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若函数f(x)=ao2x-21+2x(a∈R)是R上的奇函数（1）求a的值，并利用定义证明函数f（x）在R上单调递增；（2）解不等式：f(-2)+f(log12(2x))≥0．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f（x）=ao2x-21+2x是R上的奇函数，∴f（0）=0，解得a=2…2分∴f（x）=2(2x-1)1+2x．证明：设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2(2x1-1)1+2x1-2(2x2-1)1+2x2…3分=4(2x1-2x2)(1+2x1)(1+2x2)…5分∵y=2x是R上的增函数，∴2x1-2x2＜0，而（1+2x1）（1+2x2）＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在R上单调递增…7分（2）由f（-2）+f（log12(2x)）≥0，且f（x）是R上的奇函数可得：f（log12(2x)）≥f（2）…8分又f（x）在R上单调递增，∴log12(2x)≥2…9分解得0＜x≤8…11分∴不等式的解集是{x|0＜x≤8}…12分
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据魔方格专家权威分析，试题“若函数f(x)=ao2x-21+2x(a∈R)是R上的奇函数（1）求a的值，并利用定义..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，一元高次（二次以上）不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性一元高次（二次以上）不等式
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|元高次不等式的概念：
含有一个未知数且未知数的最高次数不小于3的不等式叫做一元高次不等式一元高次不等式的解法：
①解一元高次不等式时，通常需进行因式分解，化为的形式，然后应用区间法化为不等式组或用数轴标根法求解集．②用数轴标根法求解一元高次不等式的步骤如下：a．化简：将原不等式化为和它同解的基本型不等式．其中的n个根，它们两两不等，通常情况下，常以的形式出现， 为相同因式的幂指数，它们均为自然数，可以相等；b．标根：将标在数轴上，将数轴分成(n+1)个区间；c．求解：若 ，则从最右边区间的右上方开始画一条连续的曲线，依次穿过每一个零点（的根对应的数轴上的点），穿过最左边的零点后，曲线不再改变方向，向左下或左上的方向无限伸展．这样，不等式的解集就直观、清楚地表示在图上，这种方法叫穿针引线法（或数轴标根法）；当 不全为l，即f（x）分解因式出现多重因式（即方程f(x）=0出现重根）时，对于奇次重因式对应的根，仍穿轴而过；对于偶次重因式对应的根，则应使曲线与轴相切．简言之，函数f(x)中有重因式时，曲线与轴的关系是"奇穿偶切"．
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与“若函数f(x)=ao2x-21+2x(a∈R)是R上的奇函数（1）求a的值，并利用定义..”考查相似的试题有：
864860261460270508281749407736409843已知函数f(x)=sin(x+θ）+cos（x+θ)的定义域为R。（1）当θ=0时，求f(x)的单调递增区间。（2）若θ∈（0，π），且sinx不=0，当θ为何值时，f(x)为偶函数
已知函数f(x)=sin(x+θ）+cos（x+θ)的定义域为R。（1）当θ=0时，求f(x)的单调递增区间。（2）若θ∈（0，π），且sinx不=0，当θ为何值时，f(x)为偶函数
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＞＞＞已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2+4x+3，（1）求x＜0时..
已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2+4x+3，（1）求x＜0时函数的解析式（2）用定义证明函数在[0，+∞）上是单调递增（3）写出函数的单调区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）x＜0时，-x＞0∵x≥0时f（x）=x2+4x+3，∴f（-x）=x2-4x+3（2分）∵y=f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）（4分）x＜0时，f（x）=x2-4x+3（6分）∴f（x）=x2+&4x+3，x≥0x2-4x+3，x＜0（8分）（2）设任意的x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，所以有f（x1）-f（x2）=x12+4x1-x22-4x2=（x1+x2）（x1-x2）+4（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+4），因为0＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1+x2+4＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数y=x2+4x+3在x∈[0，+∞）是单调递增函数．（3）由（1）知x＜0时，f（x）=x2-4x+3，根据二次函数的单调性可得函数的单调减区间（-∞，0）x≥0时f（x）=x2+4x+3，根据二次函数的单调性可得函数的单调增区间[0，+∞）所以函数的单调区间为：（-∞，0），[0，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2+4x+3，（1）求x＜0时..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值函数解析式的求解及其常用方法
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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与“已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2+4x+3，（1）求x＜0时..”考查相似的试题有：
557769835528470424824065477023561844设函数f（x）是定义在R上的偶函数并在区间（﹣∞，0）内单调递增，f（2aa＋a＋1）＜f（3aa－2a＋1）。求a的取值范围。
设函数f（x）是定义在R上的偶函数并在区间（﹣∞，0）内单调递增，f（2aa＋a＋1）＜f（3aa－2a＋1）。求a的取值范围。 10
&解：由题意，对于a∈R恒有2a?+a+1＞0成立，3a?-2a+1＞0成立
&&&&&∴有-2a?-a-1＜0，-3a?+2a-1＜0
&&&& ∵f（x）在R上是偶函数
&&& ∴f（-2a?-a-1）=f(2a?+a+1)
&&&&&& f（-3a?+2a-1）=f（3a?-2a+1）
&&& ∵f（x）在（-∞，0）上单调递增
&&&&&& f(2a?+a+1)＜f（3a?-2a+1）
&&& ∴f（-2a?-a-1）＜f（-3a?+2a-1）
&&&&& -2a?-a-1＜0且-3a?+2a-1＜0且-2a?-a-1＜-3a?+2a-1
&& ∴a的取值范围是（0，3）
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理工学科领域专家&&评论 & 纠错 &&
同类试题1：已知f（x）是奇函数，定义域为{x|x∈R，x≠0}，若f（x）在（0，+∞）是增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）＞f（-x）的解集是____（-1，0）∪（1，+∞）（-1，0）∪（1，+∞）．解：∵f（x）是奇函数，定义域为{x|x∈R，x≠0}，若f（x）在（0，+∞）是增函数，且f（1）=0，∴其图象可以为如图形式：其中f（-1）=f（1）=0，f（x）在（-∞，0）是增函数∵不等式f（x）＞f（-x）?f（x）＞-f（x）?f（x）＞0∴数形结合可得不等式的解集为{x|x＞1或-1＜x＜0}故答案为（-1，0）∪（1，+∞）
同类试题2：定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式①f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）；②f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）；③f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）；④f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）．其中正确不等式的序号是____①③①③．解：因为函数f（x）为定义在R上的奇函数且为单调递增函数，偶函数g（x）在区间[0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，且已知a＞b＞0=f（0），则①f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）?f（b）+f（a）-g（a）+g（b）=2f（b）＞0&（因为f（a）=g（a）在a＞0上），所以①正确；②f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）?f（b）+f（a）-g（a）+g（b）=2...