知识点梳理
1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：&&（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似&&（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似&&（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似&&（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似&直角三角形相似判定定理&&（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理&&（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：&&(1)相似三角形的对应角相等.&&(2)相似三角形的对应边成比例.&&(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.&&(4)相似三角形的周长比等于相似比.&&(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.&（6）相似三角形的传递性。
的性质:1.正方形具有、、矩形、菱形的一切性质。2.正方形的四条边都相等，邻边垂直，对边平行。3.正方形的四个角都是直角。4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。5.正方形是轴对称图形，它有4条对称轴。6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。
【解直角】在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图，在&Rt△ABC&中，∠C&为直角，∠A，∠B&，∠C&所对的边分别为&a，b，c，那么除直角&C&外的&5&个元素之间有如下关系：①&三边之间的关系：{{a}^{2}}{{+b}^{2}}{{=c}^{2}}（）；②&两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；③&边角之间的关系：sinA={\frac{∠A的对边}{斜边}}={\frac{a}{c}}，cosA={\frac{∠A的邻边}{斜边}}={\frac{b}{c}}&，tanA={\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}}={\frac{a}{b}}&．利用这些关系，知道其中&2&个元素（至少有一个是边），就可以求出其余&3&个未知元素．
【生物定义】三边都相等的叫做等边三角形（equilateral&triangle），也属于．【等边三角形的性质】三个内角都相等，并且每一个角都等于&60°．
【中位线的定理】三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“知识回顾：（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边A...”，相似的试题还有：
在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点：求证：(1)DE∥BC且DE=BC；(2)若△ABC面积为S，求证：S△DEF=．
知识回顾：(1)如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S△DEF：S△ABC=______；(2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是______，S四边形EFGH：S四边形ABCD=______；(3)实践探究：如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是______；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S五边形FGHMN：S五边形ABCDE的值．(4)拓展归纳：在正n边形A1A2 …An中，若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点，则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为：=______．
如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长是()cm．在五边形ABCDE中,AB=BC=CD=DE=EA,∠ABC=2∠DBE,求证：四边形ACDE是菱形_百度作业帮
在五边形ABCDE中,AB=BC=CD=DE=EA,∠ABC=2∠DBE,求证：四边形ACDE是菱形
在五边形ABCDE中,AB=BC=CD=DE=EA,∠ABC=2∠DBE,求证：四边形ACDE是菱形
不用辅助线的,不难,因为AE=AB 所以∠ABE=∠AEB同理∠CBD=∠CDB因为∠ABC=2∠DBE 所以∠ABE+∠CBD=∠DBE因为∠ABE=∠AEB,∠CBD=∠CDB 所以∠AEB+∠CDB=∠DBE所以∠AED+∠CDE=180度所以AE平行CD因为AE=CD所以四边形AEDC为平行四边形因为DE=CD所以平行四边形AEDC为菱形正多边形和圆
