(Inner product space)。大家发现，当进入无限维的时间时，很多老的观念不再适用了，一切都需要重新审视。1、所有的有限维空间都是完备的（柯西序列收敛），很多无限维空间却是不完备的（比如闭区间上的连续函数）。在这里，完备的空间有特殊的名称：完备的赋范空间叫巴拿赫空间(Banach space)，完备的内积空间叫希尔伯特空间(Hilbert space)。2、在有限维空间中空间和它的对偶空间的是完全同构的，而在无限维空间中，它们存在微妙的差别。3、在有限维空间中，所有线性变换（矩阵）都是有界变换，而在无限维，很多算子是无界的(unbounded)，最重要的一个例子是给函数求导。4、在有限维空间中，一切有界闭集都是紧的，比如单位球。而在所有的无限维空间中，单位球都不是紧的——也就是说，可以在单位球内撒入无限个点，而不出现一个极限点。5、在有限维空间中，线性变换（矩阵）的谱相当于全部的特征值，在无限维空间 中，算子的谱的结构比这个复杂得多，除了特征值组成的点谱(point spectrum)，还有approximate point spectrum和residual spectrum。虽然复杂，但是，也更为有趣。由此形成了一个相当丰富的分支——算子谱论(Spectrum theory)。6、在有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维空间中， 这就不一定了，具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。这个概念是现代逼近理论的基础(approximation theory)。函数空间的逼近理论在Learning中应该有着非常重要的作用，但是现在看到的运用现代逼近理论的文章并不多。<span style="FONT-FAMILY: 宋体; COLOR: #.2.2 继续往前：巴拿赫代数，调和分析，李代数基本的泛函分析继续往前走，有两个重要的方向。第一个是巴拿赫代数 (Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空间（完备的内积空间）的基础上引入乘法（这不同于数乘）。比如矩阵——它除了加法和数乘，还能做乘法——这就构成了一 个巴拿赫代数。除此以外，值域完备的有界算子，平方可积函数，都能构成巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分析的抽象，很多对于有界算子导出的结论，还有算子谱论中的许多定理，它们不仅仅对算子适用，它们其实可以从一般的巴拿赫代数中得到，并且应用在算子以外的地方。巴拿赫代数让你站在更高的高度看待泛函分析中 的结论，但是，我对它在实际问题中能比泛函分析能多带来什么东西还有待思考。最能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析 (Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域，傅立叶分析和小波分析，我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题，不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波，调和分析还研究一些很有用的函数空间，比如Hardy space，Sobolev space，这些空间有很多很好的性质，在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说，调和分析在信号的表达，图像的构造，都是非常有用的工具。5、分析与代数的结合当分析和线性代数走在一起，产生了泛函分析和调和分析；当分析和群论走在一 起，我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。我一直认为这是一门非常漂亮的数学：在一个体系中，拓扑，微分和代数走到了一起。在一定条件下，通过李群和李代数的联系，它让几何变换的结合变成了线性运算，让子群化为线性子空间，这样就为Learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动的建模创造了必要的条件。因此，我们相信李群和李代数对于vision有着重要意义，只不过学习它的道路可能会很艰辛，在它之前需要学习很多别的数学。转载自网络
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