求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。(以五边形为例进行证明)
已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA。
求证： ABCDE为正五边形。
分析：据正多边形的判定，只需证A、B、C、D、E将圆五等份即可。
说明：此例亦可根据正多边形的定义进行证明。
求证：各角相等的圆外切多边形为正多边形。(以五边形为例进行证明)
已知：如图，五边形ABCDE外切于⊙O，F、G、H、K、L为切点，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E。
求证：五边形ABCDE为正五边形。
分析：只需证F、G、H、K、L等分⊙O即可。
证明：五边形ABCDE外切于⊙O
如果一个六边形有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个六边形是正六边形。
已知：如图，六边形ABCDEF内接于大⊙O，外切于小⊙O，切点为G、H、K、L、M、N。
求证：六边形ABCDEF为正六边形。
分析：因ABCDEF内接于大⊙O，故要证ABCDEF为正六边形，只需证A、B、C、D、E、F等分大⊙O即可，即要证
证明：分别连结OG、OH、OK、OL、OM、ON．
如图，已知两个正五边形ABCDE和A′B′C′D′E′．
求证：正五边形ABCDE∽正五边形A′B′C′D′E′．
分析：依相似多边形定义，应证出各角对应相等，各对应边成比例．
证明：∵正五边形每个内角都是108°，
∴∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′．
∵AB=BC=CD=DE=EA，
A′B′=B′C′=C′D′=D′E′=E′A′
∴正五边形ABCDE∽正五边形A′B′C′D′E′．
说明：由此可引伸为：任何两个边数相同的正多边形都相似．
正多边形的有关计算
已知圆内接正n边形的边长为a，求同圆外切正n边形的边长b(用三角函数表示)．
分析：如图，AB为⊙O的内接正n边形的边长a，CD为⊙O的外切正n边形的边长b，连结OD交AB于E，则AB⊥OD，又OB⊥BD，故∠DBE=∠DOB．因此，已知线段a，未知线段b就集中到了Rt
解：如图，设AB为⊙O的内接正n边形的边长，CD为⊙O的外
说明：本题的结论反映了同圆内接正n边形与外切正n边形边长之
求半径为2cm的圆内接正三角形，正四边形和正六边形的边长．
分析： (1)圆的内接正三角形的边长可由直角三角形AOM中求得，先求出中心角的一半，再利用三角函数，即可求出．
(2)求圆的内接正四边形边长时，可根据正方形对角线互相垂直，求出中心角是直角，解这个等腰直角三角形．可由勾股定理，三角函数等多种方法求得．
(3)圆心内接正六边形的中心角是6O°．所以△AOB是等边三角形，由此可得边长与半径相等．
(3)如图3，
∴△AOB是等边三角形，
∴圆的内接正六边形边长AB=2cm．
如图．⊙O的半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8、边心距r8、中心角α和面积．
解：连结OA、OB、AB为正八边形的边长，作OK⊥AB于K，则K为AB中点．∴AB=2AK
AK=OAsin∠AOK=Rsin22.5°=0.3827R
∴a8=2AK=0.7654R
r8=OK=OAcos∠AOK=Rcos22.5°=0.9239R
已知正十边形的半径为R，边长为a10，求证：
OA=OB，则∠OAB=∠OBA=72°，只需作∠ABO的平分线BD，可证△ABD∽△AOB，问题则可解决．
证明：如图，设AB=a10，∠OBA的平分线交OA于D．
已知正△ABC的边心距为r，半径为R，高为h，边长是a．
求：r∶R∶h∶a．
分析：应在正△ABC中画出r、R、h，然后再寻求它们和同一个量(如r)的关系．
解：如图，设O为正△ABC的中心，D是BC中点．连结OD、AD，则OD⊥BC，AD⊥BC，
∵过一点D只能引一条直线与BC垂直
∴OD落在AD上．
则∠OBD=30°
即OA=OB=2r
说明：此例通过解Rt△BOD解决了问题，遇到这样的计算可从正多形中移出其中一个直角三角形讨论即可．
如图，已知圆内接正方形的面积是8cm2，求同圆的内接正六边形的面积．
分析：如图所示，AB是⊙O内接正四边形的边长，AC是⊙O内接正六边形的边长，要求⊙O内接正六边形的面积，只要求出△AOC的面积即可．因为S正六边形=6S△AOC，由圆内接正方形的面积是8cm2，
角三角形中边角关系)可算出OA，又因为OE⊥AC，∠OAE=60°，
解：如图，设圆内接正方形的边长为AB，正六边形边长为AC，过点O作OE⊥AC，连结OB、OA、OC．
∵正方形面积是8cm2
∵∠AOB=90°，OA=OB
∴OA2+OB2=AB2
∴OA=2，即圆的半径为2
∵OE⊥AC，OA=OC
∴∠AEO=90°，AC=2AE
又∵∠AOE=30°
∴AC=2AE=2
OE=OA?coS30°
说明：本题在求解过程中涉及到正方形与正六边形的基本概念及面积，体现转化思想的应用，即把正方形及正六边形转化为等腰三角形，进而转化为直角三角形，多次应用方程知识求解．
如图，已知AC、BE为圆内接正五边形ABCDE的对角线，对角线长为l，AC与BE交于F点，求它的边长．
分析：此题中已知的五边形的对角线长为l，要求的是边长．设边长为a，就是用含l的代数式来表示边长a，设法来找边长与对角线的关系，根据正五边形的性质得AB=AE=BC，∠CBA=
∠BAE=108°，所以∠1=∠2=∠3=36°，所以△ABF∽△ACB，所以AB2=AF?
AC，又因为∠CBF=108°-∠1=72°，∠3=36°，所以∠CFB=∠CBF=72°，所以CB=CF，所以AB2=(AC-CB)?AC，即a2=(l-a)l，解得a=
解：设正五边形的边长为a
∴∠1=∠2=36°
同理∠3=36°
又∵∠BAF=∠CAB
∴△ABF∽△ACB
∴AB2=AF?AC
∵∠CBF=∠CBA-∠1=108°-36°=72°
∠CFB=180°-∠CBF-∠3=72°
∴∠CBF=∠CFB
∴AB2=AF?AC=(AC-CB)?AC
即a2=(l-a)l
整理得a2+al-l2=0
说明：此例中涉及到黄金分割的知识，点F把线段AC分成了两部分，且CF2=AC?CF，即F点叫黄金分割点．
正n边形内角和与外角和度数比是7∶2．
求：一个内角的度数．
分析：依题意，可先按一般多边形由外角和得内角和，再求边数n；或依题意，先按一般多边形内外角和是7∶2列方程，求得边数n，然后按正n边形求出一个内角．也可始终按正n边形，由外角和与内角和度数比为7∶2转化成一个内角与一个外角度数比为7∶2，从而计算出一个内角度数．
解法一：设内角和为7k，外角和为2k，
∴7k=180×7
即180(n-2)=180×7
∴正n边形一个内角是(180°× 7)÷9=140°
解法二：∵n边形内角和为180°(n-2)，
∴一个外角为360°÷9=40°，
∴一个内角为180°-40°=140°
解法三：设一个内角度数为a，
则 内角和为na，
设一个外角度数为b，
则 外角和为nb
设 a=7k，b=2k
则 7k+2k=180
∴a=7k=140
∴一个内角是140°．
如图，正六边形ABCDEF的边长是2，建立如图所示的直角坐标系．
求：各顶点的坐标．
分析：只要求出A、B两点坐标，根据正六边形的对称性，就可求出其他各点的坐标．
解：连结OA，作AK⊥BO于K．
则∠AOB=60°，
故得点B(-2，0)，
∴得点E(2，0)
已知如图，⊙O的直径AB、CD相互垂直，弦NM垂直平分OB．
求证：CM为正十二边形的一边，MB为正六边形的一边，CB为正四边形的一边，MN为正三角形的一边．
证明：连结OM，ON
∵MN垂直平分OB
∴三角形OMB为等边三角形
∴∠MOB=60°
n=6，故MB为正六边形的一边
∴∠COM=30°
则故CM为正十二边形的一边
同理由∠COB=90°得BC为正四边形
一边∠MON=120°得MN为正三角形的一边
画正多边形
已知⊙O，作圆内接正三角形：
①作直径AD；
②以D为圆心，以⊙O半径为半径画弧交⊙O于B、C点；
③依次连结AB、BC、CA.
则△ABC即为所求作的正三角形。
证明：连结OB、OC、BD、CD.
∵BD=DO=OB，
∴∠BOD=60°．
同理∠DOC=60°
∴∠BOC=120°．
∵∠AOD=180°，
∴∠AOB=∠AOC=120°．
∵∠AOB=∠BOC=∠COA，
则△ABC为正三角形。
已知⊙O，作圆内接正六边形:
①作直径AD;
②分别为A、D为圆心，以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E；
③依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA.
则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形。
证明：连结OB、OC、OE、QF.
∵AB=OA=OB，
∴∠1＝60°
同理∠2=∠3=∠4=60°.
∵∠AOD=180°
∴∠5=∠6=60°.
∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6＝∠2．
∴六边形ABCDEF是正六边形。
说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形,但是这样产生的误差较大。
已知⊙O，作圆内接正八边形：
①作直径AC⊥BD；
②作∠AOB、∠BOC的平分线交⊙O于E、F点；
③延长EO、FO交⊙O于G、H点；
④依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．
则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形。
证明：∵直径AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°
∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∵∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8，
∴八边形AEBFCGDH为正八边形。
已知⊙O，作圆内接正十二边形：
①作直径AG⊥DQ；
②分别以A、D、G、Q为圆心，以⊙O半径为半径画弧分别交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S点；
③依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA．
则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形。
证明：连结AC、OB、OC、OE、…、OS．
∵AC＝OA＝OC，
∴∠AOC=60°．
∵直径AG⊥DQ，
∴∠AOD=90°，
∴∠COD=30°.
同理∠AOB=30°，
∴∠BOC=30°．
同理∠DOE=…=∠SOA=30°．
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA，
∴十二边形ABCDE…S为正十二边形。
说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确。
当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些。
用尺规作正五边形的近似图形的方法和尺规作正五边形的准确方法分别作正五边形
(1)尺规作正五边形的近似图形的方法
作法：如图4，
②作直径AF⊥GH：
③分别以F、H为圆心，以AF为半径画弧，两弧交于M点；
④连结OM；
⑤在⊙O上依次截取弦AB=BC=CD=DE=OM；
⑥连结EA．
则五边形ABCDE即为所求作的正五边形。
(2)尺规作正五边形的准确方法。
作法：如图5，
②作直径AF⊥GH；
③取OG中点M，连结AM；
④以M为圆心，以AM为半径画弧交OH于N，连结AN；
⑤在⊙O上依次截取弦AB=BC=CD=DE=AN；
则五边形ABCDE即为所求作的正五边形。
证明：设⊙O半径为R，
连结CF、DF、OC、OD，设OF交CD于P，CD=a5，则CF＝FD=a10.
∵S10=5SOCFD
说明：由证明不难看出，此种尺规作正五边形的方法是准确的。但是，因为在圆上连续截取等弦，所以易造成累积误差。
已知⊙O，作圆内接正十边形
这样我们可以在⊙O上依次截取等弦等于ON，即可得到正十边形。
因此作正十边形的关键就是把半径R进行黄金分割
作法：如图6，
①作⊙O和半径OA；
②作AP⊥OA，使AP=OA，连结OP；
③在OP上截取PQ=PA；
④在⊙O上依次截取弦AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HM=MN=OQ，连结NA．
则十边形ABCDEFGHMN即为所求作的正十边形。
说明：将正十边形每间隔一点依次连结就可得到正五边形。如果二等分正十边形的各中心角，那么就可以得到正二十边形。
如图，把一个边长为a的正三角形剪成一个正六边形，剪去怎样的三个小三角形？剪成的正六边形的边长是多少？它的面积与原三角形面积的比是多少？
∵多边形DEFGHM是正六边形，
∵∠ADE=180°，∴∠ADM=60°．
同理∠AMD=60°.
∴AD=DM=AM，∴AD=DE．
同理BE=ED．
已知⊙O和⊙O上的一点A。(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH。(2)在(1)题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边。
①作直径AC。
②作直径BD⊥AC，依次连结AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD为⊙O的内接正方形。
③分别以A、C为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于E、H、F、G，顺次连结AE、EF、FC、CG、GH、HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形。
(2)证明：连结OE。
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE
=90°-60°=30°
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边九年级数学正多边形和圆教学案 - 百度文库
九年级数学正多边形和圆教学案
九年级数学正多边形和圆教学案
正多边形和圆
教学目标：
（1） 使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系，
（2） 会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，
（3） 能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
（4） 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念
教学活动设计：
（一）观察、分析、归纳：
观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并可以提问学生问题．
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多
边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等
分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对
称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图
形，找出它的对称中心。（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。）
贡献者：91www如图,任意五边形ABCDE中,M,N,P,Q分别为AB,CD,BC,DE的中点,K,L,分别为MN,PQ的中点,求证：KL平行AE且KL=1/4AE.（求救,_百度作业帮
如图,任意五边形ABCDE中,M,N,P,Q分别为AB,CD,BC,DE的中点,K,L,分别为MN,PQ的中点,求证：KL平行AE且KL=1/4AE.（求救,
如图,任意五边形ABCDE中,M,N,P,Q分别为AB,CD,BC,DE的中点,K,L,分别为MN,PQ的中点,求证：KL平行AE且KL=1/4AE.（求救,
连接BE,取其中点R,连接MR,RN,PR,PN,NQ,RQ．∵点M是AB的中点,R是BE的中点,∴MR∥AE,MR=12AE,∵R,N、P、Q分别为BE、CD、BC、DE的中点,连接CE,∴PR∥CE,PR=12CE,NQ∥CE,NQ=12CE,∴PR∥NQ,PR=NQ,∴四边形PNQR是平行四边形,∴RN与PQ互相平分,∵点L是PQ的中点,∴点L是RN的中点,∵点K是MN的中点,∴KL∥MR,KL=12MR,∴KL∥AE,KL=14AE．
连接BE，取其中点R，连结MR。在△ABE中，因M、R分别为AB、BE的中点，则MR‖=二分之一AE。连结RN，在四边形BCDE中，∵P、N、Q、R分别为各边上的中点，∴四边形PNQR为平行四边形，平行四边形两边对角线RN、PQ互相平分。又∵L为PQ的中点，∴L为RN的中点。在△MNR中，∵K、L分别为MN、RN的中点，∴KL‖=二分之一MR，∴KL‖=四分之一AE...